2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题23 立体几何角的计算问题（测）（解析版）

2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题23 立体几何角的计算问题（测）（解析版）

专题23 立体几何角的计算问题 ‎【满分：100分 时间：90分钟】‎ 一、选择题(12*5=60分)‎ ‎1．(2020·安徽合肥一中高二期末(文))如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设AA1=2AB=2，因为，所以异面直线A1B与AD1所成角，‎ ‎，故选D.‎ ‎2.【上海市松江、闵行区2020届二模】如图，点分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的法向量为，设二面角的大小为，则 ( )．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可知，平面的一个法向量为，由空间向量的结论可得 ‎.本题选择C选项.‎ ‎3．(2019·重庆一中高三月考(理))如图的虚线网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图.在该几何体的直观图中，直线与所成角的余弦值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据三视图还原出几何体为三棱锥，设在平面的射影为，则根据三视图可知，两两垂直，以为原点为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，所以，，‎ 所以，所以直线与所成角的余弦值为.故选：B.‎ ‎4．如图，在三棱锥中，，平面，，，，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( ) ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】以为单位正交基底建立空间直角坐标系，则，，，，，，异面直线与所成角的余弦值为.故选.‎ ‎5．(2020·河南高一期末)如图所示是正方体的平面展开图，在这个正方体中CN与BM所成角为( )‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【答案】C ‎【解析】把展开图再还原成正方体如图所示:由于BE和CN平行且相等，故异面直线CN与BM所成的角就是BE和BM所成的角，故∠EBM (或其补角)为所求, ‎ 再由BEM是等边三角形，可得∠EBM=60,故选：C ‎6．(2019·河北高二期末(理))如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，SA，AB=2，BC.若E，F是SC的三等分点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为( )‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】以中轴，过与平面垂直的直线为轴，如图，建立空间直角坐标系，因为SA⊥底面ABC，所以与轴平行，则，，，，，，‎ ‎，，‎ ‎.故选：B．‎ ‎7．如图，在正方体中，若是线段上的动点，则下列结论不正确的是( ) ‎ A．三棱锥的正视图面积是定值 B．异面直线所成的角可为 C．三棱锥的体积大小与点在线段的位置有关 D．直线与平面所成的角可为 ‎【答案】D ‎【解析】对于，正视图三角形的底边为的长，高为正方体的高，故棱锥正视图的面积不变，故正确，排除；对于，分别以为坐标轴，以为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为1，，‎ ‎，，解得，‎ 异面直线所成的角可为，故正确，排除；对于，三棱锥的底面积一定，高大小与点在线段的位置有关，所以体积的大小与点在线段的位置有关，故正确，排除，故选D.‎ ‎8．【广东省东莞市2019年全国卷考前冲刺】如图，圆锥的底面直径，高，为底面圆周上的一点，，则空间中两条直线与所成的角为( )‎ A． ‎ ‎ B． ‎ ‎ C． ‎ ‎ D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】取中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，‎ 因为圆锥的底面直径，高，为底面圆周上的一点，，所以可得 ‎，则，设空间两条直线与所成的角为，所以,所以，即直线与所成的角为，故选B. ‎ ‎9、已知二面角为为垂足，,则异面直线与所成角的余弦值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图所示，过点作，使，垂足为，过点作，过点作，连接，因为，所以，因为，又，所以，所以，在中，设，则，在中，则，在中，则，所以异面直线与所成的角，即是,所以．‎ ‎10．(2020·河南高三月考(理))已知四边形为等腰梯形，，，将沿折起，使到的位置，当时，异面直线与直线所成角的正切值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为四边形为等腰梯形，，.‎ 过作，则，‎ 由余弦定理可得，解得 则，，记的中点为，‎ 则，，.翻折后，，，.设二面角的大小为，因为，由，两边平方得，‎ 得，则二面角的大小为.从点向平面作垂线，垂足为，‎ 以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，‎ 则，，，，则，，‎ 设直线与直线所成角为 则，‎ ‎.‎ ‎11．(2019·北京高二期末)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为线段AC的中点，点E在线段A1C1‎ 上，则直线OE与平面A1BC1所成角的正弦值的取值范围是(　　)‎ A． ‎ B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设正方体的边长为，以、、分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： ‎ 则，，，，，， ‎ 设，，则，设平面A1BC1 的一个法向量为，‎ 则，可得 ，令，则，所以，‎ 设直线OE与平面A1BC1所成角为，则，‎ 当时，取最大值为，当或时，取最小值为，故直线OE与平面A1BC1所成角的正弦值的取值范围是.故选：B ‎12．(2019·浙江高二期末)正方形沿对角线折成直二面角，下列结论：①与所成的角为 ‎：②与所成的角为：③与面所成角的正弦值为：④二面角的平面角正切值是：其中正确结论的个数为( )‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【答案】A ‎【解析】取中点O，连结，，‎ ‎∵正方形沿对角线折成直二面角，∴以O为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，，‎ ‎∴异面直线与所成的角为，故①正确：‎ ‎，，∵，∴，故②正确：‎ 设平面的一个法向量为，由，取，得，，‎ 设与面所成角为，则，故③正确：‎ 平面的法向量，，，设平面的法向量，‎ 则，取，得，，∴.‎ ‎∴二面角的平面角正切值是：，故④正确.故选：A 二、填空题(4*5=20分)‎ ‎13．【吉林省高中2019届高三上期末】在空间直角坐标系中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，，，所以 ，，异面直线与所成角的余弦值为.，故答案为.‎ ‎14．(2019·天津南开中学高二期中(理))如图，已知正方体中，M为棱的中点，则直线和平面所成角的正弦为_____________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，‎ 设正方体棱长为，则，，，‎ 所以，，，设面的法向量为，‎ 所以，，取，得，设直线和平面所成的角为，‎ 所以 ‎，‎ 所以直线和平面所成角的正弦值为.‎ ‎15．如图，在正方体中，、分别为 的中点，则平面和平面所成二面角的正弦值为_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴， 建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为2，则E(1,0,0)，F(0,0,1)， B(2,2,0)，C1(0,2,2)，,‎ 设平面EFC1B的法向量，则，取，得 ，平面BCC1的法向量，设平面EFC1B和平面BCC1所成二面角为，则，所以，故填.‎ ‎16．【江西省南康中学2019届高三月考】将直角三角形沿斜边上的高折成的二面角，已知直角边，那么下面说法正确的是_________．‎ ‎(1) 平面平面 (2)四面体的体积是 ‎(3)二面角的正切值是 (4)与平面所成角的正弦值是 ‎【答案】(3)(4)‎ ‎【解析】画出图像如下图所示，‎ 由图可知(1)的判断显然错误.由于，故是二面角的平面角且平面，故.过作交的延长线于，由于，故是三棱锥的高.在原图中，，,,,，所以，故(2)错误.以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系.,，设平面的法向量为，则，令，则,即.平面的法向量是.设二面角的平面角为，由图可知为锐角，故，则其正切值为.故(3)判断正确.平面的法向量为，，设直线和平面所成的角为，则，故(4)判断正确.综上所述，正确的有(3)，(4).‎ 三、解答题题(6*12=72分)‎ ‎17. (2019·重庆高二期末(理))如图，直三棱柱中，，，，为的中点，点为线段上的一点. ‎ ‎(1)若，求证: ;‎ ‎(2)若，异面直线与所成的角为30°，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析 (2)‎ ‎【解析】(1)证明:取中点，连接，，有，因为，所以，‎ 又因为三棱柱为直三棱柱，‎ 所以平面平面，‎ 又因为平面平面，‎ 所以平面，又因为平面，‎ 所以，又因为，，‎ 平面，平面，所以平面，‎ 又因为平面，所以，因为，所以.‎ ‎(2)设，如图以为坐标原点，分别以，，为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，由 (1)可知，，所以，故，，‎ ‎，，，对平面，，，所以其法向量为.‎ 又，所以直线与平面成角的正弦值.‎ ‎18.【福建省泉州市2019届高三质检】 如图所示，平面平面，四边形是边长为4的正方形，，，分别是，的中点.‎ ‎(1)求证：平面；‎ ‎(2)若直线与平面所成角等于，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析；(2)‎ ‎【解析】(1)取线段中点，连结，，因为，分别是、的中点，‎ 所以且，‎ 正方形中，是的中点.所以且，所以且，‎ 故四边形为平行四边形，从而，又因为平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎(2)过作于，因为平面平面，平面平面，平面，‎ 所以平面，又平面，从而为直线在平面内的射影，‎ 故为直线与平面所成角，所以.‎ 如图，以为坐标原点，分别以过点且平行于的直线、，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ ‎，，.‎ 设，分别为平面和的法向量，‎ 则，即，令得，‎ ‎，即，令得，‎ ‎ ，所以二面角的余弦值为.‎ ‎19．(2019·天津南开中学高二期中(理))如图，在四棱锥中，底面是一个直角梯形，其中，，平面，，，点M和点N分别为和的中点. ‎ ‎(1)证明：直线平面；‎ ‎(2)求直线和平面所成角的余弦值；‎ ‎(3)求二面角的正弦值；‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)；(4)；(5)‎ ‎【解析】(1)四棱锥，底面是一个直角梯形，，平面，‎ 所以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，‎ ‎，，，，，‎ ‎，，，‎ 设平面的法向量，所以，，取，则，‎ 所以，平面，所以直线平面.‎ （2） ‎，，，，‎ 设平面的法向量，则，即，‎ 取，则，设直线与平面所成的角为，‎ 则，所以，‎ 所以直线与平面所成角的余弦值为.‎ ‎(3)设平面的法向量为，则，即，‎ 取，得，平面的法向量，‎ 设二面角的平面角为，则，‎ 所以，所以二面角的正弦值为.‎ ‎20．(2020·安徽高三期末(理))如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面平面，为中点，.‎ ‎(1)求证：；‎ ‎(2)若与平面所成的角为，求二面角的大小.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2).‎ ‎【解析】(1)四边形为矩形，则，平面平面，平面平面，平面，所以面，平面，，又，为中点，，，平面，‎ 平面，故；‎ ‎(2)不妨设，由得，由(1)得，∴，∴，由(1)得平面，由(1)知，在平面的射影为，即，，故.‎ 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系 ‎，易得、、、，,‎ ‎，，，设平面与平面的法向量分别为和，则，由，令，则，，，，设二面角的大小为，则，所以二面角的大小 21． ‎【安徽省黄山市2019届高三一模】如图，平面四边形中，,,,‎ ‎，将三角形沿翻折到三角形的位置，平面平面，为中点.‎ ‎(Ⅰ)求证：；‎ ‎(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ) ‎ ‎【解析】(Ⅰ)由题意为等边三角形，则，在三角形中，,，‎ 由余弦定理可求得，，即又平面平面，‎ 平面平面，平面平面 ，‎ 等边三角形中，为中点，则，且，平面， ‎ ‎(Ⅱ)以为坐标原点，分别为轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，‎ ‎，，， ‎ 设是平面的法向量，则，‎ ‎ 取 ‎ ‎，所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎22．【河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟】如图所示，是边长为2的正方形，平面，且.‎ ‎(Ⅰ)求证：平面平面；‎ ‎(Ⅱ)线段上是否存在一点，使二面角所成角的余弦值为？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ) F为AD中点.‎ ‎【解析】(Ⅰ)∵平面，平面，平面，∴，，‎ 又∵，∴，∴平面，又平面，∴平面平面.‎ ‎(Ⅱ)如图所示，建立空间直角坐标系，∵，，，∴.‎ 假设线段上存在一点满足题意， ，，，，‎ 易知：平面的一个法向量为，‎ ‎∵，，‎ ‎∴设平面的一个法向量为，‎ 由，得，取，得，‎ ‎，∴.‎ 点为线段的中点时，二面角所成角的余弦值为.‎