2017-2018学年重庆市第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年重庆市第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年重庆市第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：找出两个集合中的公共元素即可.‎ 详解：，故选C.‎ 点睛：本题考察集合的交运算，属于基础题.‎ ‎2．已知复数满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：把复数写成，利用复数的除法化简即可.‎ 详解：，故选B.‎ 点睛：本题考察复数的四则运算，属于基础题.‎ ‎3．函数的定义域为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：解不等式即得函数的定义域.‎ 详解：由可以得到，故定义域为，故选C.‎ 点睛：本题考察函数的定义域，一般地，函数的定义域须从四个方面考虑：（1）分母不为零；（2）偶次根号下非负；（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；（4）零的零次幂没有意义.‎ ‎4．在等差数列中，，则（ ）‎ A. 6 B. 7 C. 8 D. 9‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：观察下标的特点，因成等差数列，则有成等差数列，故可求 的大小.‎ 详解：因为，故，故选B.‎ 点睛：一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：‎ ‎（1）若，则；‎ ‎（2） 且 ；‎ ‎（3）且为等差数列；‎ ‎（4） 为等差数列.‎ ‎5．设，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】分析：若，则根据不等式的性质有成立，但推不出，据此判断充分必要性.‎ 详解：当时，，取，则，当，故“ ”是“ ”的充分不必要条件，故选A.‎ 点睛：充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若则”是真命题，“若则”是假命题，则是的充分不必要条件；若“若则”是真命题，“若则”是真命题，则是的充分必要条件；若“若则”是假命题，“若则”是真命题，则是的必要不充分条件；若“若则”是假命题，“若则”是假命题，则是的既不充分也不必要条件.‎ ‎6．函数的单调递增区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先求出函数的定义域，再把函数看成的复合函数，利用同增异减来求给定函数的单调增区间.‎ 详解：函数的定义域为，‎ 令，在上，是减函数，‎ 在上，是增函数，‎ 故的单调增区间为，故选C.‎ 点睛：求复合函数的单调区间，要先求函数的定义域，再根据“同增异减”求单调区间.‎ ‎7．若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：用含的解析式表示双曲线的离心率，求此函数在上的值域即可.‎ 详解：离心率，‎ 因为，故，故，故选C.‎ 点睛：离心率范围的计算，关键在于构建的不等式关系.此题中为定值，为变量，只需构建离心率与的函数关系并求出函数的值域即可.‎ ‎8．已知函数，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：用换元法求出，再解方程即可.‎ 详解：，则，‎ 故，‎ 令，则，故选A.‎ 点睛：函数解析式的求法有：（1）换元法；（2）配凑法；（3）待定系数法；（4）函数方程法.注意针对问题的特征选择合适的方法.‎ ‎9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据三视图可以得到几何体为个圆柱和一个三棱锥组合而成，分别计算各自体积即可.‎ 详解：几何体为如图所示的组合体，它由个圆柱和一个底面是等腰直角三角形的三棱锥组成，其体积为，故选D.‎ 点睛：本题考察三视图，要求依据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的对应关系.‎ ‎10．规定：对任意的各位数字不全相同的三位数，若将各位数字按照从大到小、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“和谐数”；若将各位数字按照从小到大、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“新时代数”.如图，若输入的，则输出的为 （ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：从流程图上看，算法是计算两个数的差，只要两个数的差为就终止循环，输出，因此只要逐步计算差可得的值.‎ 详解：执行第一次判断时，；执行第二次判断时，；执行第三次判断时，，此时，故选B.‎ 点睛：本题考查流程图，要求能看懂流程图并能进行一些简单的计算，解决此类问题时应注意在流程图中选择一个点（如此题中的判断前），逐步计算各变量在此点处的值，再对照判断条件决定是否终止循环.‎ ‎11．若直线被圆所截得的弦长为6，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析： 先求出圆的半径为，因此直线必过圆心，故，所以，利用基本不等式可求的最小值.‎ 详解：圆心为，半径为，因此弦长为，故直线过圆心，所以.‎ 又，‎ 所以，当且仅当，时等号成立，‎ 故的最小值为.故选D.‎ 点睛：二元等式或不等式条件下的二元代数式的最值问题，可用基本不等式来求解，但需要对原有代数式适当变形，凑成和为定值或积为定值的代数结构，注意需要验证等号成立的条件是否满足.‎ ‎12．定义在上的函数满足，对任意的，且，均有.若关于的不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据为偶函数可把原不等式化成，再根据得在上是增函数，故在上是减函数，从原不等式可进一步化为在上恒成立，参变分离后得在上恒成立，利用导数分别求两个函数的最大值、最小值即可.‎ 详解：因为，故为上的偶函数且原不等式可化为① ，‎ 又不妨设，则，‎ 故在上是增函数，所以在上是减函数，‎ 故①可化为在上恒成立，‎ 所以在上恒成立，‎ 也就是在上恒成立.‎ 令，则，‎ 当时，，故为增函数；‎ 当时，，故为减函数，所以.‎ 令，则，‎ 当时，，故为减函数，所以.‎ 综上，，故选A.‎ 点睛：函数的单调性可用不同的代数形式来体现：如在区间上，当，总有（或），则在区间上是增函数.另外，不等式在上恒成立等价于在上恒成立，而在上恒成立等价于在上恒成立或在在上恒成立.‎ 二、填空题 ‎13．函数的值域是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据自变量的范围求的取值范围即可．‎ 详解：因为，所以，故，故的值域为．‎ 点睛：本题考察函数值域的求法，属于基础题．‎ ‎14．函数是定义在上的奇函数，且恒有，则___．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】分析：根据得到的周期为且，故． ‎ 详解：，故是周期函数且周期为，‎ 故，又，‎ 而，所以，故． ‎ 点睛：一般地，若（），则为周期函数且周期为；若，则为周期函数且周期为．‎ ‎15．重庆一中开展的“第十届校园田径运动会”中，甲、乙、丙、丁四位同学每人参加了一个项目，且参加的项目各不相同，这个四个项目分别是：跳高、跳远、铅球、跑步.下面是关于他们各自参加的活动的一些判断：‎ ‎①甲不参加跳高，也不参加跳远；②乙不参加跳远，也不参加铅球；‎ ‎③丙不参加跳高，也不参加跳远；④如果甲不参加跑步，则丁也不参加跳远.‎ 已知这些判断都是正确的，则乙参加了__________．‎ ‎【答案】跳高 ‎【解析】分析：就甲是否参加跑步分类讨论即可．‎ 详解：如果甲参加跑步，则乙参加跳高，丙参加铅球，丁参加跳远；如果甲不参加跑步，则甲参加铅球，丙参加跑步，乙参加跳高，丁参加跳远，与④矛盾．故乙参加了跳高．‎ 点睛：本题为推理题，分析时应关注关键语句，如本题中的“如果甲不参加跑步，则丁也不参加跳远.”‎ ‎16．设函数，若函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围是__．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：因当时，，故只要考虑在上有一个零点，注意此时为减函数且，故由 可得的取值范围．‎ 详解：因为当，，故在上没有零点，所以在有且仅有一个零点．‎ 又当时，，所以，故．‎ 点睛：判断函数的零点个数，应先考虑函数的单调性、函数的极值等，必要时需刻画函数的图像，注意考虑函数图像的渐进线．‎ 三、解答题 ‎17．在中，角的对边分别为，其面积为.已知.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求的周长.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】分析：（1）利用余弦定理和面积的计算公式得到的值即可.‎ ‎（2）由面积及（1）的可求得，再根据余弦定理求出后可求周长.‎ 详解：（1）‎ ‎，‎ ‎∴.又∵，∴.‎ ‎（2），由余弦定理得，，‎ 所以，的周长为.‎ 点睛：三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.‎ ‎（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；‎ ‎（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；‎ ‎（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.‎ ‎18．我校高二年级共2000名学生，其中男生1200人.为调查学生们的手机使用情况，采用分层抽样的方法，随机抽取100位学生每周平均使用手机上网时间的样本数据（单位：小时）.根据这100个数据，得到学生每周平均使用手机上网时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间分别为.‎ ‎（1）应收集男生、女生样本数据各多少人？‎ ‎（2）估计我校高二年级学生每周平均使用手机上网时间超过4小时的概率.‎ ‎（3）将平均每周使用手机上网时间在内定义为“长时间使用手机”，在内定义为“短时间使用手机”.在样本数据中，有25名学生不近视.请完成下列2×2列联表，并判断是否有99.5%的把握认为“学生每周使用手机上网时间与近视程度有关”.‎ 近视 不近视 合计 长时间使用手机上网 短时间使用手机上网 ‎15‎ 合计 ‎25‎ 附：‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎【答案】(1)60人，40人，(2)0.75(3) 有99.5%的把握认为“学生每周使用手机上网时间与近视程度有关”.‎ ‎【解析】分析：（1）高二年级男女生之比为，故按比例抽取的男生人数为，女生人数为.‎ ‎（2）用样本中的频率代替概率，计算上网时间小于4的频率（也就是概率）可得上网时间不少于4小时的概率.‎ ‎（3）根据（2）的概率得到百人中长时间上网的人数为，从而可得表中缺省的各数据.通过计算的值来判断使用手机上网时间与近视的相关程度.‎ 详解：（1）男生人数：（人），女生人数：（人）；‎ ‎（2）学生每周平均使用手机上网时间超过4小时的概率 ‎；‎ ‎（3）由（2）问可知，的人数为75人，的人数为25人.则2×2列联表如下：‎ 近视 不近视 合计 长时间使用手机上网 ‎65‎ ‎10‎ ‎75‎ 短时间使用手机上网 ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ ‎，‎ 故有的把握认为“学生每周使用手机上网时间与近视程度有关”.‎ 点睛：（1）分层抽样就是按比例抽样，而系统抽样是先分组再按规则抽取.‎ ‎（2）通过频率分布直方图计算频率时，注意频率是矩形的高与组距的乘积.‎ ‎（3）两类变量的相关程度取决于的大小.‎ ‎19．如图，在四棱锥中，底面是正方形，面，点为线段上异于的点，连接，并延长和交于点，连接.‎ ‎（1）求证：面面；‎ ‎（2）若三棱锥的体积为2，求的长度.‎ ‎【答案】(1)见解析(2) ‎ ‎【解析】分析：（1）由平面可以得到，从而可证平面，由此即得面面垂直.‎ ‎（2），注意到平面的距离为，从而利用体积得到的面积，也就得到了的长度，再根据三角形相似得到的长，在直角三角形中根据勾股定理得到的长.‎ 详解：（1）因为面面，所以，‎ 又因为四边形是正方形，所以，又，‎ 所以面，又面，所以面面；‎ ‎（2）因为.‎ 又因为，则，‎ 于是在中，.‎ 点睛：面面垂直的判定可归结为线面垂直，证明时注意线线垂直、线面垂直及面面垂直关系的转化.三棱锥体积的计算应注意选择合适的底面，以顶点到该面的距离容易计算为宜.‎ ‎20．已知椭圆的焦距为，且长轴与短轴的比为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）椭圆的上、下顶点分别为，点是椭圆上异于的任意一点，轴于点，，直线与直线交于点，点为线段的中点，点为坐标原点，求证：恒为定值，并求出该定值.‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】分析：（1）根据题设条件直接得到，再根据长短轴的比得到的值.‎ ‎（2）可设，则由得到的坐标，再根据直线的方程得到坐标，通过中点坐标公式得到的坐标，最后计算并利用在椭圆上化简该式可得定值.‎ 详解：（1）由题意，所以椭圆方程为；‎ ‎（2）设点，则由题意.‎ 因为点在椭圆上，所以，‎ 由（1）知，，所以，‎ 令，则点.‎ 又∵，∴.‎ 于是，‎ ‎ ，所以，恒为定值.‎ 点睛：对于圆锥曲线中的定点定值问题，我们可通过设出椭圆上动点的坐标并用它来表示目标关系式，最后利用动点的横纵坐标满足的关系式化简前者得到定点或定值.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若函数有两个极值点，且.‎ ‎①求的取值范围；‎ ‎②求证：.‎ ‎【答案】(1) (2) ①，②见解析 ‎【解析】分析：（1）求出，它是切线的斜率，利用点斜式写出切线方程.‎ ‎（2）根据得有两个极值点等价于在有两个不同的根，利用判断式大于零得到的取值范围.要证明，需证明，但，故只要证明 在上恒成立，可令 ，通过导数讨论其单调性即可.‎ 详解：（1）当时，，则，‎ ‎∴，‎ ‎∴在点处的切线方程为，即；‎ ‎（2）①函数的定义域为，且，‎ 因为函数有两个极值点，所以有两个不同的正实根，‎ ‎∴有两个不同的正实根，‎ ‎∴，‎ 即的取值范围是.‎ ‎②由题意，的两根为，由韦达定理，，‎ 其中，‎ 于是 ，‎ 令，则在上恒成立，‎ 即函数在上为减函数，‎ 又因为，所以，即.‎ 点睛：曲线的切线的斜率是函数在切点横坐标处的导数.与函数极值的相关的不等式，往往需要利用极值点满足的方程消去不等式中的参数，再通过构建新函数来证明不等式成立.‎ ‎22．（选修4-4：极坐标与参数方程）‎ 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线相交于两点，求的面积.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】分析：（1）把曲线的极坐标方程化成，利用可得其直角坐标方程.‎ ‎（2）把直线的参数方程改写为，利用的几何意义求出的长度，再把直线的参数方程化为普通方程，计算到直线的距离后可计算的面积.‎ 详解：（1）因为，‎ 所以曲线的直角坐标方程为；‎ ‎（2）将直线的参数方程（为参数）代入曲线的直角坐标方程，‎ 得，设两点对应的参数分别为，则，‎ 于是，‎ 直线的普通方程为，则原点到直线的距离，‎ 所以.‎ 点睛：极坐标方程转为直角坐标方程的关键是利用公式，必要时需要对极坐标方程变形使得方程中尽量出现.另外在计算弦长时注意利用直线的参数方程 （为直线的倾斜角，为参数）来简化计算，因为的几何意义是、之间的距离.‎ ‎23．（选修4-5：不等式选讲）‎ 已知函数，其中.‎ ‎（1）当时，求关于的不等式的解集；‎ ‎（2）若对任意的，都有，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】分析：（1）利用零点分段讨论可得不等式的解.‎ ‎（2）因为对任意的，都有，使得成立，故的值域为的子集，故可求得实数的取值范围.‎ 详解：（1）当时，，‎ 由得或或，解得或，‎ 所以，解集为；‎ ‎（2）设，则由题意，‎ 又∵，‎ ‎∴，解得，‎ 因此，实数的取值范围是.‎ 点睛：含绝对值符号的不等式，通常可通过讨论绝对值内代数式的符号来求解不等式（也就是零点分段讨论法）.对于形如“对任意的，都有，使得成立”题设条件，要能合理转化两个函数的值域的关系，类似地，还有“对任意的，都有唯一的，使得成立”，它可转化的值域是的值域的子集且是单调函数.‎