江苏省淮安市涟水县第一中学2020届高三上学期月考数学（理）试题

江苏省淮安市涟水县第一中学2020届高三上学期月考数学（理）试题

涟水县第一中学2019-2020学年度高三第二次月考 数学（理科）试题 命题： 审核: 2019.12.15‎ 一、填空题（共14题，每题5分，合计70分）‎ ‎1.已知集合，，则___‎ ‎2.复数（是虚数单位）的共轭复数为 ‎3.若角的终边上有一点，则实数的值_________‎ ‎4.函数f（x）=log3（1+x）+的定义域是______‎ ‎5．设等差数列的前项和为，若，，则数列的公差等于____‎ ‎6.已知，，，，类比这些等式，‎ 若（，均为正整数），则______‎ ‎7.设，满足约束条件，则的最小值为______‎ ‎8.已知函数，）的部分图象如图所示，‎ 则______ 9.如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，‎ 若，则的值是______‎ ‎ （第8题图） （第9题图）‎ ‎10.已知，则的值为______________‎ ‎11.已知关于的不等式在区间上恒成立，则实数的 取值范围为____________.‎ 12. 已知函数是定义在上的偶函数，若对于，都有，‎ 且当时，，则____________‎ 13. 对于数列，定义数列为数列的“倍差数列”，若的 ‎“倍差数列”的通项公式为，则数列的前项和________________‎ ‎14.已知，若关于的方程有四个实根则这四根之和的取值范围是_______________‎ 二、解答题 ‎15.（本大题14分）‎ 设命题：实数满足，其中；命题：实数满足.‎ ‎（1）当时，若为真，求的取值范围；‎ ‎（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.‎ ‎16．（本大题14分）‎ 已知向量，，设函数．‎ ‎（1）求f（x）的最小正周期与单调递减区间；‎ ‎（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若，，△ABC的 面积为，求a的值．‎ ‎17.（本大题14分）‎ 是否存在常数使得等式对一切正整数都成 立？若存在，求出值，并用数学归纳法证明你的结论；若不存在，请说明理由.‎ ‎18（本大题16分）‎ 首届中国国际进口博览会于‎2018年11月5日至10日在上海的国家会展中心举办.国家展、企业展、经贸论坛、高新产品汇集……首届进博会高点纷呈.一个更加开放和自信的中国，正用实际行动为世界构筑共同发展平台，展现推动全球贸易与合作的中国方案.‎ 某跨国公司带来了高端智能家居产品参展，供购商洽谈采购，并决定大量投放中国市场.已知该产品年固定研发成本30万美元，每生产一台需另投入90美元.设该公司一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为万美元,‎ ‎（1）写出年利润（万美元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本）‎ ‎（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润.‎ ‎19.（本大题16分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，求证：；‎ ‎（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值．‎ ‎20.（本大题16分）‎ 定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.‎ ‎（1）已知等比数列{an}满足：，求证:数列{an}为“M－数列”；‎ ‎（2）已知数列{bn}满足:，其中Sn为数列{bn}的前n项和．‎ ‎①求数列{bn}的通项公式；‎ ‎②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m时，都有 成立，求m的最大值．‎ 理科参考答案 一、 填空题 1． ‎ 2． 3． 4． 5．； ‎ 6. ‎ 89 7．8 8． 1 9． 10．‎ ‎11. 12．0 13． 14．‎ 二、 解答题 ‎15．解：（1）当时，真，则，解得；.............2分 真，则解得.............4分 ‎∵为真，则真且真，‎ 故的取值范围为.............7分 ‎（2）是的必要不充分条件，则是的必要不充分条件，.............9分 ‎∵真，有，............11分 ‎∴.故.............14分 ‎16.解（1）∵，，‎ ‎∴‎ ‎............3分 ‎∴............4分 令（），∴（）‎ ‎∴的单调区间为，............7分 ‎（2）由得，，‎ ‎∴‎ 又∵为的内角，∴，∴，∴............10分 ‎∵，，∴，∴............12分 ‎∴ ，∴.............14分 ‎17．解：分别令，可得，解得．............4分 故猜想等式对一切正整数都成立. ‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当n=1时，由上面的探求可知等式成立．............6分 ‎②假设时猜想成立，‎ 即．............8分 当n=k＋1时，‎ ‎............10分 ‎．............12分 所以当n=k＋1时，等式也成立．............13分 由①②知猜想成立，即存在使命题成立．............14分 ‎18．解：（1）当时， ；...........3分 当时， .............6分 函数解析式为............8分 ‎（2）当时，因为，在上单调递增，‎ 所以当时，.............10分 当时，‎ ‎.............13分 当且仅当，即时等号成立.............14分 因为，所以时，的最大值为2380万美元.............15分 答：当年产量为29万台时，该公司在该产品中获得的利润最大，最大利润为2380美元 .............16分 19． 解：（Ⅰ），令得或者.‎ ‎ ............2分 当时，，此时切线方程为，即；‎ 当时，，此时切线方程为，即；‎ 综上可得所求切线方程为和 .............4分 ‎（Ⅱ）设，............5分 令得或者，‎ 所以当时，，为增函数；‎ 当时，，为减函数；‎ 当时，，为增函数；............7分 而，所以，即；............8分 同理令，可求其最小值为，所以，即，............9分 综上可得.............10分 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，‎ 所以是中的较大者，............12分 若，即时，；...........13分 若，即时，............14分 所以当最小时，，此时.............16分 ‎20．解（1）设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0.‎ 由，得，解得．‎ 因此数列为“M—数列”.............4分 ‎（2）①因为，所以．‎ 由得，则.............5分 由，得，............6分 当时，由，得，‎ 整理得．............9分 所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.‎ 因此，数列{bn}的通项公式为bn=n.............10分 ‎②由①知，bk=k，.‎ 因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0‎ 因为ck≤bk≤ck+1，所以，其中k=1，2，3，…，m.‎ 当k=1时，有q≥1；‎ 当k=2，3，…，m时，有．‎ 设f（x）=，............13分 则．‎ 令，得x=e.列表如下：‎ x e ‎(e，+∞)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎–‎ f（x）‎ 极大值 因为，所以．............14分 取，当k=1，2，3，4，5时，，即，‎ 经检验知也成立．‎ 因此所求m的最大值不小于5．‎ 若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，‎ 所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.‎ 综上，所求m的最大值为5．............16分