2018-2019学年四川省成都外国语学校高二下学期期中考试理科数学试题 解析版

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绝密★启用前 四川省成都外国语学校2018-2019学年高二下学期期中考试理科数学试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．复数的虚部为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据虚部的定义直接得到结果.‎ ‎【详解】‎ 的虚部为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数实部和虚部的求解，属于基础题.‎ ‎2．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式求出集合，利用交集的定义得到结果.‎ ‎【详解】‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.‎ ‎3．若平面向量，，若，则（ ）‎ A． B． C．1或 D．1或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过向量平行的性质得到方程，解方程求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，且 ‎，解得：或 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用向量平行的性质求解参数，属于基础题.‎ ‎4．若，则（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据同角三角函数关系可将式子变为关于的式子，代入求得结果.‎ ‎【详解】‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用同角三角函数关系解决与、有关的齐次式问题，属于基础题.‎ ‎5．已知正方体的棱长为，是底面的中心，则异面直线与所成的角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过平移将问题变为与所成角；根据等腰三角形三线合一可知 ‎，从而得到所成角为.‎ ‎【详解】‎ 原题如下图所示：‎ ‎ 异面直线与所成角即为与所成角 连接，‎ 且为中点 ‎ 异面直线与所成角为 ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线所成角的求解，关键是通过平移利用相交直线所成角来求解，属于基础题.‎ ‎6．函数的部分图象大致是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的奇偶性排除；判断时，的符号可排除，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 定义域为： ‎ ‎ 为奇函数，可排除；‎ 当时，，可排除，从而可得正确 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查具体函数图象的识别问题，解题常用方法为排除法，排除法验证的顺序通常为：奇偶性、特殊值、单调性.‎ ‎7．已知命题若复数，则；命题抛物线的准线为，则下列命题为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别判断的真假性，利用含逻辑连接词的命题真假性判断原则依次判断各个选项，得到正确结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ，则命题为真；‎ ‎ 准线方程为：，则命题为假；‎ 选项：为真，则为假，可知错误；‎ 选项：为假，为假，则为假，可知错误；‎ 选项：为假，为假，则为假，可知错误；‎ 选项：为假，则为真，则为真，可知正确.‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查含逻辑连接词的命题真假性的判断，需明确“非”命题与原命题真假性相反；“且”命题一假全假；“或”命题一真全真.‎ ‎8．甲.乙两人约定在上午到之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人20分钟，过时即可离去。若他们在限时内的任何时刻到达约定地的概率都是相等的，则两人能会面的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用坐标的方式表示甲乙两人到达的时间点，构成正方形区域；根据得到能够会面的时间点构成的区域，根据几何概型面积型的公式求得结果.‎ ‎【详解】‎ 共分钟 设甲在分钟当中第分钟到达；乙在分钟当中第分钟到达 则，‎ 构成如下图所示的正方形区域 若甲乙能够会面，则满足，即图中阴影部分所示 两人能会面的概率 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查几何概型中面积型问题的求解，关键是能够将问题转化为平面直角坐标系中的点所构成的区域的问题，属于常规题型.‎ ‎9．阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为21，则判断框中应填入的条件为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按照程序框图运行程序，直到时输出结果，反查此时的值，确定判断框应填的条件.‎ ‎【详解】‎ 按照程序框图运行程序，输入，不符合，循环 第一次运行：，不符合，循环 第二次运行：，不符合，循环 第三次运行：，符合，输出结果 可知符合判断框条件，不符合判断框的条件 由此可得判断框应填：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查补全循环结构的程序框图的条件，按照程序框图运行程序，直到满足输出结果时输出，再根据此时的取值判断应填条件是解决本题的关键.‎ ‎10．将函数的图像沿轴向左平移个单位后，得到一个函数的图像，则“是偶函数”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得函数向左平移个单位后的表达式，然后根据函数为偶函数求得的值，再根据充分、必要条件的知识选出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 函数的图像沿x轴向左平移个单位后，得到，当为偶函数时，，.故“ 是偶函数”是“”的必要不充分条件.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查三角函数图像变换的知识，考查三角函数为偶函数需要满足的条件，考查充要条件的判断，属于基础题.‎ ‎11．设，是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角为，则的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用双曲线的定义求出，，，然后利用最小内角为结合余弦定理，求出双曲线的离心率．‎ ‎【详解】‎ 解：因为、是双曲线的两个焦点，是双曲线上一点，且满足，‎ 不妨设是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知 所以，，，‎ ‎,,为△最小边,‎ ‎△的最小内角，根据余弦定理，‎ ‎，‎ 即，‎ ‎，‎ 所以．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．属于基础题.‎ ‎12．已知函数的导函数为，且满足，，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得，由即可求得，将 恒成立转化成：恒成立.记，利用导数判断的单调性，从而求得，问题得解。‎ ‎【详解】‎ 由题可得：，由 所以函数的图象关于直线对称，即：，解得：‎ 所以恒成立可整理成：，恒成立.‎ 即：恒成立.‎ 记：，‎ 当时，，单调递减 当时，，单调递增 所以.‎ 所以，即：.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数对称性判断，还考查了转化思想及利用导数求函数的最值方法，考查计算能力，属于难题。‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．某乡镇中学有初级职称教师100人，中级职称教师70人，高级职称教师30人，要从其中抽取20人进行体检，如果采用分层抽样的方法，则高级职称教师应该抽取的人数为______‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据条件计算出抽样比，然后按抽样比计算出应抽取人数.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，共有教师：人 则抽样比为：‎ 可知高级职称教师应抽取：人 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抽样方法中的分层抽样问题，属于基础题.‎ ‎14．计算：_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用定积分公式计算即可。‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了定积分计算，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎15．已知实数，满足，则的取值范围是_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据约束条件画出可行域，利用的意义，将问题转化为可行域内的点到原点的距离的平方；根据图形找到距离的最大值和最小值，从而使得问题得以求解.‎ ‎【详解】‎ 根据约束条件，画出可行域如下图阴影部分所示：‎ 的几何意义为到原点的距离的平方 可行域中到原点距离最大的点为，则 距离的最小值为原点到直线的距离 ‎，则 综上所述，‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性规划问题中的距离型的求解，关键是能够利用几何意义将问题转化为可行域内的点到原点的距离的平方.‎ ‎16．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色，先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，，则在这个红色子数列中，由1开始的第1000个数是_________‎ ‎【答案】1968‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 记第次染色的最后一个数字为，由题可得，第次染色共染了个数字，且第次染色的最后一个数字为，求出前次染色数字的个数之和为：，即可判断第1000个数在第次染色的数字中，求得第次染色的最后一个数字为：，所以第1000个数是第次染色中的第个数偶数，问题得解。‎ ‎【详解】‎ 记第一次染色：染1；共1个数，且所染数字都是奇数。‎ 第二次染色：染3个偶数2，4，6；共3个数，且所染数字都是偶数。‎ 第三次染色：染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；共5个数，，且所染数字都是奇数。‎ 第四次染色：染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；共7个数，且所染数字都是偶数。‎ 则第次染色：共个数字，，且所染数字与的奇偶性相同。‎ 每次染数的个数依次构成一个等差数列，‎ 前次染色数字的个数之和为：‎ 令，则 所以第1000个数字在第次染色的数字中 记第次染色的最后一个数字为，由题可得：，，，，……，依次类推 所以第次染色的最后一个数字为：，且前次染色数字的个数之和为：，‎ 所以第1000个数在第次染色中的第位数字，‎ 即从之后的第个偶数，‎ 所以由1开始的第1000个数是：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了归纳推理及等差数列求和公式，还考查了数列通项公式猜想，考查分析问题能力，属于难题。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．在平面直角坐标系中，直线的方程为，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆的极坐标方程为。‎ ‎(1)求圆的平面直角坐标方程，并写出圆心和半径；‎ ‎(2)若直线与圆交于两点,求的值。‎ ‎【答案】（1），圆心为,半径为3；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用，得到的直角坐标方程；由圆的标准方程得到圆心和半径；（2）将代入圆的方程，求得横坐标，横坐标之差的绝对值即为所求值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，可得：‎ 即：，圆心为，半径 ‎（2）将代入可得：‎ 则 ‎【点睛】‎ 本题考查极坐标和直角坐标的互化、弦长的求解问题，属于基础题.‎ ‎18．已知函数。 ‎ ‎（1）求在点处的切线；‎ ‎（2）求函数的单调区间和极值。‎ ‎【答案】（1）；（2）函数的增区间是和，减区间为；极大值是，极小值是 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用解析式求出切点坐标，利用导数求出切线斜率，根据直线点斜式方程写出切线方程；（2）利用导数得到原函数的单调性，根据极值定义可知极值点，代入求得极值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），则 则，‎ 故切线为，即 ‎（2），列表如下：‎ 极大值 极小值 所以函数的增区间是和，减区间为 极大值是，极小值是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求解函数的切线方程、单调区间和极值的问题，能够明确导数的几何意义以及导数与函数单调性的关系是解决本题的关键，属于基础题.‎ ‎19．某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数与烧开一壶水所用时间的一组数据，且作了一定的数据处理(如下表)，得到了散点图(如下图)．‎ ‎1.47‎ ‎20.6‎ ‎0.78‎ ‎2.35‎ ‎0.81‎ ‎-19.3‎ ‎16.2‎ 表中．‎ ‎（1）根据散点图判断，与哪一个更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型?(不必说明理由)‎ ‎（2）根据判断结果和表中数据，建立关于的回归方程；‎ ‎（3）若旋转的弧度数与单位时间内煤气输出量成正比，那么为多少时，烧开一壶水最省煤气？‎ 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．‎ ‎【答案】（1）更适宜；（2）；（3）时，煤气用量最小．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据散点图是否按直线型分布作答；（2）根据回归系数公式得出y关于ω的线性回归方程，再得出y关于x的回归方程；（3）利用基本不等式得出煤气用量的最小值及其成立的条件．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型．‎ ‎（2）由公式可得：，‎ ‎，‎ 所以所求回归方程为．‎ ‎（3）设，则煤气用量，‎ 当且仅当时取“=”，即时，煤气用量最小．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查可化为线性相关的回归方程的求解，基本不等式的应用，熟记回归方程计算公式和基本不等式，准确计算是关键，属于中档题．‎ ‎20．如图所示，已知三棱锥中，底面是等边三角形，且，分别是的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）连接，因为是的中点，由等腰三角形及等边三角形的性质可得，从而利用线面垂直的判定定理可得结果；（2）先根据勾股定理证明与垂直，再以为轴建立空间直角坐标系，平面的一个法向量为，利用向量垂直数量积为零，列方程组求出平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式可求得二面角的余弦值.‎ 试题解析：(1)连接，因为，底面等边三角形，‎ 又因为是的中点，‎ 所以 又因为，‎ 所以平面.‎ ‎（2）因为，‎ 由（1）可知，‎ 而，所以 以为原点，以的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，‎ 则，，，，‎ 由题得平面的一个法向量为.‎ 设平面的一个法向量为 所以，即 令得 所以，‎ 所以 由题意知二面角为锐角，‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.‎ ‎21．已知椭圆：的离心率为， 且以两焦点为直径的圆的面积为。‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若直线：与椭圆相交于，两点，点的坐标为，问直线与的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值，若不是，试说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据离心率和圆的半径为构造方程组求得，从而求得椭圆方程；（2）直线方程与椭圆方程联立，利用，表示出，结合韦达定理进行整理，从而整理出定值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知可得,，解得，‎ 故所求的椭圆方程为 ‎（2）由联立得：‎ 则，解得或 设，，则，‎ 则，‎ 所以 所以为定值，且定值为 ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆标准方程的求解以及椭圆中的定值类问题的求解，关键是能够将已知等量关系利用韦达定理进行化简、整理，从而能够消去参数，得到所求定值.‎ ‎22．已知函数，其中.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，证明:；‎ ‎（3）试比较与 ，并证明你的结论。‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得，对的范围分类讨论即可求得的单调性。‎ ‎（2）将转化成，证明恒成立，利用导数求得，问题得证。‎ ‎（3）由（2）可得：，整理得：，所以，整理 得：‎ 利用即可得：，问题得解。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数的定义域为：， ‎ ‎①当时，，所以在上单调递增 ‎ ‎②当时，令，解得 ．‎ 当时，，所以， 所以在上单调递减； ‎ 当时，，所以，所以在上单调递增． ‎ 综上，当时，函数在上单调递增；‎ 当时，函数在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎（2）当 时，，要证明，‎ 即证，即证：. ‎ 设，则 ，令得，.‎ 当时，，当时，.‎ 所以为极大值点，且在处取得最大值。‎ 所以，即。故.‎ ‎（3）证明：（当且仅当时等号成立），即,‎ 则有+‎ ‎,‎ 故：+‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数判断函数的单调性及利用导数求函数的最值，还考查了分类思想及转化思想，考查放缩法证明不等式，还考查了裂项求和方法，考查计算能力，属于难题。‎