高考数学难点突破_难点40 探索性问题

高考数学难点突破_难点40 探索性问题

难点40 探索性问题 高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求考生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题.‎ ‎●难点磁场 ‎1.（★★★★）已知三个向量a、b、c，其中每两个之间的夹角为120°，若｜a｜=3,‎ ‎｜b｜=2,｜c｜=1，则a用b、c表示为 .‎ ‎2.（★★★★★）假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1–p，且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可成功飞行，则对于多大的p而言，4引擎飞机比2引擎飞机更为安全？‎ ‎●案例探究 ‎［例1］已知函数(a,c∈R,a＞0,b是自然数）是奇函数，f(x)有最大值，且f(1)＞.‎ ‎（1）求函数f(x)的解析式；‎ ‎（2）是否存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，并且使得P、Q两点关于点（1，0）对称，若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由.‎ 命题意图：本题考查待定系数法求函数解析式、最值问题、直线方程及综合分析问题的能力，属★★★★★级题目.‎ 知识依托：函数的奇偶性、重要不等式求最值、方程与不等式的解法、对称问题.‎ 错解分析：不能把a与b间的等量关系与不等关系联立求b；忽视b为自然数而导致求不出b的具体值；P、Q两点的坐标关系列不出解.‎ 技巧与方法：充分利用题设条件是解题关键.本题是存在型探索题目，注意在假设存在的条件下推理创新，若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定的结论，并加以论证.‎ 解：（1）∵f(x)是奇函数 ‎∴f(–x)=–f(x)，即 ‎∴–bx+c=–bx–c ‎∴c=0‎ ‎∴f(x)=‎ 由a＞0，b是自然数得当x≤0时，f(x)≤0，‎ 当x＞0时，f(x)＞0‎ ‎∴f(x)的最大值在x＞0时取得.‎ ‎∴x＞0时，‎ 当且仅当 即时，f(x)有最大值 ‎∴=1,∴a=b2 ①‎ 又f(1)＞，∴＞,∴5b＞2a+2 ②‎ 把①代入②得2b2–5b+2＜0解得＜b＜2‎ 又b∈N,∴b=1,a=1,∴f(x)=‎ ‎（2）设存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，且P、Q关于点（1，0）对称，‎ P(x0,y0)则Q（2–x0,–y0)，∴,消去y0，得x02–2x0–1=0‎ 解之，得x0=1±,‎ ‎∴P点坐标为()或()进而相应Q点坐标为Q（）‎ 或Q().‎ 过P、Q的直线l的方程：x–4y–1=0即为所求.‎ ‎［例2］如图，三条直线a、b、c两两平行，直线a、b间的距离为p，直线b、c间的距离为，A、B为直线a上两定点，且｜AB｜=2p，MN是在直线b上滑动的长度为2p的线段.‎ ‎（1）建立适当的平面直角坐标系，求△AMN的外心C的轨迹E；‎ ‎（2）接上问，当△AMN的外心C在E上什么位置时，d+｜BC｜最小，最小值是多少？（其中d是外心C到直线c的距离）.‎ 命题意图：本题考查轨迹方程的求法、抛物线的性质、数形结合思想及分析、探索问题、综合解题的能力.属★★★★★级题目.‎ 知识依托：求曲线的方程、抛物线及其性质、直线的方程.‎ 错解分析：①建立恰当的直角坐标系是解决本题的关键，如何建系是难点，②第二问中确定C点位置需要一番分析.‎ 技巧与方法：本题主要运用抛物线的性质，寻求点C所在位置，然后加以论证和计算，得出正确结论，是条件探索型题目.‎ 解：（1）以直线b为x轴，以过A点且与b直线垂直的直线为y轴建立直角坐标系.‎ 设△AMN的外心为C(x,y)，则有A(0,p)、M（x–p,0)，N(x+p,0)，‎ 由题意，有｜CA｜=｜CM｜‎ ‎∴,化简，得 x2=2py 它是以原点为顶点，y轴为对称轴，开口向上的抛物线.‎ ‎（2）由（1）得，直线C恰为轨迹E的准线.‎ 由抛物线的定义知d=｜CF｜，其中F（0,）是抛物线的焦点.‎ ‎∴d+｜BC｜=｜CF｜+｜BC｜‎ 由两点间直线段最短知，线段BF与轨迹E的交点即为所求的点 直线BF的方程为联立方程组 得.‎ 即C点坐标为().‎ 此时d+｜BC｜的最小值为｜BF｜=.‎ ‎●锦囊妙计 如果把一个数学问题看作是由条件、依据、方法和结论四个要素组成的一个系统，那么把这四个要素中有两个是未知的数学问题称之为探索性问题.条件不完备和结论不确定是探索性问题的基本特征.‎ 解决探索性问题，对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面有较高要求，高考题中一般对这类问题有如下方法：（1）直接求解；（2）观察——猜测——证明；（3）赋值推断；（4）数形结合；（5）联想类比；（6）特殊——一般——特殊.‎ ‎●歼灭难点训练 一、选择题 ‎1.（★★★★）已知直线l⊥平面α，直线m平面β，有下面四个命题，其中正确命题是( )‎ ‎①α∥βl⊥m ②α⊥βl∥m ③l∥mα⊥β ④l⊥mα∥β A.①与② B.①与③ C.②与④ D.③与④‎ ‎2.（★★★★）某邮局只有0.60元，0.80元，1.10元的三种邮票.现有邮资为7.50元的邮件一件，为使粘贴邮票的张数最少，且资费恰为7.50元，则最少要购买邮票( )‎ A.7张 B.8张 C.9张 D.10张 二、填空题 ‎3.(★★★★)观察sin220°+cos250°+sin20°cos50°=,sin215°+cos245°+sin15°‎ ‎·cos45°=，写出一个与以上两式规律相同的一个等式 .‎ 三、解答题 ‎4.（★★★★）在四棱锥P—ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，问底面的边BC上是否存在点E.（1）使 ‎∠PED=90°；（2）使∠PED为锐角.证明你的结论.‎ ‎5.（★★★★★）已知非零复数z1,z2满足｜z1｜=a,｜z2｜=b,｜z1+z2｜=c（a、b、c均大于零），问是否根据上述条件求出？请说明理由.‎ ‎6.（★★★★★）是否存在都大于2的一对实数a、b(a＞b)使得ab, ,a–b,a+b可以按照某一次序排成一个等比数列，若存在，求出a、b的值，若不存在，说明理由.‎ ‎7.（★★★★★）直线l过抛物线y2=2px(p＞0）的焦点且与抛物线有两个交点，对于抛物线上另外两点A、B直线l能否平分线段AB？试证明你的结论.‎ ‎8.（★★★★★）三个元件T1、T2、T3正常工作的概率分别为0.7、0.8、0.9，将它们的某两个并联再和第三个串联接入电路，如图甲、乙、丙所示，问哪一种接法使电路不发生故障的概率最大？‎ 参 考 答 案 ‎●难点磁场 ‎1.解析：如图–a与b，c的夹角为60°,且|a|=|–a|=3.‎ 由平行四边形关系可得–a=3c+b,∴a=–3c–b.‎ 答案：a=–3c–b ‎2.解析：飞机成功飞行的概率分别为：4引擎飞机为：‎ ‎2引擎飞机为.‎ 要使4引擎飞机比2引擎飞机安全，则有：‎ ‎6P2（1–P）2+4P2（1–P）+P4≥2P(1–P)+P2,解得P≥.‎ 即当引擎不出故障的概率不小于时，4引擎飞机比2引擎飞机安全.‎ ‎●歼灭难点训练 一、1.解析：①l⊥α且α∥βl⊥β,mβl⊥m.‎ ‎②α⊥β且l⊥αl∥β,但不能推出l∥m.‎ ‎③l∥m,l⊥αm⊥α,由mβα⊥β.‎ ‎④l⊥m,不能推出α∥β.‎ 答案：B ‎2.解析：选1.1元5张，0.6元2张，0.8元1张.故8张.‎ 答案：B 二、3.解析：由50°–20°=(45°–15°)=30°‎ 可得sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)=.‎ 答案：sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)=‎ 三、4.解：(1)当AB≤AD时，边BC上存在点E，使∠PED=90°;当AB>AD时，使∠PED=90°的点E不存在.（只须以AD为直径作圆看该圆是否与BC边有无交点）（证略）‎ ‎（2）边BC上总存在一点，使∠PED为锐角，点B就是其中一点.‎ 连接BD，作AF⊥BD，垂足为F，连PF，∵PA⊥面ABCD，∴PF⊥BD，又△ABD为直角三角形，∴F点在BD上，∴∠PBF是锐角.‎ 同理，点C也是其中一点.‎ ‎5.解：∵|z1+z2|2=(z1+z2)(+)=|z1|2+|z2|2+(z1+z2)‎ ‎∴c2=a2+b2+(z1+z2)‎ 即：z1+z2=c2–a2–b2‎ ‎∵z1≠0,z2≠0，∴z1+·z2= =|z2|2()+|z1|2()‎ 即有：b2()+a2()=z1z2+z1z2‎ ‎∴b2()+a2()=c2–a2–b2‎ ‎∴a2()2+(a2+b2–c2)()+b2=0‎ 这是关于的一元二次方程，解此方程即得的值.‎ ‎6.解：∵a>b,a>2,b>2,∴ab,,a–b,a+b均为正数，且有ab>a+b>,ab>a+b>a–b.‎ 假设存在一对实数a,b使ab,,a+b,a–b按某一次序排成一个等比数列，则此数列必是单调数列.不妨设该数列为单调减数列，则存在的等比数列只能有两种情形，即①ab,a+b,‎ a–b,,或②ab,a+b,,a–b由（a+b）2≠ab·所以②不可能是等比数列，若①为等比数列，则有：‎ 经检验知这是使ab,a+b,a–b,成等比数列的惟一的一组值.因此当a=7+,b=时，ab,a+b,a–b,成等比数列.‎ ‎7.解：如果直线l垂直平分线段AB，连AF、BF，∵F（，0）∈l.∴|FA|=|FB|,设 A（x1,y1）,B(x2,y2),显然x1>0,x2>0,y1≠y2,于是有（x1–）2+y12=(x2–)2+y22,整理得：（x1+x2–p)(x1–x2)=y22–y12=–2p(x1–x2).显然x1≠x2(否则AB⊥x轴，l与x轴重合，与题设矛盾）得：x1+x2–p=–2p即x1+x2=–p<0,这与x1+x2>0矛盾，故直线l不能垂直平分线段AB.‎ ‎8.解：设元件T1、T2、T3能正常工作的事件为A1、A2、A3，电路不发生故障的事件为A，则P（A1）=0.7，P（A2）=0.8，P（A3）=0.9.‎ ‎（1）按图甲的接法求P（A）：A=（A1+A2）·A3，由A1+A2与A3相互独立，则P（A）=P（A1+A2）·P（A3）‎ 又P（A1+A2）=1–P（）=1–P（·）由A1与A2相互独立知与相互独立，得：P（·）=P（）·P（）=［1–P（A1）］·［1–P（A2）］=（1–0.7）×(1–0.8)=0.06，∴P(A1+A2)=0.1–P(·)=1–0.06=0.94，‎ ‎∴P(A)=0.94×0.9=0.846.‎ ‎(2)按图乙的接法求P（A）：A=（A1+A3）·A2且A1+A3与A2相互独立，则P（A）=P（A1+A3）·‎ P（A2），用另一种算法求P（A1+A3）.∵A1与A3彼此不互斥，根据容斥原理P（A1+A3）=‎ P（A1）+P（A3）–P（A1A3），∵A1与A3相互独立，则P（A1·A3）=P（A1）·P（A3）=0.7×0.9=0.63,P(A1+A3)=0.7+0.9–0.63=0.97.∴P(A)=P(A1+A3)·P(A2)=0.97×0.8=0.776.‎ ‎(3)按图丙的接法求P（A），用第三种算法.‎ A=（A2+A3）A1=A2A1+A3A1,∵A2A1与A3A1彼此不互斥，据容斥原理，则P（A）=P（A1A2）+P（A1A3）–P（A1A2A3），又由A1、A2、A3相互独立，得P（A1·A2）=P（A1）P（A2）=0.8×0.7=0.56,‎ P(A3A1)=P(A3)·P(A1)=0.9×0.7=0.63,‎ P(A1A2A3)=P(A1)·P(A2)·P(A3)=0.7×0.8×0.9=0.504,‎ ‎∴P(A)=0.56+0.63–0.504=0.686.‎ 综合（1）、（2）、（3）得，图甲、乙、丙三种接法电路不发生故障的概率值分别为0.846,0.776,0.686.‎ 故图甲的接法电路不发生故障的概率最大.‎