陕西省汉中市龙岗学校2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题

陕西省汉中市龙岗学校2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题

汉中市龙岗学校 2021 届高二上期末考试 数学试题（理科） 一.选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1.已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先化简集合 B,再求 得解. 【详解】由题得 , 所以 . 故选：D 【点睛】本题主要考查对数不等式的解法和集合的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌 握水平. 2.抛物线 的焦点坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出 的值，再求抛物线的焦点坐标得解. 【详解】由题得 . 所以抛物线的焦点坐标为 . 故选：B 【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 1 1{ , ,1,2,3}3 2A = { | lg 0}B x x= ≥ A B = 1 1{ , }3 2 1 1{ , .1}3 2 { }2,3 { }1,2,3 A B { | lg 0} { | 1}B x x x x= ≥ = ≥ {1,2,3}A B∩ = 2 8y x= − ( )2,0 ( )2,0− ( )4,0 ( )4,0− p 2 8, 4 22 pp p= ∴ = ∴ =， ( )2,0− 3.已知向量 若 ，则 （ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 向量的坐标运算和向量的数量积求出 的值,再根据向量的模计算即可本题考查了向量的坐 标运算和向量的数量. 【详解】解：由已知得 即 解得： 故选 A 【点睛】本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积的运算以及向量的模,属于基础题. 4.已知 ，则 =（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据同角三角函数的基本关系，由 ，化为正切即可求解. 【详解】 , 且 ， (1, ), (1, 1),a x b x= = −  ( 2 )a b a− ⊥   | 2 |a b− =  2 3 5 x 2 ( 1, 2)a b x− = − − + ( 2 )a b a− ⊥    ( 2 ) 0a b a∴ − ⋅ =  1 1 ( 2) 0x x− × + − + = 1x = 2 2| 2 | ( 1) 1 2a b∴ − = − + =  tan 2α = 2cos α 1 4 3 4 4 5 1 5 2 2 2 2 coscos cos sin αα α α= + 2 2 2 2 2 cos 1cos cos sin 1 tan αα α α α= =+ + tan 2α = ， 故选：D 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，弦化切的思想，属于中档题. 5.函数 在区间 上的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】 根据题意，分析函数的奇偶性可得函数 f（x）为偶函数，据此可以排除 A、D；又由 x→0 时， xsinx+lnx＜0，分析可得答案． 【详解】根据题意，f（x）＝xsinx+ln|x|，其定义域为{x|x≠0}， 有 f（﹣x）＝（﹣x）sin（﹣x）+ln|（﹣x）|＝xsinx+ln|x|＝f（x），即函数 f（x） 偶函数， 在区间[﹣2π，0）∪（0，2π]上关于 y 轴对称，排除 A、D； 又由 x→0 时，xsinx+lnx＜0，排除 C； 故选 B． 【点睛】本题考查函数图象的判断，考查函数的奇偶性，此类题目一般用排除法分析． 6.由曲线 ， 围成的封闭图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【 为 ∴ 2 1 1cos 1 4 5 α = =+ ( ) sin lnf x x x x= + [ 2 ,2 ]π π− 2y x= 3y x= 1 3 1 4 1 12 7 12 围成的封闭图形的面积为 ，选 C. 【此处有视频，请去附件查看】 7.已知 是各项为正的等比数列 的前 项和，若 ，则 ( ) A. 32 B. 64 C. 128 D. 256 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知结合等比数列的通项公式求得首项和公比，再代入等比数列的通项公式即可求解. 【详解】 在各项为正的等比数列中， ，即 ， 又 ， ， 解得 ， ， 故选：C 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，求和公式，属于中档题. 8.函数 的部分图象如图所示,若将 图象向 左平移 个单位后得到 图象,则 的解析式为( ) 1 3 4 2 3 1 0 0 1 1 1( ) ( )3 4 3 4 12 x xx x dx− = − = − =∫ nS { }na n 2 4 316, 7a a S⋅ = = 8a =  2 4 16,a a⋅ = ∴ 2 2 4 3 16a a a⋅ = = 3 4a = 3 7S = 2 1 1 1 4 4 7 a q a a q  =∴ + + = 1 1, 2a q= = 7 8 2 128a∴ = = ( ) sin( )( 0, 0, )2f x A x A πω φ ω φ= + > > < ( )f x 4 π ( )g x ( )g x A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数的图象求出函数 的解析式，再根据图象的平移变换得到 的解析式即可. 【详解】由图象可知，A=2, , , , 又当 时， ， 即 ， ， ， 故 ， 将 图象向左平移 个单位后得到 ， ， 故选：C 【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，图象的变换，属于中档题. 9.如图，半径为 的圆 内有四个半径相等的小圆，其圆心分别为 ，这四个小圆 都与圆 内切，且相邻两小圆外切，则在圆 内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率 为（ ） 2( ) 2sin(2 )3g x x π= + 5( ) 2sin(2 )6g x x π= − ( ) 2sin(2 )6g x x π= + ( ) 2sin(2 )3g x x π= − ( )f x ( )g x 5 4 12 6 4 T π π π= − = 2T ππ ω∴ = = 2ω∴ = 5 12x π= 52sin(2 ) 212 π φ× + = 5sin( ) 16 π φ+ = 2 πφ < 3 πφ∴ = − ( ) sin( )f x x π= −2 2 3  ( )f x 4 π ( )g x ∴ ( ) 2sin[2( ) ] 2sin(2 )4 3 6g x x x π π π= + − = + R O , , ,A B C D O O A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析：由圆与圆的位置关系得到小圆半径与大圆半径的比值，利用几何概型的概率等于面积 比，列式求解即可. 详解：设小圆的半径为 ， 根据四个小圆与大圆内切可得，四个小圆互相外切， 可知四边形 为正方形， . 所以： ，解得 . 大圆的面积为： ，四个小圆的面积为 . 由几何概型的的概率公式可得：该点恰好取自阴影部分的概率为 . 故选 A. 点睛： (1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求 解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找， 有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域． （3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这 些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概 率． 10.汕头某家电企业要将刚刚生产的 100 台变频空调送往市内某商场，现有 4 辆甲型货车和 12 8 2− 6 4 2− 9 6 2− 3 2 2− r ABCD 2OA r= 2R r r− = ( )2 1 2 1 Rr R= = − + 2Rπ ( )2 24 2 1 Rπ − ( )2 2 2 4 2 1 12 8 2 R R π π − = − 8 辆乙型货车可供调配，每辆甲型货车的运输费用是 400 元，可装空调 20 台，每辆乙型货 车的运输费用是 300 元，可装空调 10 台，若每辆车至多运一次，则企业所花的最少运费为 （ ） A. 2000 元 B. 2200 元 C. 2400 元 D. 2800 元 【答案】B 【解析】 【分析】 设需甲、乙型货车各 x、y 辆，企业所花的费用为 z 元，由题意可得关于 x，y 的不等式组， 并得到目标函数，由不等式组作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到 最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【详解】设需甲、乙型货车各 x 、 y 辆，企业所花的费用为 z 元， 由题意有 ⎪， 由约束条件作出可行域如图： 化目标函数 z=400x+300y 为 ， 由图可知当 x=4,y=2 时 ,z 最小值为 2200. 故选 B. 【此处有视频，请去附件查看】 11.已知离心率为 的椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，过 点 且斜率为 1 的直线与椭圆 在第一象限内的交点为 ，则 到直线 ， 轴的距离 20 10 100 0 4 0 8 x y x y + ≥  ≤ ≤  ≤ ≤ 3 4 300 zy x= + 2 2 E 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1F 2F 2F E A 2F 1F A y 之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 结合椭圆性质，得到 a,b,c 的关系，设 ，用 x 表示 ,结合余弦定理，用 c 表 示 x，结合三角形面积公式，即可． 【详解】结合 ，所以 ，设 ， ，对三角形 运用余弦定理 得到 ，代入，得到 ，即 ，运用三角形面积相等 设 到直线 距离为 d，则 ，代入， 得到 ，所以 到直线 ， 轴的距离之比为 【点睛】本道题考查了余弦定理和三角形面积计算公式，难度较大． 12.设函数 是奇函数 （ ）的导函数， ，当 时， ，则使得 成立的 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】构造新函数 , ，当 时 . 2 5 3 5 2 2 2 2AF x= 1 1 2,AF F F 2 2 22 ,2 ce a b ca = = = + 2 ,a c b c= = 2 1, 2 2AF x AF c x= = − 1 2 2F F c= 1 2AF F 2 2 2 0 2 1 2 1 2 1 22 cos , 135AF F F AF AF F F θ θ+ − = ⋅ = 2 3x c= 1 2 5 22 ,3 3AF c AF c= = 2F 1F A 2 1 2 1 1 1sin2 2AF F F AF dθ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ 2 5d c= 2F 1F A y 2 5 '( )f x ( )f x x∈R ( 1) 0f − = 0x > '( ) ( ) 0xf x f x− < ( ) 0f x > x ( , 1) (0,1)−∞ −  ( 1,0) (1, )- È +¥ ( , 1) ( 1,0)−∞ − − (0,1) (1, )∪ +∞ ( ) ( )f xg x x = ( ) ( ) ( ) 2' xf x f xg x x −= ′ 0x > ( )' 0g x < 所以在 上 单减，又 ，即 . 所以 可得 ,此时 ， 又 为奇函数，所以 在 上的解集为： . 故选 A. 点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如 ，想 到构造 .一般：（1）条件含有 ，就构造 ,（2） 若 ，就构造 ，（3） ，就构造 ， （4） 就构造 ，等便于给出导数时联想构造函数. 二.填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.设曲线 在 x=1 处的切线方程是 ，则 ________； 【答案】 【解析】 因为 ，所以由导数的几何意义及题设条件可得切线的斜率 ，解之 得 ，应填答案 ． 14.在△ABC 中，a＝3， ，B＝2A，则 cosA＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】 由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式即可计算求值得解． 【详解】解：∵a＝3， ，B＝2A， ∴由正弦定理可得： ， ( )0, ∞+ ( ) ( )f xg x x = ( )1 0f = ( )1 0g = ( ) ( ) 0f xg x x = > 0 1x< < ( ) 0f x > ( )f x ( ) 0f x > ( ) ( ),0 0,−∞ ∪ +∞ ( ) ( ), 1 0,1−∞ − ∪ ( ) ( )xf x f x′ − ( ) ( )f xg x x = ( ) ( )f x f x′+ ( ) ( )xg x e f x= ( ) ( )f x f x− ′ ( ) ( ) x f xg x e = ( ) ( )2 f x f x+ ′ ( ) ( )2xg x e f x= ( ) ( )2 f x f x− ′ ( ) ( ) 2x f xg x e = 4 3y x ax= + + y x b= + a = 3− 34y x a′ = + 4 1k a= + = 3a = − 3− b 2 6= 6 3 2 6b = 2 a b b sinA sinB sinAcosA = = ∴cosA ． 故答案为 ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，属于基础 题． 15.在正三棱锥 S-ABC 中，侧面 SAB、侧面 SAC、侧面 SBC 两两垂直，且侧棱 ，则 正三棱锥 外接球的表面积为___________. 【答案】 【解析】 试题分析：正三棱锥 S-ABC 中侧棱 ，正三棱锥的外接球与以 为临边的 正方体的外接球是相同的，正方体边长为 时，体对角线为 6，球的半径为 3，所以球的 表面积为 考点：三棱锥外接球 点评：把握住三棱锥的特点将三棱锥外接球转化为正方体外接球 16.若曲线 与曲线 有四个不同的交点,则 实数 的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】 由 知 曲 线 C1 表 示 以 为 圆 心 以 1 为 半 径 的 上 半 圆 ， 表示两条直线 与 ，问题转化为 与半 圆有两个不同于半圆端点的交点，利用特殊位置过端点、相切的情况求出对应的 k,即可求解. 【详解】由 得 ， 曲线 C1 表示以 为圆心以 1 为半径的上半圆， 2 6 6 2 2 3 3 b a = = =× 6 3 2 3SA = S ABC− 36π 2 3SA = , ,SA SB SC 2 3 24 36S Rπ π= = 2 1 : 2 2C y x x= + − − 2 :( 2)( ) 0C y y kx k− − + = k 4 7( , 23 − − − ） 2 1 : 2 2C y x x= + − − ( 1,2)− 2 :( 2)( ) 0C y y kx k− − + = 2y = ( 1)y k x= − ( 1)y k x= − 2 1 : 2 2C y x x= + − − 2 2( 1) ( 2) 1 ( 2)x y y+ + − =  ( 1,2)− 显然直线 与曲线 C1 有两个交点，交点为半圆的两个端点， ∴直线 与半圆有 2 个除端点外的交点， 当直线 经过点 时， ，当直线 与半圆相切时， ，解得 或 （舍去） 所以 时，直线 与半圆有 2 个除端点外的交点， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了圆的几何性质，直线的斜率，点到直线的距离，圆的切线，属于中 档题. 三.解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17.设函数 . (1)当 时,求函数 的值域; (2) 中,角 的对边分别为 ,且 , ,求 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）根据 ，求出 范围，由正弦函数的图象和性质求解即可（2）根据 条件求出 A 的值，结合正弦定理以及两角和的正弦公式进行求解即可. 【详解】（1） ， 的 2y = ( 1)y kx k k x= − = − ( 1)y k x= − (0,2) 2 0 20 1k −= = −− ( 1)y k x= − 2 | 2 2 | 1 1 k k + = + 4 7 3k − −= 4 7 3k − += 4 7 23 k − − < < − ( 1)y k x= − 4 7( , 23 − − − ） ( ) sin(2 ) 16f x x π= + + 0, 2x π ∈   ( )f x ABC∆ , ,A B C , ,a b c 3( ) 2f A = 2 3a b= sinC 1 ,22      6 2 4 + 0, 2x π ∈   2 6x π+ 0, ,2x π ∈   72 ,6 6 6x π π π ∴ + ∈   ∴函数 值域为 ， （2） ， ， ， ， 即 , 由正弦定理得： ， ， ，则 ， 【点睛】本题主要考查了根据角的范围求正弦函数值域，正弦定理，两角和的正弦公式，属 于中档题. 18.已知数列 是公差不为 0 的等差数列，且 成等比数列. (1)求 的通项公式; (2)若 ,求 的前 项和 . 的 1 sin 2 1 22 6x π ∴ + +    ( )f x 1 ,22      3( ) sin 2 16 2f A A π = + + =   1sin 2 6 2A π ∴ + =   0 ,A π< < 1326 6 6A π π π∴ < + < 52 6 6A π π∴ + = 3A π= 2 3a b= 32 sin 3sin 2 2A B∴ = = × 2sin 2B∴ = 20 3B π∴ < < 4B π= 2 3 1 6 2sin sin[ ( )] sin( ) sin cos cos sin3 4 3 4 3 4 3 4 2 2 4C π π π π π π π ππ + +∴ = − + = + = + = × = { }na 1 2 4 81, , ,a a a a= { }na 2n n nb a= ⋅ { }nb n nT 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）根据等差数列中 成等比列出方程即可求解公差，写出通项公式（2）利 用错位相减法能求出数列 的前 项和 ． 【详解】（1） 数列 是公差不为 0 的等差数列， ，且 ， ， 成等比数列， ， 解得 ，或 （舍 ， ． （2） ， ，① ，② ① ②，得 ， ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的求法，等比中项，错位相减法求和，属 于中档题． 19.某品牌新款夏装即将上市,为了对新款夏装进行合理定价,在该地区的三家连锁店各进行 了两天试销售,得到如下数据: 连锁店 A 店 B 店 C 店 售价 x（元） 80 86 82 88 84 90 销量 y（元） 88 78 85 75 82 66 na n= 1( 1)2 2n nT n += − + 1 2 4 81, , ,a a a a= { }nb n nT  { }na 1 1a = 2a 4a 8a 2(1 3 ) (1 )(1 7 )d d d∴ + = + + 1d = 0d = ) 1 ( 1) 1na n n∴ = + − × = 2 = 2n n n nb na ⋅ ⋅= 2 31 2 2 2 3 2 2n nT n∴ = ⋅ + ⋅ + ⋅ +…+ ⋅ 2 3 4 12 1 2 2 2 3 2 2n nT n += ⋅ + ⋅ + ⋅ +…+ ⋅ − 2 3 12 2 2 2 2n n nT n +− = + + +…+ − ⋅ 1 12 2 2n nn+ += − − ⋅ 1( 1) 2 2nn += − − ⋅ − 1( 1) 2 2n nT n +∴ = − ⋅ + (1)分别以三家连锁店的平均售价与平均销量为散点,如 A 店对应的散点为 ，求出售 价与销量的回归直线方程 ; (2)在大量投入市场后,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该夏装成本价为 40 元/件,为使该 新夏装在销售上获得最大利润,该款夏装的单价应定为多少元?(保留整数) 附: , . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）求出三家连锁店的平均年售价和平均销量，根据回归系数公式计算回归系数，得出回 归方程（2）设定价为 ，得出利润关于 的函数 ，利用二次函数的性质确定出 的 最值． 【详解】（1）三家连锁店的平均售价和销售量分别为 ， ， ． ， ． ， ． 售价与销量的回归直线方程为 ． （2）设定价为 元，则利润为 ． 当 时， 取得最大值，即利润最大． 【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求解，二次函数的性质，属于中档题． 20.如图（1），等腰梯形 ， ， ， ， ， 分别是 的两 个三等分点，若把等腰梯形沿虚线 、 折起，使得点 和点 重合，记为点 ， 如 图（2）． (83,83) y bx a= + 1 2 1 ( )( ) ( ) n i i i n i i x x y y b x x = = − − = − ∑ ∑ a y bx= − 2.25 270.25y x= − + 80x ≈ x x ( )f x ( )f x (83,83)A (85,80)B (87,74)C ∴ 83 85 87 853x + += = 83 80 74 793y + += = ∴ 2 4 0 1 2 ( 5)ˆ 2.254 0 4b − × + × + × −= = −+ + ˆ 79 ( 2.25) 85 270.25a = − − × = ∴ ˆ 2.25 270.25y x= − + x 2( ) ( 40)( 2.25 270.25) 2.25 360.25 10810f x x x x x= − − + = − + − ∴ 360.25 804.5x = ≈ ( )f x ABCD 2AB = 6CD = 2 2AD = E F CD AF BE C D P （1）求证：平面 平面 ； （2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）详见解析；（2） . 【解析】 【分析】 （1）推导出 ， ，从而 面 ，由此能证明平面 平面 ； （2）过点 作 于 ，过点 作 的平行线交 于点 ，则 面 ， 以 为原点，以 ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系， 利用向量法能求出平面 与平面 所成锐二面角的余弦值． 【详解】（1）证明： 四边形 为等腰梯形， ， ， ， ， 是 两个三等分点， 四边形 是正方形， ， ，且 ， 面 ， 又 平面 ， 平面 平面 ； （2）过点 作 于点 ，过点 作 的平行线交 于点 ，则 面 ， 以 为坐标原点，以 ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标 系，如图所示： 的 PEF ⊥ ABEF PAE PAB 5 7 BE EF⊥ BE PE⊥ BF ⊥ PEF PEF ⊥ ABEF P PO EF⊥ O O BE AB G PO ⊥ ABEF O OG OE OP x y z PAE PAB  ABCD 2AB = 6CD = 2 2AD = E F CD ∴ ABEF ∴ BE EF⊥  BE PE⊥ PE EF E∩ = ∴ BF ⊥ PEF BF ⊂ ABEF ∴ PEF ⊥ ABEF P PO EF⊥ O O BE AB G PO ⊥ ABEF O OG OE OP x y z 则 ， ， ， ， , , , ， 设平面 的法向量 ， 则 ，取 ，得 ， 设平面 的法向量 ， 则 ，∴ ，取 ，得： ， 设平面 与平面 所成锐二面角为 ， 则 ． 平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ． 【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定以及二面角平面角的求法，属于常考题. 21.已知函数 ． （Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程； （Ⅱ）求函数 在区间 上的最大值和最小值． 【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）最大值 1；最小值 . 【解析】 试 题 分 析 ： （ Ⅰ ） 根 据 导 数 的 几 何 意 义 ， 先 求 斜 率 ， 再 代 入 切 线 方 程 公 式 中即可；（Ⅱ）设 ，求 ，根据 确定 函 数 的 单 调 性 ， 根 据 单 调 性 求 函 数 的 最 大 值 为 ， 从 而 可 以 知 道 恒成立，所以函数 是单调递减函数，再根据单调性求最值. 试题解析：（Ⅰ）因为 ，所以 . 又因为 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 . （Ⅱ）设 ，则 (2, 1,0)A − (2,1,0)B (0,1,0)E (0,0, 3)P ∴ ( 2,2,0)AE = − (0, 1, 3)EP = − (0,2,0)AB = (2, 1, 3)PA = − − PAE ( , , )n x y z= 2 2 0 3 0 n AE x y n EP y z  ⋅ = − + = ⋅ = − + =   1z = ( 3, 3,1)n = PAB ( , , )m x y z= 0 0 m AB m PA  ⋅ =  ⋅ =   2 0 2 3 0 y x y z = − − = 3x = ( 3,0,2)m = PAE PAB θ 5 5cos 77 7 n m n m θ ⋅= = = ⋅ ⋅     ∴ PAE PAB 5 7 ( ) e cosxf x x x= − ( )y f x= (0, (0))f ( )f x π[0, ]2 1y = 2 π− ( ) ( )( )0 0 0y f f x¢- = - ( ) ( )h x f x= ′ ( )h x′ ( ) 0h x′ < ( )h x ( )0 0h = ( ) ( ) 0h x f x′= < ( )f x ( ) e cosxf x x x= − ( ) ( ) ( )e cos sin 1, 0 0xf x x x f−′ ′= − = ( )0 1f = ( )y f x= ( )( )0, 0f 1y = ( ) ( )e cos sin 1xh x x x= − − . 当 时， ， 所以 在区间 上单调递减. 所以对任意 有 ，即 . 所以函数 在区间 上单调递减. 因此 在区间 上的最大值为 ，最小值为 . 【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的 是需要两次求导数，因为通过 不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数， 设 ，再求 ，一般这时就可求得函数 的零点，或是 ( )恒成立，这样就能知道函数 的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断 的单调性，最后求得结果. 22.已知椭圆 C： （a>b>0），四点 P1（1,1），P2（0,1），P3（–1， ），P4（1， ）中恰有三点在椭圆 C 上. （Ⅰ）求 C 的方程； （Ⅱ）设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为 –1，证明：l 过定点. 【答案】(1) . (2)证明见解析. 【解析】 试题分析：（1）根据 ， 两点关于 y 轴对称，由椭圆的对称性可知 C 经过 ， 两点. ( ) ( )e cos sin sin cos 2e sinx xh x x x x x x= − − = −′ − π0, 2x  ∈   ( ) 0h x′ < ( )h x π0, 2      π0, 2x  ∈   ( ) ( )0 0h x h< = ( ) 0f x′ < ( )f x π0, 2      ( )f x π0, 2      ( )0 1f = 2 2f π π  = −   ( )f x′ ( ) ( )h x f x= ′ ( )h x′ ( )h x′ ( ) 0h x′ > ( ) 0h x′ < ( )h x ( )y f x= 2 2 2 2 =1x y a b + 3 2 3 2 2 2 14 x y+ = 3P 4P 3P 4P 另外由 知，C 不经过点 P1，所以点 P2 在 C 上.因此 在椭圆上，代 入其标准方程，即可求出 C 的方程；（2）先设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2， 再设直线 l 的方程，当 l 与 x 轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设 l： （ ），将 代入 ，写出判别式，利用根与系数的关系表示出 x1+x2， x1x2，进而表示出 ，根据 列出等式表示出 和 的关系，从而判断出直 线恒过定点. 试题解析：（1）由于 ， 两点关于 y 轴对称，故由题设知 C 经过 ， 两点. 又由 知，C 不经过点 P1，所以点 P2 在 C 上. 因此 ，解得 . 故 C 的方程为 . （2）设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2， 如果 l 与 x 轴垂直，设 l：x=t，由题设知 ，且 ，可得 A，B 的坐标分别为（t， ），（t， ）. 则 ，得 ，不符合题设. 从而可设 l： （ ）.将 代入 得 由题设可知 . 设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2= ，x1x2= . 2 2 2 2 1 1 1 3 4a b a b + > + 2 3 4, ,P P P y kx m= + 1m ≠ y kx m= + 2 2 14 x y+ = 1 2k k+ 1 2 1k k+ = − k m 3P 4P 3P 4P 2 2 2 2 1 1 1 3 4a b a b + > + 2 2 2 1 1 1 3 14 b a b  =  + = 2 2 4 1 a b  =  = 2 2 14 x y+ = 0t ≠ 2t < 24 2 t− 24 2 t−− 2 2 1 2 4 2 4 2 12 2 t tk k t t − − − ++ = − = − 2t = y kx m= + 1m ≠ y kx m= + 2 2 14 x y+ = ( )2 2 24 1 8 4 4 0k x kmx m+ + + − = ( )2 2=16 4 1 0k m∆ − + > 2 8 4 1 km k − + 2 2 4 4 4 1 m k − + 而 . 由题设 ，故 . 即 . 解得 . 当且仅当 时， ，欲使 l： ，即 ， 所以 l 过定点（2， ） 点睛:椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法 进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参 数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告 知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式， 利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简. 1 2 1 2 1 2 1 1y yk k x x − −+ = + 1 2 1 2 1 1kx m kx m x x + − + −= + ( )( )1 2 1 2 1 2 2 1kx x m x x x x + − += 1 2 1k k+ = − ( ) ( )( )1 2 1 22 1 1 0k x x m x x+ + − + = ( ) ( )2 2 2 4 4 82 1 1 04 1 4 1 m kmk mk k − −+ ⋅ + − ⋅ =+ + 1 2 mk += − 1m > − 0∆ > 1 2 my x m += − + ( )11 22 my x ++ = − − 1−