甘肃省天水市第一中学2020届高三下学期诊断考试数学（理）试题

甘肃省天水市第一中学2020届高三下学期诊断考试数学（理）试题

天水一中 20192020 学年第二学期高三诊断考试 理科数学试题 一、单选题（每小题 5 分，共 60 分） 1.已知全集 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先化简集合 ，再求交集即可得出结果. 【详解】因为 ， ， 所以 . 故选 A 【点睛】本题主要考查集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型. 2.已知 是虚数单位， 表示复数 的共轭复数．若 ，则复数 在复平面内对应的点 位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 因 为 ， 所 以 ， 复 数 在 复 平 面 内 对 应 的 点 为 ，位于第三象限．故选 C． 3.已知向量 ， ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 U = R { } { }2 2log 1 , 2 0A x x B x x x= ≤ = + − ≤ A B = (0,1] ( 2,2]− (0,1) [ 2,2]− ,A B { } { }2log 1 0 2A x x x x= ≤ = < ≤ { } { }2 2 0 2 1B x x x x x= + − ≤ = − ≤ ≤ (0,1]A B∩ = i z z 2018 2 3iz i −= z 2018 2 2 3 2 3 2 3i iz ii i − −= = = − + 2 3z i= − − z ( )2, 3− − ( )sin , 2cosa θ θ= − ( )1, 1b = − a b⊥  ( )2a a b⋅ − =   8 5 2 10 5 1 5 利用 可得出 ，然后利用正、余弦齐次式（弦化切）的求法可计算出 的值. 【详解】 ， ， . 故选：A. 【点睛】本题是平面向量与三角函数的综合问题，考查向量垂直的坐标表示以及正、余弦齐 次式的计算，考查计算能力，属于中等题. 4.埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字 塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧 合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为 3.14159，这就是圆周率 较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完 成后，底座边长大约 230 米．因年久风化，顶端剥落 10 米，则胡夫金字塔现高大约为（ ） A. 128.5 米 B. 132.5 米 C. 136.5 米 D. 110.5 米 【答案】C 【解析】 【分析】 设出胡夫金字塔原高，根据题意列出等式，解出等式即可根据题意选出答案． 【详解】胡夫金字塔原高为 ，则 ，即 米， 则胡夫金字塔现高大约为 136.4 米．故选 C． 【点睛】本题属于数学应用题，一般设出未知数，再根据题意列出含未知数的等式，解出未 知数，即可得到答案．属于常规题型． 5.下图记录了甲乙两名篮球运动员练习投篮时，进行的 5 组 100 次投篮的命中数，若这两组数 据的中位数相等，平均数也相等，则 ， 的值为（ ） A. 8，2 B. 3，6 C. 5，5 D. 3，5 0a b⋅ =  tan 2θ = ( )2a a b⋅ −   a b⊥   sin +2cos 0 tan 2a b θ θ θ∴ ⋅ = = ⇒ = −  ( ) 2 2 22 2 2 2 2 2 sin 4cos tan 4 82 2 sin 4cos sin cos tan 1 5a a b a a b θ θ θθ θ θ θ θ + +∴ ⋅ − = − ⋅ = + = = =+ +       h 230 4 3.141592h × = 230 4 146.42 3.14159h ×= ≈× x y 【答案】D 【解析】 【分析】 由茎叶图可得，甲的中位数是 65，从而可知乙的中位数也是 65，可得到 ，再利用二者平 均数也相等，可求出 的值，即可得到答案． 【详解】由题意可知，甲的中位数为 65，则乙的中位数也是 65，故 ， 因为甲乙 平均数相等，所以 ， 解得 . 故答案为 D. 【点睛】本题考查了茎叶图的知识，考查了中位数与平均数的求法，考查了学生对基础知识 的掌握． 6.设 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系是( ) A. a＜b＜c B. c＜b＜a C. c＜a＜b D. b＜c＜a 【答案】C 【解析】 【分析】 利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 【详解】∵0＜a=0.50.4＜0.50=1， b=log0.40.3＞log0.40.4=1， c=log80.4＜log81=0， ∴a，b，c 的大小关系是 c＜a＜b． 故选 C． 【点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个 实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性， 当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值 的 应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小． 7.设 、 、 是三个不同 平面， 、 、 是三条不同的直线，已知 ， 的 的 =5y x =5y 56 62 65 74 70 59 61 67 65 78 5 5 x+ + + + + + + + += 3x = 0.40.5a = 0.4log 0.3b = 8log 0.4c = 0,1 α β γ a b c aα β∩ = ， .给出如下结论： ①若 ，则 ；②若 ，则 ； ③若 ， ，则 ， ；④若 ， ，则 ， . 其中正确的结论个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】 根据平行和垂直的公理及定理，对四个命题进行一一验证排查，得出正确结果． 【详解】解：对于①， ， ， ， ， ，故①正确； 对于②： ， ， 则 ， ，故②正确； 对于③： ， ， ， 与 不平行，即 与 相交于一点 ， ，故③正确； bβ γ = cα γ∩ = / /a b / /b c a b A= b c A= a b⊥  b c⊥ α β⊥ α γ⊥ α β⊥ α γ⊥ a b⊥  b c⊥ aα β =  bβ γ = //a b a α⊂ b α⊄ //b α∴ b γ⊂ cα γ∩ = //b c∴ aα β =  bβ γ = a b A= , ,A A Aα β γ∈ ∈ ∈ , ,A a A b∈ ∈ cα γ =  A c∴ ∈ b c A∴ = aα β =  bβ γ = cα γ∩ = ,a cα α∴ ⊂ ⊂ a b⊥ b c⊥ ∴ a c a c b α∴ ⊥ ,b bβ γ⊂ ⊂ α β∴ ⊥ α γ⊥ 对于④：若 ， ， ，故④正确； 综上可得正确的有 个， 故选： 【点睛】本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系，考查空间想象能力，逻辑推理能力， 属于中档题. 8.过点 的直线与抛物线 相交于 两点，且 ，则点 到原 点的距离为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 设 ，过 A,B 两点分别作直线 的垂线，垂足分别为 D,E． ∵ ，∴ ． 由抛物线的定义得 ，又 ， 解得 ． ∴ ．选 D． 点睛：在解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线的定义的应用．抛物线定义有两种用途： 一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点 M 满足定义，它到准线的距离为 d，则|MF|＝d， 可解决有关距离、最值、弦长等问题；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从 而得到动点的轨迹是抛物线． 9.已知函数 的最小正周期为 4 ，其图象关于直线 α β⊥ α γ⊥ bβ γ = b α∴ ⊥ ,a cα α⊂ ⊂ ,b a b c∴ ⊥ ⊥ 4 D ( 2,0)P − 2: 4C y x= ,A B 1 2PA AB= A 5 3 2 2 6 3 2 7 3 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2x = − 1 2PA AB= 3BE AD= 1 2 1 2 3( 2) 2 3 x x y y + = +  = 2 1 1 2 2 2 4 4 y x y x  =  = 1 2 3x = 2 2 2 1 1 1 1 4 8 2 74 9 3 3OA x y x x= + = + = + = ( ) ( )2sin 0, 2f x x πω ϕ ω ϕ = + > <   π 对称，给出下面四个结论： ①函数 在区间 上先增后减；②将函数 的图象向右平移 个单位后得到的 图象关于原点对称；③点 是函数 图象的一个对称中心；④函数 在 上的最大值为 1．其中正确的是( ) A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】 根据最小正周期为 4π，其图象关于直线 对称，求解 f（x）的解析式，即可判断下面 各结论． 【详解】函数 的最小正周期为 4π，可得 ． ∴ω 其图象关于直线 对称． 即 φ ， 可得：φ ，k∈Z． ∵ ． ∴φ ． ∴f（x）的解析式为 f（x）＝2sin（ ）； 对于①：令 ，k∈Z． 可得： ． ∴[0， ]是单调递增， 令 ，k∈Z． 2 3x π= ( )f x 40, 3 π     ( )f x 6 π ,03 π−     ( )f x ( )f x [ ],2π π 2 3x π= ( ) ( )2 0 2f x sin x πω ϕ ω ϕ = +   ＞ ， ＜ 2 4 π πω = 1 2 = 2 3x π= 1 2 2 3 π× + 2 k π π= + 6k ππ= + 2 πω ＜ 6 π= 1 2 6x π+ 12 22 2 6 2k x k π π ππ π− ≤ + ≤ + 4 24 43 3k x k π ππ π− ≤ ≤ + 2 3 π 1 32 22 2 6 2k x k π π ππ π+ ≤ + ≤ + 可得： 4kπ． ∴[ ， ]是单调递减， ∴函数 f（x）在区间 上先增后减； 对于②：将函数 f（x）的图象向右平移 个单位后得到：y＝2sin（ ）＝2sin （ x ）没有关于原点对称； 对于③：令 x ，可得 f（ ）＝2sin（ ）＝0，∴点 是函数 f（x） 图象的一个对称中心； 对于④：由 x∈[π，2π]上，∴ ∈[ ， ]，所以当 x＝π 时取得最大值为 . ∴正确的是：①③． 故选 C． 【点睛】本题主要考查利用y＝Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数 y＝Asin（ωx+φ）的部分信 息求解析式，属于中档题 10.函数 的部分图象如右图所示,设 是图象的最高点, 是图象与 轴的交点,记 ,则 的值是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 试题分析：函数 的周期 T=2，最大值为 1， 过 p 作 PD⊥x 轴于 D，则 AD 是四分之一个周期，有 AD= ，DB= ，DP=1，所以 AP= ,BP= 2 84 3 3k x π ππ + ≤ ≤ + 2 3 π 8 3 π 40 3 π    ， 6 π 1 2 6 6x π π − +   1 2 12 π+ 3 π= − 3 π− 1 2 3 6 π π− × + 03 π −  ， 1 2 6x π+ 2 3 π 7 6 π 3 sin( )( 0)y xπ ϕ ϕ= + > P ,A B x APB θ∠ = sin 2θ 16 65 16 65 16 63 − 16 63 − sin( )( 0)y xπ ϕ ϕ= + > 1 2 3 2 5 2 , 在 Rt△ADP 中 sin∠APD= ，cos∠APD= ；在 Rt△BDP 中 sin∠BPD= ， cos∠BPD= , = × + × = ， = ，所以 = =2× × = ，故选 A. 考点：1.正弦型函数的图形和性质；2.二倍角公式和两角和差公式. 11.已知双曲线 左、右两个焦点分别为 ， 为其左右顶点, 以线段 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 ，且 ,则双 曲线的离心率为( ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析：求出双曲线的渐近线方程和圆的方程，求出交点 ，再由两点的斜率公式，得到 的关系，再由离心率公式即可得到所求值． 详解：双曲线 的渐近线方程为 以 为 代入圆的方程，可得， （负的舍去）， ， 即有 又 ， 的 13 2 5 5 2 5 5 3 13 13 2 13 13 sin sin( ) sin cos cos sinAPD BPD APD BPD APD BPDθ = ∠ + ∠ = ∠ ∠ + ∠ ∠ 5 5 2 13 13 2 5 5 3 13 13 8 65 65 cosθ 65 65 sin 2θ 2sin cosθ θ 8 65 65 65 65 16 65 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1 2F F、 A B、 1 2F F、 M 30MAB∠ =  21 2 21 3 19 3 19 2 M ,a b 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > by xa = ± ， 1 2F F by xa ，= 2 2 acx a a b = = + y b= M a b（ ， ）， 0A a−（ ，） 由于 ，则直线 的斜率为 又 ，则 ， 即有 ， 则离心率 ． 故选 B． 点睛：本题考查双曲线 方程和性质，考查直线和圆的位置关系，直线的斜率公式，考查离 心率的求法，属于基础题． 12.若函数 在区间 内有极大值，则 的取值范围 是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析：由 ， ∴导数 ， 因为函数 在区间 内有极大值， ∴方程 在在区间 内有解， 即：方程 在区间 内有解， ∴ 在区间 内有解， 故 ， 的 30MAB∠ =  AM 3 3k = ， 2 bk a = 2 2 2 23 4 3b a c a= = −（ ） 2 23 7c a= 21 .3 ce a = ＝ ( ) ( ) ( )2 1 2 2ln 02 axf x a x x a= − + + > 1 ,12      a 1 ,e  +∞   ( )1,+¥ ( )1,2 ( )2,+¥ ( ) ( )2 1 2 2 ( 0)2 axf x a x lnx a= − + + > ( ) ( ) 21 2f x ax a x = − + +′ ( ) ( )2 1 2 2 ( 0)2 axf x a x lnx a= − + + > 1 ,12      ( ) ( ) 21 2 0f x ax a x = − + + =′ 1 ,12      ( ) 21 2 0ax a x − + + = 1 ,12      1a x = 1 ,12      ( )1 1,2a x = ∈ 则 的取值范围是 . 选 C. 点睛：对于涉及函数的极值问题时，往往要使用导数这个解题的工具，在解题时要注意运用 等价转化的解题思想，把函数 在区间 内有极大值的问题转化为导函数对应的方 程在区间 内有解的问题，然后再通过分离参数的方法求出参数 a 的范围. 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13.某公司有职工 2000 名，从中随机抽取 200 名调查他们的居住地与上班工作地的距离，其中 不超过 1000 米的共有 10 人，不超过 2000 米的共有 30 人，由此估计该公司所有职工中居住 地到上班地距离在(1000，2000]米的有 人． 【答案】200 【解析】 【分析】 根据题意，求得样本中 米的人数所占的比例，由此求得全体中 米 的人数. 【详解】依题意可知，样本中 米的人数所占的比例为 ，故全体中 米的人数为 人. 【点睛】本小题主要考查用样本估计总体，属于基础题. 14.已知函数 是定义在[-5,5]上的偶函数，且在区间 是减函数，若 ， 则实数 a 的取值范围是_______.． 【答案】 【解析】 由已知可得原不等式等价于 . 【点睛】 a ( )1,2 ( )f x 1 ,12      1 ,12      ( ]1000,2000 ( ]1000,2000 ( ]1000,2000 30 10 0.1200 − = ( ]1000,2000 2000 0.1 200× = ( )f x [0,5] (2 3) ( )f a f a+ < [ 4, 3) ( 1,1]− − ∪ − [ ) 2 3 3 1 5 2 3 5 4 1 4, 3 5 5 5 5 a a a a a a a a a  + > − − − ≤ + ≤ ⇒ − ≤ ≤ ⇒ ∈ − −   − ≤ ≤ − ≤ ≤  或 ( 1,1]∪ − 本题解题的关键是利用数形结合思想将原命题等价转化为 ，从而解该不等式 组即可求得正解. 15.在 中，角 所对的边分别为 ，若 ， ，则 的面积的最大值为________ 【答案】 【解析】 【分析】 利用正弦定理得出 的关系，利用余弦定理，同角三角函数基本关系式可求得 ，利 用基本不等式，三角形面积公式即可求解. 【 详 解 】 ， ， 由正弦定理可得： ， 解得 . ， ，可得 （当且仅当 时等号成立）， ， 可得 ， （当且仅当 时等号成立） 故答案为： . 【点睛】本题主要考查的是正弦定理，余弦定理的应用，基本不等式的应用以及同角三角函 数基本关系式的应用，熟练掌握正余弦定理是解本题的关键，是中档题. 16.已知体积为 的正四棱锥 外接球的球心为 ，其中 在四棱锥 内 2 3 5 2 3 5 5 5 a a a a  + > − ≤ + ≤ − ≤ ≤ ABC∆ A B C， ， a b c， ， ( ) ( )3 1cosA sinB sin A cosB− = + 6a c+ = ABC∆ 2 2 , ,a b c sin B ( ) ( )3 cos sin sin 1 cosA B A B− = + 3sin sin sin cos cos sin sin sinB A A B A B A C= + + = + ∴ 3 6b a c= + = ∴ 2b = 6a c+ = 6 2a c ac∴ = + ≥ 9ac ≤ 3a c= = 2 2 2 2( ) 2 4 16cos 2 2 a c b a c ac acB ac ac ac + − + − − −∴ = = = 2 2 16 4sin 1 cos 1 2 16acB B acac ac − = − = − = −   1 1 4csin 2 16 2 2 16 2 2 9 16 2 22 2S a B ac ac acac ∴ = = × × − = − ≤ × − = 3a c= = 2 2 64 3 P ABCD− O O P ABCD− 部.设球 的半径为 ，球心 到底面 的距离为 ．过 的中点 作球 的截面， 则所得截面圆面积的最小值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】 首项根据题意作图，根据题中所给的条件，求得底面 的边长为 ，四棱锥 的高是 ，由棱锥的体积，求得 ，分析得出过点 作球 的截面，截面圆面积最小 时是以点 为圆心的截面圆，从而得到半径，求得圆的面积. 【详解】如图取底面 的中心为 ， 连接 平面 ，且球心 在 上， 由条件知， ，连接 ， ， 则 ， 于是底面 的边长为 . 又 ，故四棱锥 的高是 ， 所以 ，即 ， 从而 ， ，于是 ， 过 的中点 的最小截面圆是以点 为圆心的截面圆， 该截面圆的半径是 ， 故所求面积为 . O R O ABCD 3 R AB E O 4π ABCD 4 3 R P ABCD− 4 3 R 3R = E O E ABCD G PG ⊥ ABCD O PG 3 ROG = OA AG 2 2 2 2 3AG OA OG R= − = ABCD 4 3 R OP R= P ABCD− 4 3 R 364 64 81 3P ABCDV R− = = 3R = 1OG = 2 23EG R= = 5OE = AB E E ( )223 5 2− = 4π 【点睛】该题考查的是有关正四棱锥的外接球的问题，涉及到的知识点有锥体的体积公式， 过球内一点球的截面圆面积的最小值，属于中档题目. 三、解答题（共 6 题，共 70 分） 17.已知数列 的前 项和为 ，且 . （1）求数列 的通项公式 （2）若数列 是等差数列，且 ， ，求数列 的前 项和 . 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）当 时，求得 ，当 时，递推作差得 ，即 ，得到数列 是首项为 1，公比为 3 的等比数列，即可求解数列的通项公式； （2）由（1）求得 ，得到 ，利用分组求和，即可求 解． 【详解】（1）当 时， ，所以 ， 当 时，因为 ，所以 ， 两式作差得 ，即 ，因为 ， 所以数列 是首项为 1，公比为 3 的等比数列， 故 ； （2）令 ，则 ， ， 所以数列 的公差 ，故 ， 所以 ， 所以 . { }na n nS 2 3 1n nS a= − { }na { }n nb a− 1 2b = 3 14b = { }nb n nT 13 −= n na 2 3 1 2 n n −+ 1n = 1 1a = 2n ≥ 13n na a −= 1 3n n a a − = { }na 2 1nc n= − 12 1 3n n n nb c a n −= + = − + 1n = 1 1 12 2 3 1S a a= = − 1 1a = 2n ≥ 2 3 1n nS a= − 1 12 3 1n nS a− −= − 13n na a −= 1 3n n a a − = 1 1a = { }na 13n na −= n n nc b a= − 1 1 1 1c b a= − = 3 3 3 14 9 5c b a= − = − = { }nc 3 1 5 1 22 2 c cd − −= = = 2 1nc n= − 12 1 3n n n nb c a n −= + = − + ( ) 21 2 1 1 3 3 1 2 1 3 2 n n n n nT n + − − −= + = +− 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的求解，以及数列的“分组求和”的应用，其 中解答中根据数列的通项和前 n 项和之间的关系，求得数列的通项公式，再利用等差、等比 数列的前 n 项和公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 18.如图所示的几何体中， 是菱形， ， 平面 ， ， . （1）求证：平面 平面 ； （2）求平面 与平面 构成的二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】 【分析】 （1）取 中点 ，连结 ，设 交 于 ，连结 ， ，先证明 ， ，可证得 平面 ，又 ，故 平面 ，即得证. （2）如图所示的空间直角坐标系，求解平面 与平面 的法向量，利用二面角的向量 公式即得解. 【详解】（1）证明：取 中点 ，连结 ，设 交 于 ，连结 ， ， 在菱形 中， ， ∵ 平面 ， 平面 ，∴ ， ABCD 60ABC∠ = ° PA ⊥ ABCD // //AP BF DE 2 2 2AP AB BF DE= = = = PAC ⊥ PCE PBC PCE 7 7 PC M BD BD AC O OM EM OD AC⊥ OD PA⊥ OD ⊥ PAC //OD EM EM ⊥ PAC PBC PCE PC M BD BD AC O OM EM ABCD OD AC⊥ PA ⊥ ABCD OD ⊂ ABCD OD PA⊥ 又 ， ， 平面 ，∴ 平面 ， ∵ ， 分别是 ， 的中点，∴ ， ， 又 ， ，∴ ，且 ， ∴四边形 是平行四边形，则 ，∴ 平面 ， 又 平面 ，∴平面 平面 . （2）由（1）中证明知， 平面 ，则 ， ， 两两垂直，以 ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由 及 是菱形， 得， ， ，则 ， ， ， ， ， ， ， 设平面 的一个法向量为 ， 则 ，即 ， 取 ，求得 ，所以 ， 同理，可求得平面 的一个法向量为 ， 设平面 与平面 构成的二面角的平面角为 ，则 ，又 ， ， PA AC A= PA AC ⊂ PAC OD ⊥ PAC O M AC PC //OM PA 1 2OM PA= //DE PA 1 2DE PA= //OM DE OM DE= OMED //OD EM EM ⊥ PAC EM ⊂ PCE PAC ⊥ PCE OM ⊥ ABCD OB OC OM OB OC OM x y z 2 2 2PA AB BF DE= = = = ABCD 60ABC∠ = ° 2AC = 2 3BD = ( )3,0,0B (0,1,0)C (0, 1,2)P − ( )3,0,1E − (0,2, 2)PC = − ( )3,1, 2PB = − ( )3,1, 1PE = − − PBC ( , , )m a b c= 0 0 m PB m PC  ⋅ =  ⋅ =   3 2 0 2 2 0 a b c b c  + − = − = 1a = 3b c= = ( )1 3 3m = , , PCE (0,1,1)n = PBC PCE θ | | 2 3 42| cos | | cos , | | | | | 77 2 m nm n m n θ ⋅= < 〉 = = =⋅ ⋅      [ ]0,θ π∈ sin 0θ ≥ ∴ ， ∴平面 与平面 构成的二面角的正弦值为 . 【点睛】本题考查了空间向量和立体几何综合，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算 的能力，属于中档题. 19. 某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从 种服装商品, 种家电 商品, 种日用商品中,选出 种商品进行促销活动. （Ⅰ）试求选出的 种商品中至多有一种是家电商品的概率; （Ⅱ）商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高 元，同时,若顾客购买该商品,则允许有 次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为 元的奖券.假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是 ,若使促销方案对商场有利，则 最少为多少 元？ 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 最少为 元 【解析】 【详解】（Ⅰ）选出 种商品一共有 种选法, 选出的 种商品中至多有一种是家电商品有 种 所以至多有一种是家电商品的概率为 （Ⅱ）奖券总额是一随机变量,设为 ,可能值为 , , , 2 7sin 1 cos 7 θ θ= − = PBC PCE 7 7 6 7P = 3 1 2 1 1 1 3( 40) 2 2 8P Cξ    = = ⋅ =       0 所以 . 所以 ,因此要使促销方案对商场有利，则 最少为 元 20.已知椭圆 的左焦点为 ， 是椭圆上关于原点 对称的两个动 点，当点 的坐标为 时， 的周长恰为 ． （1）求椭圆的方程； （2）过点 作直线 交椭圆于 两点，且 ，求 面积的取值范 围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）求出 AB，得到 a，然后求解 b，即可得到椭圆方程;（2）当直线 AB 的斜率不存在时，求 解三角形面积，设直线 CD 的方程为 y＝k（x+2）（k≠0）．由 消去 y 整理得： （1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣8＝0，△＞0，设 C（x1，y1），D（x2，y2），利用弦长公式求解 CD， 2 2 3 11 1 3( 80) )(2 2 8P z C  = = ⋅ =   1 8 1 8 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > F ,A B O A 141, 2       ABF∆ 7 2 F l ,C D CD ABλ=  ( )Rλ ∈ ACD∆ 2 2 18 4 x y+ = (0,2 2] ( ) 2 2 2 2 8 y k x x y  = +  + = ， ， 然后求解三角形面积，推出范围即可． 【详解】（1）当点 的坐标为 时， ，所以 ． 由对称性， ， 所以 ，得 将点 代入椭圆方程 中，解得 ， 所以椭圆方程为 . （2）当直线 的斜率不存在时， ， 此时 ． 当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ． 由 消去 整理得： ． 显然 ， 设 ，则 故 ． 因为 ，所以 ， 所以点 到直线 的距离即为点 到直线 的距离 ， 所以 A 141, 2       7 3 21 2 2OA = + = 3 2AB = 2AF BF a+ = 2 7 2 3 2 4 2a = − = 2 2a = 141, 2       2 4b = 2 2 18 4 x y+ = AB 2 2CD = 1 2 2 2 2 22ACDS∆ = × × = AB CD ( 2)( 0)y k x k= + ≠ 2 2 ( 2), 2 8, y k x x y = +  + = y 2 2 2 2(1 2 ) 8 8 8 0k x k x k+ + + − = > 0∆ ( ) ( )1 1 2 2, , ,C x y D x y 2 1 2 2 2 1 2 2 8 ,1 2 8 8 ,1 2 kx x k kx x k  + = − + − ⋅ = + 2 1 21CD k x x= + ⋅ − 22 2 2 2 2 8 8 81 41 2 1 2 k kk k k   −= + ⋅ − × + +  ( ) 2 2 22 32 +321 1 2 kk k = + ⋅ + ( )2 2 4 2 1 1 2 k k + = + CD ABλ=  ( )Rλ ∈ / /CD AB A CD O CD 2 2 1 kd k = + 1 2ACDS CD d∆ = × × ( )2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 k k k k + = ×+ + ， 因为 ，所以 ， 所以 ．综上， ． 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程 是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题， 最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一， 尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 21. 已知函数 是奇函数， 的定义域为 ．当 时， ．(e 为自然对数的底数)． (1)若函数 在区间 上存在极值点，求实数 的取值范围； (2)如果当 x≥1 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）根据题意求出 x>0 时函数的解析式，对函数求导，得到唯一的极值点 1，使得 1 在所给 区 间 内 即 可 ； （ 2 ） ， 令 ，对函数求导研究函数的单调性得到函数的最值进而求解. 【详解】设 x>0 时，结合函数的奇偶性得到： 2 2 4 2 1 1 2 k k k ⋅ += + ( ) ( ) 2 2 22 1 4 2 1 2 k k k + = + 4 2 4 2 4 42 2 4 4 1 k k k k += + + ( )22 12 2 1 1 2k = − + 21 2 1k+ > ( )22 10 1 1 2k < < + 0 2 2ACDS∆< < (0,2 2]ACDS∆ ∈ ( )f x ( )f x ( , )−∞ +∞ 0x < ( )f x ln( )ex x −= ( )f x 1( , )( 0)3a a a+ > a ( ) 1 kf x x ≥ + k 2 13 a< < ( ],2−∞ ( ) ( )( )1 1 ln1 ln 1 1 x xk x kf x kx x x x + ++≥ ⇔ ≥ ⇔ ≤+ + ( ) ( )( ) ( )1 1 ln 1x xg x xx + += ≥ ( ) ( ) ( )ln 1 lnex xf x f x x x += − − = = （1）当 x>0 时，有 ， ； 所以 在（0，1）上单调递增，在 上单调递减，函数 在 处取得唯一的极 值．由题意 ，且 ，解得所求实数 的取值范围为 （2）当 时， 令 ，由题意， 在 上恒成立 令 ，则 ，当且仅当 时取等号． 所以 在 上单调递增， 因此， 在 上单调递增， ． 所以 ．所求实数 的取值范围为 【点睛】本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及 求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题．对于函数恒成立或者 有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函 数最值，使得函数最值大于或者小于 0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另 一个函数． 22. 已知平面直角坐标系 ，以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， 点的极坐 标为 ，曲线 的极坐标方程为 （ 为参数）. （1）写出点 的直角坐标及曲线 的直角坐标方程； （2）若 为曲线 上的动点，求 的中点 到直线 ： 的距离 ( ) ( ) 2 2 1 1 ln 1 lnx x xxf x x x ′ ⋅ − + ⋅ = = − ( ) 0 ln 0 0 1f x x x<′ > ⇔ ⇔ < < ( ) 0 ln 0 1f x x x⇔ ⇔ >′ ( )f x ( )1,∞ ( )f x 1x = 0a > 11 3a a< < + a 2 13 a< < 1x ≥ ( ) ( )( )1 1 ln1 ln 1 1 x xk x kf x kx x x x + ++≥ ⇔ ≥ ⇔ ≤+ + ( ) ( )( ) ( )1 1 ln 1x xg x xx + += ≥ ( )k g x≤ [ )1,+∞ ( ) ( )( ) ( )( )' 2 2 1 1 ln 1 1 ln lnx x x x x x x xg x x x ′ + + ⋅ − + + ⋅ − = =′ ( ) ( )ln 1h x x x x= − ≥ ( ) 11 0h x x = − ≥′ 1x = ( ) lnh x x x= − [ )1,+∞ ( ) ( )1 1 0h x h≥ = > ( ) ( ) 2 0h xg x x =′ > ( )g x [ )1,+∞ ( ) ( )min 1 2g x g= = 2k ≤ k ( ],2−∞ xOy O x P 3 4 ，π     C 2cos 4 πρ θ = −   θ P C Q C PQ M l 2 cos 4 sin 2ρ θ ρ θ+ = 的最小值. 【答案】（1）点 ； （2） 【解析】 试题分析:(1)由 的极坐标为 ,利用 可得 点的直角坐标,曲线 的参 数方程展开可得: ,利用 以及 可得 出直角坐标方程;(2)直线 的直角坐标方程为 ,设 , 则 ,利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性值域即可得 出. 试题解析:（1）点 的直角坐标为 ； 由 得 ① 将 ， ， 代入①， 可得曲线 的直角坐标方程为 ． （2）直线 的直角坐标方程为 ， 设点 的直角坐标为 ，则 ， 那么 到直线 的距离： ， P 3 2 3 2 2 2       ， 2 2 2 2 12 2x y    − + − =          10 1 2 − P 3, 4 π     cos sin x y ρ θ ρ θ =  = P C ( )2 22 cos sin2 ρ ρ θ ρ θ= × + cos sin x y ρ θ ρ θ =  = 2 2 2x yρ = + l 2 4 2x y+ = 2 2cos , sin2 2Q θ θ + +    cos sin2 , 22 2M θ θ + +   P 3 2 3 2,2 2       2cos 4 πρ θ = −   2 2 cos 2 sinρ ρ θ ρ θ= + 2 2 2x yρ = + cos xρ θ = sin yρ θ = C 2 2 2 2 12 2x y    − + − =          :l 2 cos 4 sin 2ρ θ ρ θ+ = 2 4 2 0x y+ − = Q 2 2cos , sin2 2 θ θ + +    cos sin2 , 22 2M θ θ + +   M l 2 2 cos sin2 2 4 2 22 2 2 4 d θ θ   + + + −      = + 5 2 cos 2sin 2 5 θ θ+ + = ( )5 2 5sin 2 5 θ ϕ+ + = （当且仅当 时取等号）， 所以 到直线 的距离的最小值为 ． 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 （1）若 的解集为 ，求实数 的值； （2）若 ，若存在 ，使得不等式 成立，求实数 的 取值范围. 【答案】(1) . (2) . 【解析】 分析：（1）利用绝对值不等式的解集，列出方程求解即可； （2）利用 ，若存在 ，使得不等式 成立，化简函数 的解析式，通过函数的最小值以及函数的单调性，列出不等式，求解即可. 详解：（1）显然 ，当 时，解集为 ， ，无解； 当 时，解集为 ， ， ， 综上所述 . (2)当 时，令 由此可知 在 上单调递减，在 上单调递增，当 时， 取到最小 值-2，由题意知， ， . 点睛：本题考查函数的最值的应用，绝对值不等式的解法，考查转化思想以及计算能力. 5 2 5 10 1 22 5 d − −∴ ≥ = ( )sin 1θ ϕ+ = − M : 2 cos 4 sin 2l ρ θ ρ θ+ = 10 1 2 − ( ) 1.f x ax= − ( ) 2f x ≤ [ ]3,1− a 1a = x∈R ( ) ( )2 1 1 3 2f x f x m+ − − ≤ − m 1a = − 5 2m ≤ 1a = x R∈ ( ) ( )2 1 1 3 2f x f x m+ − − ≤ − 0a ≠ 0a > 1 3,a a  −   1 33, 1a a − = − = 0a < 3 1,a a  −   1 31, 3a a − = = − 1a = − 1a = − 1a = ( ) ( ) ( ) 2, 0, 2 1 1 2 2 3 2,0 2, 2, 2 x x h x f x f x x x x x x x − − ≤ = + − − = − − = − < ≤  + > ( )h x ( ],0−∞ [ )0,+∞ 0x = ( )h x 3 2 2m− ≥ − 5 2m∴ ≤