2020天津市高考压轴卷 数学

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KS5U2020天津高考压轴卷数学 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．‎ ‎1．已知集合，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2．已知为虚数单位，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知不等式成立的必要不充分条件是或，则实数的最大值为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎4．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎5．已知在等差数列中，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知，，均为锐角，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A． B． C． D．‎ ‎9．已知函数，若方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）‎ A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（0，1] D．（1，+∞）‎ 第II卷（非选择题)‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．‎ ‎10．若函数，则______________．‎ ‎11．展开式的常数项为 ．（用数字作答）‎ ‎12．抛物线，直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于A、B两点，若，则（O为坐标原点）的面积为______．‎ ‎13．如图，在正四棱柱中，P是侧棱上一点，且.设三棱锥的体积为，正四棱柱的体积为V，则的值为________.‎ ‎14．已知函数，.若函数在区间，内恰有5个零点，则的取值范围为_________．‎ ‎15．已知，二次三项式对于一切实数x恒成立，又，使成立，则的最小值为____．‎ 三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．‎ ‎16．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分5分．‎ 已知函数. ‎ ‎(1)求的最小正周期；‎ ‎(2)求在区间上的最大值和最小值；‎ ‎(3)若关于x的不等式在R上恒成立，求实数m的取值范围.‎ ‎17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分5分．‎ 如图，在三棱柱中，四边形，均为正方形，且，M为的中点，N为的中点．‎ ‎（1）求证：平面ABC；‎ ‎（2）求二面角的正弦值；‎ ‎（3）设P是棱上一点，若直线PM与平面所成角的正弦值为，求的值 ‎18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．‎ 已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，C的准线与E交于P，Q两点，且．‎ ‎（1）求E的方程；‎ ‎（2）过E的左顶点A作直线l交E于另一点B，且BO（O为坐标原点）的延长线交E于点M，若直线AM的斜率为1，求l的方程．‎ ‎19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．‎ 已知数列的前项和，数列满足：，.‎ ‎（Ⅰ）求数列，的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求．‎ ‎20．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分7分，第2小题满分9分．‎ 已知函数，．‎ ‎（1）试判断函数的单调性；‎ ‎（2）是否存在实数，使函数的极值大于？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分7分，第2小题满分9分 已知数列的前项和，数列满足：，.‎ ‎（Ⅰ）求数列，的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求．‎ KS5U2020天津高考压轴卷数学Word版含解析 参考答案 ‎1．【KS5U答案】B ‎【KS5U解析】‎ 由已知，集合，所以.‎ 故选：B ‎2．【KS5U答案】A ‎【KS5U解析】‎ ‎∵‎ ‎∴，‎ ‎∴，即 故选A ‎3．【KS5U答案】C ‎【KS5U解析】‎ ‎，或，‎ 或是不等式成立的必要不充分条件，‎ ‎，解得：，则实数的最大值为.‎ 故选：.‎ ‎4．【KS5U答案】C ‎【KS5U解析】‎ 为上的偶函数，，，‎ 且在上单调递增，‎ ‎，.‎ 故选：.‎ ‎5．【KS5U答案】C ‎【KS5U解析】‎ 由等差数列的性质，得，‎ 所以公差，‎ 又，所以.‎ 故选：C ‎6．【KS5U答案】A ‎【KS5U解析】‎ 双曲线的一条渐近线的倾斜角为，‎ 则，‎ 所以该条渐近线方程为；‎ 所以，‎ 解得；‎ 所以 ，‎ 所以双曲线的离心率为．‎ 故选：A．‎ ‎7．【KS5U答案】C ‎【KS5U解析】‎ 由题意，可得α，β均为锐角，∴－ <α－β<.‎ 又sin(α－β)＝－，∴cos(α－β)＝.‎ 又sin α＝，∴cos α＝，‎ ‎∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)‎ ‎＝×－×＝.∴β＝.‎ ‎8．【KS5U答案】C ‎【KS5U解析】‎ 选取两支彩笔的方法有种，含有红色彩笔的选法为种，‎ 由古典概型公式，满足题意的概率值为.‎ 本题选择C选项.‎ ‎9．【KS5U答案】B ‎【KS5U解析】‎ 解：由题意满足方程，‎ ‎①当时，只需有一个负根，即，‎ 解得：；‎ ‎②当时，只需有两个正根即可，‎ 方程可化为，故两根为：或，‎ 由题意只需且，‎ 综合①②可知，当时，方程有4个不同的实数根．‎ 所以实数的取值范围是（0，1）.‎ 故选：B．‎ ‎10．【KS5U答案】-1‎ ‎【KS5U解析】‎ 当时,故.‎ 故答案为：‎ ‎11．【KS5U答案】-160‎ ‎【KS5U解析】‎ 由，令得，所以展开式的常数项为.‎ ‎12．【KS5U答案】‎ ‎【KS5U解析】‎ 由题意可知：，结合焦半径公式有：，‎ 解得：，故直线AB的方程为：，‎ 与抛物线方程联立可得：，‎ 则，‎ 故的面积.‎ ‎13．【KS5U答案】‎ ‎【KS5U解析】‎ 设正四棱柱的底面边长，高，‎ 则，‎ 即 故答案为：‎ ‎14．【KS5U答案】，‎ ‎【KS5U解析】‎ 因为，‎ 所以令，，解得 ‎，则非负根中较小的有：‎ 因为函数在区间，内恰有5个零点，‎ 所以且，解得.‎ 故答案为：‎ ‎15．【KS5U答案】‎ ‎【KS5U解析】‎ 已知，二次三项式对于一切实数恒成立，‎ ‎，且；‎ 再由，使成立，‎ 可得，‎ ‎，，‎ 令，则 ‎（当时，等号成立），所以，的最小值为，‎ 故的最小值为，故答案为.‎ ‎16．【KS5U答案】(1) ;(2) 最大值为，最小值为;(3) .‎ ‎【KS5U解析】‎ ‎ ‎ ‎(1)，所以的最小正周期为. ‎ ‎(2)当时, ,‎ 当时,即时函数求得最小值;‎ 当时,即时函数求得最大值;‎ 所以在区间上的最大值为，最小值为 ‎ ‎(3)对，，‎ 所以不等式恒成立等价于，‎ 对，恒成立，即， ‎ 设，则，　‎ 令，且在上为增函数， ‎ 所以，，‎ 所以，.‎ ‎17．【KS5U答案】（1）证明过程见详解；（2）；（3）.‎ ‎【KS5U解析】‎ ‎（1）取中点为，连接，，‎ 因为为的中点，为的中点，‎ 所以，，‎ 又平面，平面，，‎ 所以平面平面，‎ 又平面，‎ 所以平面ABC；‎ ‎ ‎ ‎（2）因为四边形，均为正方形，所以，，两两垂直，‎ 以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设边长为，则，，，，，‎ 所以，，‎ 因此，，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，所以，令，则，‎ 因此；‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，所以，令，则，‎ 因此，‎ 设二面角的大小为，‎ 则，‎ 所以；‎ ‎（3）因为是棱上一点，设，则，‎ 所以，‎ 由（2）知，平面的一个法向量为，‎ 又直线与平面所成角的正弦值为，记直线与平面所成角为 则有，‎ 整理得，解得或（舍）‎ 所以.‎ ‎18．【KS5U答案】（1）；（2）.‎ ‎【KS5U解析】‎ ‎（1）因为抛物线的焦点为，‎ 由题意，可得：椭圆的两焦点为，‎ 又抛物线的准线与交于，两点，且，将代入椭圆方程得，所以，则，即①，‎ 又②，根据①②解得：，，‎ 因此椭圆的方程为；‎ ‎（2）由（1）得的左顶点为，设直线的方程为，，‎ 由得，所以，‎ 因此，所以，‎ 则，‎ 又因为（为坐标原点）的延长线交于点，‎ 则与关于原点对称，所以，‎ 因为直线的斜率为1，‎ 所以，解得：，‎ 因此，直线的方程为：.‎ ‎19．【KS5U答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【KS5U解析】‎ ‎（Ⅰ）当时，，‎ 当时，，适合上式，‎ 所以：；‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴数列的奇数项和偶数项都是首项为2，公比为2的等比数列，‎ ‎∴‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，‎ 且，，‎ ‎，‎ 设，①‎ ‎∴，②‎ ‎①﹣②得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴．‎ ‎20．【KS5U答案】（1）见解析；（2）存在，实数的取值范围为．‎ ‎【KS5U解析】‎ ‎（1）由题可得，函数的定义域为，‎ ‎．‎ ‎①当时，，所以函数在上单调递增．‎ ‎②当时，令，即，即，．‎ 当，即时，，‎ 故，所以函数在上单调递增．‎ 当，即时，方程的两个实根分别为，．‎ 若，则，，‎ 此时，所以函数在上单调递增；‎ 若，则，，‎ 此时当时，，当时，，‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减．‎ 综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在单调递增，在上单调递减．‎ ‎（2）由（1）可得，当时，函数在上单调递增，故函数无极值；‎ 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，‎ 此时函数有极大值，极大值为，其中．‎ 又，所以，即，所以．‎ 令，则，‎ 所以函数在上单调递增．‎ 又，所以当时，，所以等价于，‎ 即当时，，即，‎ 显然当时，，所以，即，解得，‎ 故存在满足条件的实数，使函数的极值大于，此时实数的取值范围为．‎ ‎21. （Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎（Ⅰ）当时，，‎ 当时，，适合上式，‎ 所以：；‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴数列的奇数项和偶数项都是首项为2，公比为2的等比数列，‎ ‎∴‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，‎ 且，，‎ ‎，‎ 设，①‎ ‎∴，②‎ ‎①﹣②得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴．‎