数学文卷·2018届湖南省长郡中学高三月考试题（二）（2017

数学文卷·2018届湖南省长郡中学高三月考试题（二）（2017

长郡中学2018界高三月考试卷（二）‎ 数 学（文科）‎ 长郡高三文科数学备课组组稿 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页。时量120分钟。满分150分。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.下列集合中，是集合的真子集的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.某市国庆节7天假期的楼房认购量（单位：套）与成交量（单位：套）的折线图如图所示，小明同学根据折线图对这7天的认购量与成交量做出如下判断：①日成交量的中位数是16；②日成交量超过日平均成交量的有2天；③认购量与日期正相关；④10月7日认购量的增量大于10月7日成交量的增量，上述判断中错误的个数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎3.设复数，且，则的虚部为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.在等比数列中，若是方程的两根，则的值是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.若点在线段上运动，且，设，则（ ）‎ A．有最大值2 B．有最小值1 C.有最大值1 D．没有最大值和最小值 ‎7.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器一商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的为（ ）‎ A．1.2 B．1.6 C.1.8 D．2.4‎ ‎8.变量满足条件，则的最小值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.已知函数，则下列关于函数的结论中，错误的是（ ）‎ A．最大值为1 B．图象关于直线对称 ‎ C.既是奇函数又是周期函数 D．图象关于点中心对称 ‎10.已知函数没有零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.在中，角的对边分别为，若为锐角三角形，且满足 ‎，则下列等式成立的是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知函数是自然对数的底）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.向量，若，则 ．‎ ‎14.已知函数，为的导函数，则的值为 ．‎ ‎15.已知为锐角，且，则 ．‎ ‎16.正方体的8个顶点中，有4个恰是正四面体的顶点，则正方体与正四面体的表面积之比为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 的内角的对边分别为，已知.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若，的面积为2，求.‎ 18. 设数列的前项和为，且，为等差数列，且.‎ ‎（Ⅰ）求数列和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ 19. 如图，在四棱锥中，平面,地面是菱形，,,‎ 为与的交点，为棱上一点.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若平面，求三棱锥的体积.‎ 20. A市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士-12369”的绿色环保活动小组对2014年1月-2014年12月内空气质量指数进行监测，如表是在这一年随机抽取的100天的统计结果：‎ 指数 ‎[0,50]‎ ‎(50,100]‎ ‎(100,150]‎ ‎(150,200]‎ ‎(200,250]‎ ‎(250,300]‎ ‎>300‎ 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中重度污染 重度污染 天数 ‎4‎ ‎13‎ ‎18‎ ‎30‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎15‎ ‎（Ⅰ）若市某企业每天由空气污染造成的经济损失（单位：元）与空气质量指数（记为）的关系为：，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失元的概率；‎ ‎（Ⅱ）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为中度污染，完成列联表，并判断是否有95%的把握认为市本年度空气中度污染与供暖有关？‎ 非中度污染 中度污染 合计 供暖季 ‎___________‎ ‎___________‎ ‎___________‎ 非供暖季 ‎___________‎ ‎___________‎ ‎___________‎ 合计 ‎___________‎ ‎___________‎ ‎100‎ ‎ 下面临界值表供参考.‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考公式：‎ 18. 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若曲线上点处的切线过点，求函数的单调减区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数在上无零点，求的最小值.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，圆的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）过点作斜率为1的直线与圆交于两点，试求的值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数的最大值为.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，求证：.‎ 炎德·英才大联考长郡中学2018届高三月考试卷（二）‎ 数学（文科）参考答案 一、选择题 ‎1-5:DCAAC 6-10:CBCDA 11、12：AA 二、填空题 ‎13.5 14.2 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.【解析】（Ⅰ）∵,‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴,‎ ‎∴. ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴.‎ 18. ‎【解析】（Ⅰ）当时，，‎ 当时，，‎ 经验证当时，此式也成立，所以，‎ 从而，‎ 又因为为等差数列，所以公差，‎ 故数列和通项公式分别为：.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，‎ 所以……①‎ ‎①得……②‎ ‎①-②得：‎ ‎.‎ ‎∴数列的前项和.‎ 19. ‎【解析】（Ⅰ）证明：∵平面,平面，‎ ‎∴.∵四边形是菱形，∴.‎ 又∵,∴平面. ‎ 而平面,∴平面平面.‎ ‎（Ⅱ）∵平面,平面平面,‎ ‎∴,‎ ‎∵是中点，∴是中点.‎ 取中点，连结，∵四边形是菱形，，‎ ‎∴,又平面,.‎ ‎∴‎ ‎.‎ 18. ‎【解析】（Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失元”为事件.‎ 由，得，额数为39，‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）根据题中数据得到如表：‎ 非中度污染 中度污染 合计 供暖季 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 非供暖季 ‎63‎ ‎7‎ ‎70‎ 合计 ‎85‎ ‎15‎ ‎100‎ 的观测值 所以有95%的把握认为市本年度空气中度污染与供暖有关.‎ 19. ‎【解析】（Ⅰ）∵，‎ ‎∴，∴，‎ 又，∴，解得：.‎ 由，解得：，‎ ‎∴函数在（0,2）递减；‎ ‎（Ⅱ）∵在恒成立不可能，‎ 故要使在无零点，只需任意恒成立，‎ 即对恒成立，‎ 令，‎ 则，‎ 再令，，‎ 则，‎ 故在递减，于是，‎ 从而，于是在递增，‎ ‎∴，‎ 故要使在恒成立，只要，‎ 综上，若函数在上无零点，则的最小值是.‎ 18. ‎【解析】（Ⅰ）由，可得，∴，∴，即；‎ ‎（Ⅱ）过点作斜率为1的直线的参数方程为 代入得，‎ 对应的参数为，则，‎ 由的意义可得.‎ 18. ‎【解析】（Ⅰ）∵‎ ‎∴的最大值为，因此.‎ ‎（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得：.‎ ‎∴，当且仅当时取等号.‎ ‎∴.‎