高考数学二轮复习专题能力提升训练：导数及其应用

高考数学二轮复习专题能力提升训练：导数及其应用

北京师范大学附中2014版《创新设》高考数学二轮复习专题能力提升训练：导数及其应用 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷(选择题　共60分)‎ 一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．已知二次函数的导数，且的值域为，则的最小值为( )‎ A．3 B． C．2 D．‎ ‎【答案】C ‎2．曲线：在点处的切线恰好经过坐标原点，则点的坐标为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎3．函数的单调递减区间是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D[来源:学科网]‎ ‎4．已知，满足，则函数的图象在点处的切线方程为( )‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎5．，则等于( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎6．设为曲线上的点,且曲线在点处切线倾斜角的取值范围是,则点横坐标的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎7．已知函数，则的导函数( )‎ A． B． ‎ C． D． [来源:Z#xx#k.Com]‎ ‎【答案】A ‎8．设函数，其中θ∈，则导数的取值范围是( )‎ A．[－2,2] B．[，] C．[，2] D．[，2]‎ ‎【答案】D ‎9．已知函数y=3x-x2在x=2处的增量为x=0.1,则y为( )‎ A．-0.11 B．1.1 C．3.80 D．0.29‎ ‎【答案】A ‎10．设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎11．曲线在点处的切线的斜率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎12．已知，，则的取值范围为( )‎ A． B．‎ C． D． ‎ ‎【答案】C 第Ⅱ卷(非选择题　共90分)‎ 二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13．函数的单调递增区间是 ‎ ‎【答案】‎ ‎14．若展开式中的系数是，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎15．函数的图像在处的切线在x轴上的截距为____________。 ‎ ‎【答案】‎ ‎16．函数的导数 ， ‎ ‎【答案】‎ 三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17．请先阅读：在等式（）的两边求导，得：，‎ 由求导法则，得，化简得等式：．‎ ‎(1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式 （，正整数），证明：．‎ ‎(2）对于正整数，求证：‎ ‎(i）；  (ii）；  (iii）．‎ ‎【答案】（1）在等式两边对求导得[来源:学科网]‎ ‎          移项得                 （*）‎ ‎(2）（i）在（*）式中，令，整理得  ‎ ‎     所以    ‎ ‎(ii）由（1）知 两边对求导，得 在上式中，令 ‎               ‎ 即 ，‎ 亦即          （1）  ‎ 又由（i）知          （2）‎ 由（1）+（2）得 ‎(iii）将等式两边在上对积分[来源:Zxxk.Com]‎ ‎    由微积分基本定理，得 ‎    所以  ‎ ‎18．已知函数f(x)＝x3－x2＋ax－a(a∈R)．‎ ‎(1)当a＝－3时，求函数f(x)的极值；‎ ‎(2)求证：当a≥1时，函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点．‎ ‎【答案】(1)　当a＝－3时，f(x)＝x3－x2－3x＋3，‎ ‎∴f′(x)＝x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)．‎ 令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.‎ 当x<－1时，f′(x)>0，则f(x)在(－∞，－1)上单调递增；‎ 当－13时，f′(x)>0，f(x)在(3，＋∞)上单调递增．‎ ‎∴当x＝－1时，f(x)取得极大值为 f(－1)＝－－1＋3＋3＝；‎ 当x＝3时，f(x)取得极小值为 f(3)＝×27－9－9＋3＝－6.‎ ‎(2)　∵f′(x)＝x2－2x＋a，‎ ‎∴Δ＝4－4a＝4(1－a)．‎ 由a≥1，则Δ≤0，∴f′(x)≥0在R上恒成立，‎ ‎∴f(x)在R上单调递增．‎ ‎∵f(0)＝－a<0，f(3)＝2a>0，‎ ‎∴当a≥1时，函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点．‎ ‎19．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图像在点P(1，f(1))处的切线为3x＋y－3＝0．‎ ‎(I）求函数f(x)的解析式及单调区间；‎ ‎(II）求函数在区间[0，t](t>0)上的最值．‎ ‎【答案】(1)由P点在切线上得f(1)＝0，即点P(1,0)，又P(1,0)在y＝f(x)上，得a＋b＝－1，‎ 又f′(1)＝－3⇒2a＝－6，所以a＝－3，b＝2.故f(x)＝x3－3x2＋2.f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)>0，解得x>2或x<0，∴f(x)的增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)，减区间是(0,2)．‎ ‎(2)当03时，f(x)max＝f(t)＝t3－3t2＋2，f(x)min＝f(2)＝－2.‎ ‎20．某工厂生产某种儿童玩具，每件玩具的成本为30元，并且每件玩具的加工费为元（其中为常数，且），设该工厂每件玩具的出厂价为元（），根据市场调查，日销售量与（为自然对数的底数）成反比例，当每件玩具的出厂价为40元时，日销售量为10件.‎ ‎(Ⅰ）求该工厂的日利润(元)与每件玩具的出厂价元的函数关系式；‎ ‎(Ⅱ）当每件玩具的日售价为多少元时，该工厂的利润最大，并求的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）设日销量为则. ‎ ‎ 则日售量为日利润.‎ ‎ ，其中. ‎ ‎(Ⅱ） 令得. ‎ ‎①当时，. 当时，.‎ ‎ 当时，取最大值，最大值为.‎ ‎②当时，，函数在上单调递增，在上单减. 当时，取最大值. ‎ 当时，时，日利润最大值为元 ‎ 当时，时，日利润最大值为元. [来源:学科网]‎ ‎21．已知a∈R，函数f(x)＝4x3－2ax＋a.‎ ‎(1）求f(x)的单调区间；‎ ‎(2）证明：当0≤x≤1时，f(x)＋|2－a|>0.‎ ‎【答案】(1)由题意得f′(x)＝12x2－‎2a.‎ 当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞).‎ 当a＞0 时，f′(x)＝12，此时 函数f(x)的单调递增区间为和，‎ 单调递减区间为．‎ ‎(2)由于0≤x≤1，故 当a≤2时，f(x)＋|a－2|＝4x3－2ax＋2≥4x3－4x＋2.‎ 当a＞2时，f(x)＋|a－2|＝4x3＋‎2a(1－x)－2≥4x3＋4(1－x)－2＝4x3－4x＋2.‎ 设g(x)＝2x3－2x＋1,0≤x≤1，则g′(x)＝6x2－2＝6，于是 所以g(x)min＝g＝1－＞0.‎ 所以当0≤x≤1时，2x3－2x＋1＞0.‎ 故f(x)＋|a－2|≥4x3－4x＋2＞0.‎ ‎22．设函数（）．‎ ‎(Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎(Ⅱ）求函数在区间上的最大值与最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）因为 ，‎ 所以 ，且．‎ 所以 ．‎ 所以 曲线在点处的切线方程是，‎ 整理得 ．‎ ‎(Ⅱ）由（Ⅰ）知．‎ 令，解得或．‎ 当时，，变化情况如下表：‎ 因此，函数，的最大值为0，最小值为.‎