数学卷·2018届广东省清远市清城区高二上学期期末数学试卷（文科a卷） （解析版）

数学卷·2018届广东省清远市清城区高二上学期期末数学试卷（文科a卷） （解析版）

‎2016-2017学年广东省清远市清城区高二（上）期末数学试卷（文科A卷）‎ ‎　‎ 一、选择题（60分，每题5分）‎ ‎1．复数等于（　　）‎ A．i B．﹣i C．1 D．﹣1‎ ‎2．已知命题p：若a＞b，则a2＞b2；q：“x≤1”是“x2+2x﹣3≤0”的必要不充分条件．则下列命题是真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．￢p∧q C．￢p∧￢q D．p∧￢q ‎3．记集合A={（x，y）|x2+y2≤16}，集合B={（x，y）|x+y﹣4≤0，（x，y）∈A}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2．若在区域Ω1内任取一点P（x，y），则点P落在区域Ω2中的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（　　）‎ A．7 B．9 C．10 D．11‎ ‎5．已知l，m，n为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是（　　）‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n C．若α∩β=l，m∥α，m∥β，则m∥l D．若α∩β=m，α∩γ=n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α ‎6．已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为2时，z=x+2y的最大值是（　　）‎ A．5 B．0 C．2 D．2‎ ‎7．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，则b=（　　）‎ A．4 B．4 C．2 D．3‎ ‎8．已知f（x）=sinx+2cosx，若函数g（x）=f（x）﹣m在x∈（0，π）上有两个不同零点α，β，则cos（α+β）=（　　）‎ A．﹣1 B．﹣1 C． D．‎ ‎9．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？（　　）‎ A．9日 B．8日 C．16日 D．12日 ‎10．设f（x）=asin2x+bcos2x，且满足a，b∈R，ab≠0，且f（）=f（），则下列说法正确的是（　　）‎ A．|f（）|＜|f（）|‎ B．f（x）是奇函数 C．f（x）的单调递增区间是[k]（k∈Z）‎ D．a=b ‎11．已知第一象限内的点M既在双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）上，又在抛物线C2：y2=2px上，设C1的左，右焦点分别为F1、F2，若C2的焦点为F2，且△MF1F2是以MF1为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C．1+ D．2+‎ ‎12．设D是函数y=f（x）定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使f（x0）=﹣x0，则称x0是f（x）的一个“次不动点”，也称f（x）在区间D上存在次不动点．若函数f（x）=ax2﹣3x﹣a+在区间[1，4]上存在次不动点，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，0） B．（0，） C．[，+∞） D．（﹣∞，]‎ ‎　‎ 二、填空题（20分，每题5分）‎ ‎13．若实数a，b满足a+b=2，则2a+2b的最小值是　　．‎ ‎14．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是　　．‎ ‎15．已知m∈R，函数f（x）=，g（x）=x2﹣2x+2m﹣1，下列叙述中正确的有　　‎ ‎①函数y=f（f（x））有4个零点；‎ ‎②若函数y=g（x）在（0，3）有零点，则﹣1＜m≤1；‎ ‎③当m≥﹣时，函数y=f（x）+g（x）有2个零点；‎ ‎④若函数y=f（g（x））﹣m有6个零点则实数m的取值范围是（0，）．‎ ‎16．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：‎ 单价x（元）‎ ‎8‎ ‎8.2‎ ‎8.4‎ ‎8.6‎ ‎8.8‎ ‎9‎ 销量y（件）‎ ‎90‎ ‎84‎ ‎83‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎68‎ 由表中数据，求得线性回归方程为=﹣20x+．若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（70分）‎ ‎17．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD=．‎ ‎（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P﹣BDF的体积．‎ ‎18．（12分）已知椭圆M：： +=1（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），左右顶点分别为A，B．经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；‎ ‎（Ⅲ）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值．‎ ‎19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3sinA，周长为4（+1），且sinB+sinC=sinA．‎ ‎（1）求a及cosA的值；‎ ‎（2）求cos（2A﹣）的值．‎ ‎20．（12分）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn、an、成等差数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，设，求数列{Cn}的前项和Tn．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=+ax，x＞1．‎ ‎（Ⅰ）若f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若a=2，求函数f（x）的极小值；‎ ‎（Ⅲ）若方程（2x﹣m）lnx+x=0在（1，e]上有两个不等实根，求实数m的取值范围．‎ ‎22．（10分）已知函数f（x）=|x﹣1|．‎ ‎（Ⅰ）解不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6；‎ ‎（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广东省清远市清城区高二（上）期末数学试卷（文科A卷）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（60分，每题5分）‎ ‎1．复数等于（　　）‎ A．i B．﹣i C．1 D．﹣1‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．‎ ‎【解答】解：复数===i．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎2．已知命题p：若a＞b，则a2＞b2；q：“x≤1”是“x2+2x﹣3≤0”的必要不充分条件．则下列命题是真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．￢p∧q C．￢p∧￢q D．p∧￢q ‎【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】先判断命题p，q的真假，再利用复合真假的判定方法即可判断出正误．‎ ‎【解答】解：命题p：若a＞b，则a2＞b2，不正确，举反例：取a=1，b=﹣2，不成立；‎ q：由x2+2x﹣3≤0，解得﹣3≤x≤1，因此“x≤1”是“x2+2x﹣3≤0”的必要不充分条件，是真命题．‎ ‎∴p∧q，￢p∧￢q，p∧￢q，是假命题，￢p∧q是真命题．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了复合真假的判定方法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．记集合A={（x，y）|x2+y2≤16}，集合B={（x，y）|x+y﹣4≤0，（x，y）∈A}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2．若在区域Ω1内任取一点P（x，y），则点P落在区域Ω2中的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】由题意，根据几何概型的公式，只要求出平面区域Ω1，Ω2的面积，利用面积比求值．‎ ‎【解答】解：由题意，两个区域对应的图形如图，‎ 其中，，‎ 由几何概型的公式可得点P落在区域Ω2中的概率为；‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了几何概型的概率求法，解答本题的关键是分别求出平面区域Ω1，Ω2的面积，利用几何概型公式求值．‎ ‎　‎ ‎4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（　　）‎ A．7 B．9 C．10 D．11‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】模拟程序框图的运行过程，该程序是累加求和的应用问题，当S≤﹣1时输出i的值即可．‎ ‎【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；‎ ‎，否；‎ ‎，否；‎ ‎，否；‎ ‎，否；‎ ‎，是，输出i=9．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎5．已知l，m，n为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是（　　）‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n C．若α∩β=l，m∥α，m∥β，则m∥l D．若α∩β=m，α∩γ=n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】根据常见几何体模型举出反例，或者证明结论．‎ ‎【解答】解：（A）若m∥α，n∥α，则m与n可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误；‎ ‎（B）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，设平面ABCD为平面α，平面CDD′C′为平面β，直线BB′为直线m，直线A′B为直线n，‎ 则m⊥α，n∥β，α⊥β，但直线A′B与BB′不垂直，故B错误．‎ ‎（C）设过m的平面γ与α交于a，过m的平面θ与β交于b，‎ ‎∵m∥α，m⊂γ，α∩γ=a，‎ ‎∴m∥a，‎ 同理可得：m∥b．‎ ‎∴a∥b，∵b⊂β，a⊄β，‎ ‎∴a∥β，‎ ‎∵α∩β=l，a⊂α，∴a∥l，‎ ‎∴l∥m．‎ 故C正确．‎ ‎（D）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，设平面ABCD为平面α，平面ABB′A′为平面β，平面CDD′C′为平面γ，‎ 则α∩β=AB，α∩γ=CD，BC⊥AB，BC⊥CD，但BC⊂平面ABCD，故D错误．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断，借助常见空间几何模型举出反例是解题关键．‎ ‎　‎ ‎6．已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为2时，z=x+2y的最大值是（　　）‎ A．5 B．0 C．2 D．2‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为2的a值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．‎ ‎【解答】解：由作出可行域如图 由图可得A（a，﹣2a），B（a，2a），‎ 由S△OAB=•4a•a=2，得a=1．‎ ‎∴B（1，2），‎ 化目标函数y=x+，‎ ‎∴当y=x+过A点时，z最大，z=1+2×2=5．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎7．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，则b=（　　）‎ A．4 B．4 C．2 D．3‎ ‎【考点】正弦定理；余弦定理．‎ ‎【分析】首先利用正弦和余弦定理转化出2（a2﹣c2）=b2，结合a2﹣c2=2b，直接算出结果．‎ ‎【解答】解：sinAcosC=3cosAsinC，‎ 利用正、余弦定理得到：‎ 解得：2（a2﹣c2）=b2①‎ 由于：a2﹣c2=2b②‎ 由①②得：b=4‎ 故选：A ‎【点评】本题考查的知识要点：正、余弦定理的应用及相关的运算问题．‎ ‎　‎ ‎8．已知f（x）=sinx+2cosx，若函数g（x）=f（x）﹣m在x∈（0，π）上有两个不同零点α，β，则cos（α+β）=（　　）‎ A．﹣1 B．﹣1 C． D．‎ ‎【考点】两角和与差的余弦函数．‎ ‎【分析】f（x）=sinx+2cosx=sin（x+φ），其中cosφ=，sinφ=．由x∈（0，π），可得φ＜x+φ＜π+φ．由于函数g（x）=f（x）﹣m在x∈（0，π）上有两个不同零点α、β，可得y=m与y=f（x）的图象有两个交点，可得α与β关于直线x=对称，即可得出．‎ ‎【解答】解：f（x）=sinx+2cosx=（sinx+cosx）=sin（x+φ），其中cosφ=，sinφ=．‎ ‎∵x∈（0，π），∴φ＜x+φ＜π+φ．‎ ‎∵函数g（x）=f（x）﹣m在x∈（0，π）上有两个不同零点α、β，‎ ‎∴y=m与y=f（x）的图象有两个交点，‎ cos2φ=2cos2φ﹣1=2×（）2﹣1=﹣，‎ ‎∴sinφ＜m＜．‎ 且α与β关于直线x=对称，‎ ‎∴α+β+2φ=π，‎ 则cos（α+β）=﹣cos2φ=．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了和差公式、三角函数的图象与性质、函数的零点转化为图象的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎9．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？（　　）‎ A．9日 B．8日 C．16日 D．12日 ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】良马每日行的距离成等差数列，记为{an}，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{bn}，其中b1=97，d=﹣0.5．求和即可得到答案．‎ ‎【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，‎ 记为{an}，其中a1=103，d=13；‎ 驽马每日行的距离成等差数列，‎ 记为{bn}，其中b1=97，d=﹣0.5；‎ 设第m天相逢，则a1+a2+…+am+b1+b2+…+bm ‎=103m++97m+=2×1125，‎ 解得：m=9．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列在实际问题中的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎10．设f（x）=asin2x+bcos2x，且满足a，b∈R，ab≠0，且f（）=f（），则下列说法正确的是（　　）‎ A．|f（）|＜|f（）|‎ B．f（x）是奇函数 C．f（x）的单调递增区间是[k]（k∈Z）‎ D．a=b ‎【考点】余弦函数的对称性；余弦函数的奇偶性．‎ ‎【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，由于θ的值不确定，故A、B、C不能确定正确，利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=asin2x+bcos2x=sin（2x+θ），且满足a，b∈R，ab≠0，‎ sinθ=，cosθ=，‎ 由于θ的值不确定，故A、B、C不能确定正确．‎ ‎∵f（）=f（），∴f（x）的图象关于直线x=对称，‎ ‎∴令x=，可得f（0）=f（），即b=a﹣，求得a=b，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的奇偶性、单调性，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎11．已知第一象限内的点M既在双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）上，又在抛物线C2：y2=2px上，设C1的左，右焦点分别为F1、F2，若C2的焦点为F2‎ ‎，且△MF1F2是以MF1为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C．1+ D．2+‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据条件得到抛物线和双曲线的焦点相同，根据双曲线和抛物线的定义得到△MF1F2为等腰直角三角形，利用定义建立方程进行求解即可．‎ ‎【解答】解：∵设C1的左，右焦点分别为F1、F2，若C2的焦点为F2，‎ ‎∴抛物线的准线方程为x=﹣c，‎ 若△MF1F2是以MF1为底边的等腰三角形，‎ 由于点M也在抛物线上，‎ ‎∴过M作MA垂直准线x=﹣c 则MA=MF2=F1F2，‎ 则四边形AMF2F1为正方形，‎ 则△MF1F2为等腰直角三角形，‎ 则MF2=F1F2=2c，MF1=MF2=2c，‎ ‎∵MF1﹣MF2=2a，‎ ‎∴2c﹣2c=2a，‎ 则（﹣1）c=a，‎ 则离心率e===1+，‎ 故选：C ‎【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据双曲线和抛物线的定义得到△‎ MF1F2为等腰直角三角形是解决本题的关键．考查学生的转化和推理能力．‎ ‎　‎ ‎12．设D是函数y=f（x）定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使f（x0）=﹣x0，则称x0是f（x）的一个“次不动点”，也称f（x）在区间D上存在次不动点．若函数f（x）=ax2﹣3x﹣a+在区间[1，4]上存在次不动点，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，0） B．（0，） C．[，+∞） D．（﹣∞，]‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【分析】根据“f（x）在区间D上有次不动点”当且仅当“F（x）=f（x）+x在区间D上有零点”，依题意，存在x∈[1，4]，使F（x）=f（x）+x=ax2﹣2x﹣a+=0，讨论将a分离出来，利用导数研究出等式另一侧函数的取值范围即可求出a的范围．‎ ‎【解答】解：依题意，存在x∈[1，4]，‎ 使F（x）=f（x）+x=ax2﹣2x﹣a+=0，‎ 当x=1时，使F（1）=≠0；‎ 当x≠1时，解得a=，‎ ‎∴a′==0，‎ 得x=2或x=，（＜1，舍去），‎ x ‎（1，2）‎ ‎2‎ ‎（2，4）‎ a′‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ a ‎↗‎ 最大值 ‎↘‎ ‎∴当x=2时，a最大==，‎ 所以常数a的取值范围是（﹣∞，]，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及函数零点和利用导数研究最值等有关知识，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（20分，每题5分）‎ ‎13．若实数a，b满足a+b=2，则2a+2b的最小值是　4　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】直接利用a+b即可求出最小值．‎ ‎【解答】解：∵a+b=2‎ ‎∴2a+2b≥2=2=4‎ 当且仅当a=b=1时等式成立．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题主要考查了基本不等式的应用以及指数幂运算知识点，属基础题．‎ ‎　‎ ‎14．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是　30+6　．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】根据三视图，可得该三棱锥为如图的三棱锥A﹣BCD，其中底面△BCD中，CD⊥BC，且侧面ABC与底面ABC互相垂直，由此结合题中的数据结合和正余弦定理，不难算出该三棱锥的表面积．‎ ‎【解答】解：根据题意，还原出如图的三棱锥A﹣BCD 底面Rt△BCD中，BC⊥CD，且BC=5，CD=4‎ 侧面△ABC中，高AE⊥BC于E，且AE=4，BE=2，CE=3‎ 侧面△ACD中，AC==5‎ ‎∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AE⊥BC ‎∴AE⊥平面BCD，结合CD⊂平面BCD，得AE⊥CD ‎∵BC⊥CD，AE∩BC=E ‎∴CD⊥平面ABC，结合AC⊂平面ABC，得CD⊥AC 因此，△ADB中，AB==2，BD==，AD==，‎ ‎∴cos∠ADB==，得sin∠ADB==‎ 由三角形面积公式，得S△ADB=×××=6‎ 又∵S△ACB=×5×4=10，S△ADC=S△CBD=×4×5=10‎ ‎∴三棱锥的表面积是S表=S△ADB+S△ADC+S△CBD+S△ACB=30+6‎ 故答案为：30+6‎ ‎【点评】本题给出三棱锥的三视图，求该三棱锥的表面积，着重考查了三视图的理解、线面垂直与面面垂直的判定与性质和利用正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎15．已知m∈R，函数f（x）=，g（x）=x2﹣2x+2m﹣1，下列叙述中正确的有　①②④　‎ ‎①函数y=f（f（x））有4个零点；‎ ‎②若函数y=g（x）在（0，3）有零点，则﹣1＜m≤1；‎ ‎③当m≥﹣时，函数y=f（x）+g（x）有2个零点；‎ ‎④若函数y=f（g（x））﹣m有6个零点则实数m的取值范围是（0，）．‎ ‎【考点】分段函数的应用．‎ ‎【分析】对于①根据函数的零点定理求出x=0或x=﹣1．或x=3，或x=1+，故可判断；‎ 对于②当g（x）在（0，3）上有一个零点时，求出m的值．当g（x）在（0，3）上有两个零点时，求出m的取值范围，再取并集即得所求．‎ 对于③，取m=﹣，利用数形结合的思想即可判断．‎ 对于④由于函数f（x），g（x）=x2﹣2x+2m﹣1．可得当g（x）=（x﹣1）2+2m﹣2＜1，即（x﹣1）2＜3﹣2m时，y=f（g（x））=|2g（x）+1|=|2（x﹣1）2+4m﹣3|．当g（x）=（x﹣1）2+2m﹣2＞1，即（x﹣1）2＞3﹣2m时，则y=f（g（x））=log2[（x﹣1）2+2m﹣3]．再对m分类讨论，利用直线y=m与函数 y=f（g（x））图象的交点必须是6个即可得出 ‎【解答】解：对于①y=f（f（x））=0，‎ ‎∴log2（f（x））=0，或|2f（x）|+1|=0，‎ ‎∴f（x）=1，或f（x）=﹣，‎ ‎∴|2x+1|=1，或log2（x﹣1）=1或log2（x﹣1）=﹣，‎ 解得x=0或x=﹣1．或x=3，或x=1+，‎ 故函数y=f（f（x））有4个零点，故正确；‎ 对于②g（x）=x2﹣2x+2m﹣1，在（0，3）有零点，‎ 当g（x）在（0，3）上有一个零点时 ‎∴g（0）g（3）＜0，‎ ‎∴（2m﹣1）（9﹣6+2m﹣1）＜0，‎ 即﹣1＜m＜，‎ 或△=4﹣4（2m﹣1）=0，解得m=1，‎ 当g（x）在（0，3）上有两个零点时，，‎ 解得＜m＜1，‎ 当m=，g（x）=x2﹣2x=0，解得x=2，‎ 综上所述：函数y=g（x）在（0，3）有零点，则﹣1＜m≤1，故②正确，‎ 对于③，若m=﹣时，分别画出y=f（x）与y=﹣g（x）的图象，如图所示，‎ 由图象可知，函数y=f（x）+g（x）有3个零点，故③不正确．‎ 对于④∵函数f（x）=，g（x）=x2﹣2x+2m﹣1．‎ ‎∴当g（x）=（x﹣1）2+2m﹣2＜1时，即（x﹣1）2＜3﹣2m时，则y=f（g（x））=|2g（x）+1|=|2（x﹣1）2+4m﹣3|．‎ 当g（x）=（x﹣1）2+2m﹣2＞1时，即（x﹣1）2＞‎ ‎3﹣2m时，则y=f（g（x））=log2[（x﹣1）2+2m﹣3]．‎ ‎①当3﹣2m≤0即m≥时，y=m只与y=f（g（x））=log2[（x﹣1）2+2m﹣3]的图象有两个交点，不满足题意，应该舍去．‎ ‎②当m＜时，y=m与y=f（g（x））=log2[（x﹣1）2+2m﹣3]的图象有两个交点，需要直线y=m与函数 y=f（g（x））=|2g（x）+1|=|2（x﹣1）2+4m﹣3|的图象有四个交点时才满足题意．‎ ‎∴0＜m＜3﹣4m，又m＜，解得0＜m＜．‎ 综上可得：m的取值范围是0＜m＜．‎ 故④正确，‎ 故答案为：①②④．‎ ‎【点评】本题考查了分段函数的图象与性质、含绝对值函数的图象、对数函数的图象、函数图象的交点的与函数零点的关系，考查了推理能力与计算能力、数形结合的思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎　‎ ‎16．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：‎ 单价x（元）‎ ‎8‎ ‎8.2‎ ‎8.4‎ ‎8.6‎ ‎8.8‎ ‎9‎ 销量y（件）‎ ‎90‎ ‎84‎ ‎83‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎68‎ 由表中数据，求得线性回归方程为=﹣20x+．若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为　　．‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】根据已知中数据点坐标，我们易求出这些数据的数据中心点坐标，进而求出回归直线方程，判断各个数据点与回归直线的位置关系后，求出所有基本事件的个数及满足条件两点恰好在回归直线下方的基本事件个数，代入古典概率公式，即可得到答案．‎ ‎【解答】解： ==8.5， =‎ ‎=80‎ ‎∵b=﹣20，a=﹣b，‎ ‎∴a=80+20×8.5=250‎ ‎∴回归直线方程=﹣20x+250；‎ 数据（8，90），（8.2，84），（8.4，83），（8.6，80），（8.8，75），（9，68）．‎ 当x=8时，∵90=﹣20×8+250，∴点（2，20）在回归直线下方；‎ ‎…‎ 如图，6个点中有2个点在直线的下侧．‎ 则其这些样本点中任取1点，共有6种不同的取法，‎ 其中这两点恰好在回归直线两侧的共有2种不同的取法，‎ 故这点恰好在回归直线下方的概率P==．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】‎ 本题考查的知识是等可能性事件的概率及线性回归方程，求出回归直线方程，判断各数据点与回归直线的位置关系，并求出基本事件的总数和满足某个事件的基本事件个数是解答本题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（70分）‎ ‎17．（12分）（2013•重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD=．‎ ‎（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P﹣BDF的体积．‎ ‎【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由等腰三角形的性质可得BD⊥AC，再由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD．再利用直线和平面垂直的判定定理证明BD⊥平面PAC．‎ ‎（Ⅱ）由侧棱PC上的点F满足PF=7FC，可得三棱锥F﹣BCD的高是三棱锥P﹣BCD的高的．求出△BCD的面积S△BCD，再根据三棱锥P﹣BDF的体积 V=VP﹣BCD﹣VF﹣BCD=﹣，运算求得结果．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵BC=CD=2，∴△BCD为等腰三角形，再由，∴BD⊥AC．‎ 再由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD．‎ 而PA∩AC=A，故BD⊥平面PAC．‎ ‎（Ⅱ）∵侧棱PC上的点F满足PF=7FC，‎ ‎∴三棱锥F﹣BCD的高是三棱锥P﹣BCD的高的．‎ ‎△BCD的面积S△BCD=BC•CD•sin∠BCD==．‎ ‎∴三棱锥P﹣BDF的体积 V=VP﹣BCD﹣VF﹣BCD=﹣=×‎ ‎==．‎ ‎【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，用间接解法求棱锥的体积，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016•太原一模）已知椭圆M：： +=1（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），左右顶点分别为A，B．经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；‎ ‎（Ⅲ）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由焦点F坐标可求c值，根据a，b，c的平方关系可求得a值；‎ ‎（Ⅱ）写出直线方程，与椭圆方程联立消掉y得关于x的一元二次方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|CD|；‎ ‎（Ⅲ）当直线l不存在斜率时可得，|S1﹣S2|=0；当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），与椭圆方程联立消y可得x的方程，根据韦达定理可用k表示x1+x2，x1x2，|S1﹣S2|可转化为关于x1，x2的式子，进而变为关于k的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值；‎ ‎【解答】解：（I）因为F（﹣1，0）为椭圆的焦点，所以c=1，又b2=3，‎ 所以a2=4，所以椭圆方程为=1；‎ ‎（Ⅱ）因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率为1，‎ 所以直线方程为y=x+1，和椭圆方程联立得到 ‎，消掉y，得到7x2+8x﹣8=0，‎ 所以△=288，x1+x2=，x1x2=﹣，‎ 所以|CD|=|x1﹣x2|=×=；‎ ‎（Ⅲ）当直线l无斜率时，直线方程为x=﹣1，‎ 此时D（﹣1，），C（﹣1，﹣），△ABD，△ABC面积相等，|S1﹣S2|=0，‎ 当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），‎ 设C（x1，y1），D（x2，y2），‎ 和椭圆方程联立得到，消掉y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，‎ 显然△＞0，方程有根，且x1+x2=﹣，x1x2=，‎ 此时|S1﹣S2|=2||y1|﹣|y2||=2|y1+y2|=2|k（x2+1）+k（x1+1）|‎ ‎=2|k（x2+x1）+2k|==≤==，（k=时等号成立）‎ 所以|S1﹣S2|的最大值为．‎ ‎【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆的标准方程的求解，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，难度较大．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016秋•清城区期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3sinA，周长为4（+1），且sinB+sinC=‎ sinA．‎ ‎（1）求a及cosA的值；‎ ‎（2）求cos（2A﹣）的值．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）由已知及三角形面积公式可求bc=6，进而可求a，利用余弦定理即可得解cosA的值．‎ ‎（2）利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用二倍角公式可求sin2A，cos2A的值，进而利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．‎ ‎【解答】解：（1）∵△ABC的面积为3sinA=bcsinA，‎ ‎∴可得：bc=6，‎ ‎∵sinB+sinC=sinA，可得：b+c=，‎ ‎∴由周长为4（+1）=+a，解得：a=4，‎ ‎∴cosA====，‎ ‎（2）∵cosA=，‎ ‎∴sinA==，‎ ‎∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=﹣，‎ ‎∴cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=．‎ ‎【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角差的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2008•湖北校级模拟）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn、an、成等差数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，设，求数列{Cn}的前项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】（Ⅰ） Sn、an、成等差数列．即，再利用1）根据Sn与an的固有关系an= 去解 ‎ （Ⅱ）（Ⅱ），∴bn=4﹣2n， ==，可用错位相消法求和．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ） 由题意知 当n=1时，；‎ 当 两式相减得an=2an﹣2an﹣1（n≥2），整理得：（n≥2）‎ ‎∴数列{an}是为首项，2为公比的等比数列.‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎∴bn=4﹣2n ‎==，‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎①﹣②得 ‎∴‎ ‎【点评】本题考查Sn与an关系的具体应用，指数的运算，数列错位相消法求和知识和方法．要注意对n的值进行讨论 ‎　‎ ‎21．（12分）（2016•兰州模拟）已知函数f（x）=+ax，x＞1．‎ ‎（Ⅰ）若f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若a=2，求函数f（x）的极小值；‎ ‎（Ⅲ）若方程（2x﹣m）lnx+x=0在（1，e]上有两个不等实根，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过f′（x）≤0在x∈（1，+∞）上恒成立，得到a的不等式，利用二次函数的求出最小值，得到a的范围．‎ ‎（Ⅱ）利用a=2，化简函数的解析式，求出函数的导数，然后求解函数的极值．‎ ‎（Ⅲ）化简方程（2x﹣m）lnx+x=0，得，利用函数f（x）与函数y=m在（1，e]上有两个不同的交点，结合由（Ⅱ）可知，f（x）的单调性，推出实数m的取值范围．‎ ‎【解答】（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）函数f（x）=+ax，x＞1．‎ ‎，由题意可得f′（x）≤0在x∈（1，+∞）上恒成立；﹣﹣﹣（1分）‎ ‎∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）‎ ‎∵x∈（1，+∞），∴lnx∈（0，+∞），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）‎ ‎∴时函数t=的最小值为，‎ ‎∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）‎ ‎（Ⅱ） 当a=2时， ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 令f′（x）=0得2ln2x+lnx﹣1=0，‎ 解得或lnx=﹣1（舍），即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）‎ 当时，f'（x）＜0，当时，f′（x）＞0‎ ‎∴f（x）的极小值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）‎ ‎（Ⅲ）将方程（2x﹣m）lnx+x=0两边同除lnx得 整理得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）‎ 即函数f（x）与函数y=m在（1，e]‎ 上有两个不同的交点；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）‎ 由（Ⅱ）可知，f（x）在上单调递减，在上单调递增，当x→1时，，∴，‎ 实数m的取值范围为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）‎ ‎【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数 极值的求法，函数的零点的应用，考查分析问题解决问题的能力．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）（2014•金凤区校级二模）已知函数f（x）=|x﹣1|．‎ ‎（Ⅰ）解不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6；‎ ‎（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（Ⅰ）易求f（x﹣1）+f（x+3）=，利用一次函数的单调性可求f（x﹣1）+f（x+3）≥6的解集；‎ ‎（Ⅱ）利用分析法，要证f（ab）＞|a|f（），只需证证（ab﹣1）2＞（b﹣a）2，再作差证明即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f（x﹣1）+f（x+3）=|x﹣2|+|x+2|=，‎ 当x＜﹣2时，由﹣2x≥6，解得x≤﹣3；‎ 当﹣2≤x≤2时，f（x）=4≥6不成立；‎ 当x＞2时，由2x≥6，解得x≥3．‎ ‎∴不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6的解集为{x|x≤﹣3，或x≥3}． ‎ ‎（Ⅱ）证明：∵|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，‎ ‎∴要证f（ab）＞|a|f（），只需证|ab﹣1|＞|b﹣a|，只需证（ab﹣1）2＞（b﹣a）2，b2﹣1）＞0显然成立，‎