2017-2018学年福建省福建师范大学第二附属中学高二上学期期末考试数学（理）试题 Word版

2017-2018学年福建省福建师范大学第二附属中学高二上学期期末考试数学（理）试题 Word版

福建师大二附中2017-2018学年第一学期高二期末考 数学理科试卷 ‎ （满分150分，完卷时间：150分钟）‎ 命题人 高一集备 审核人 高一集备 班级 姓名 座号 ‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. ‎“”是的（　　）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 过点（1，1）的抛物线y=ax2的焦点坐标为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 3. 与向量=（1，3，-2）平行的一个向量的坐标是（　　）‎ A. （，1，1） B. （-，-，1） C. （-，，-1） D. （，-3，-2）‎ 4. 已知M、N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线MN上，且MP=2PN，设向量,，，则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 5. 原命题：“设a，b，c∈R，若a＞b，则ac2＞bc‎2”‎，在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（　　）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 4‎ 6. 若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则a的值为（　　）‎ A. 9 B. ‎6 ‎C. 3 D. 2‎ 7. 方程+=1（θ∈R）所表示的曲线是（　　）‎ A. 焦点在x轴上的椭圆 B. 焦点在y轴上的椭圆 C. 焦点在x轴上的双曲线 D. 焦点在y轴上的双曲线 1. 已知=（3，-2，-3），=（-1，x-1，1），且与的夹角为钝角，则x的取值范围是（　　）‎ A. （-2，+∞） B. （-2，）∪（，+∞） C. （-∞，-2） D. （，+∞）‎ 2. 若双曲线C：-y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上一点，满足的点P依次记为P1、P2、P3、P4，则四边形P1P2P3P4的面积为（　　）‎ A. B. 2 C. D. 2‎ 3. 如图，正方体ABCD-A1B‎1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且AM=，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是（　　） A. 圆 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 直线 4. 已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（　　）‎ A. B. C. 3 D. 2‎ 5. 已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|＞|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则的最小值为（　　）‎ A. B. ‎3 ‎C. 6 D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 6. 以双曲线的右焦点为焦点，顶点在原点的抛物线的标准方程是______．‎ 7. 命题“∃x∈Z，x2+x+m＜‎0”‎的否定是______．‎ 8. 已知A（1，0，0），B（0，-1，1），与的夹角为120°，则λ=______．‎ 9. 下列关于圆锥曲线的命题：其中真命题的序号______ ．（写出所有真命题的序号）． ①设A，B为两个定点，若|PA|-|PB|=2，则动点P的轨迹为双曲线； ②设A，B为两个定点，若动点P满足|PA|=10-|PB|，且|AB|=6，则|PA|的最大值为8； ③方程2‎ x2-5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线-=1与椭圆有相同的焦点．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）‎ 1. 已知命题p：“∃x∈R，2x2+（m-1）x+≤‎0”‎，命题q：“曲线C1：+=1表示焦点在x轴上的椭圆”．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围． ‎ 2. 如图，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2， （Ⅰ）求证：AC∥平面BEF； （Ⅱ）求二面角A-FD-B的正切值； （Ⅲ）求点D到平面BEF的距离．‎ ‎ ‎ 3. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B‎1C1D1中，点E是棱AB上的动点，设λ= （1）求证：DA1⊥ED1 （2）若直线DA1与平面CED1所成角为30°，求λ的值 （3）当点E在棱AB上移动时，是否存在某个确定的位置使得平面A1DCB1与平面CED1所成二面角为60°，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． ‎ 4. 已知椭圆的中心在原点，焦点为，且离心率 .‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求以点为中点的弦所在的直线方程． ‎ 1. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点（在x轴上方），连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，设=λ． （1）若点P的坐标为 （1，），且△PQF2的周长为8，求椭圆C的方程； （2）若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率e∈[，]，求实数λ的取值范围． ‎ 2. 已知抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），抛物线的焦点到直线l：y=2x+2的距离为． （Ⅰ）求抛物线C的方程； （Ⅱ）设点R（x0，2）在抛物线C上，过点Q（1，1）作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B，若直线AR，BR分别交直线l于M，N两点，求|MN|最小时直线AB的方程． ‎ 福建师范大学第二附属中学高二（理）上期末考试卷 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. ‎“”是的（　　）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】解：⇒，反之不成立，例如取α=-2π． ∴“”是的充分不必要条件． 故选：A． ⇒，反之不成立，例如取α=-2π．即可判断出结论． 本题考查了简易逻辑的判定方法、三角函数求值、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． ‎ 2. 过点（1，1）的抛物线y=ax2的焦点坐标为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：点（1，1）在抛物线y=ax2的图象上，可得a=1． 抛物线y=x2的焦点坐标为：（0，）． 故选：C． 利用抛物线经过的点，推出a，然后化简抛物线方程为标准方程，求解焦点坐标即可． 本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力． ‎ 3. 与向量=（1，3，-2）平行的一个向量的坐标是（　　）‎ A. （，1，1） B. （-，-，1） C. （-，，-1） D. （，-3，-2）‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：对于B：=-（1，3，-2）=-‎ ‎， 故选：B． 利用向量共线定理、坐标运算即可得出． 本题考查了向量共线定理、坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． ‎ 1. 已知M、N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线MN上，且MP=2PN，设向量=，=，=，则=（　　）‎ A. ++ B. ++ C. ++ D. ++ ‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：如图所示， =+，=（+），=，=-，=． ∴=+ =+ =+（-） =+ =×（+）+× =++ =++‎ ‎． 故选：C． 利用空间向量的三角形法则、平行四边形法则，把用、和线性表示即可． 本题考查了空间向量的线性运算问题，考查了数形结合的应用问题，是基础题目． ‎ 1. 原命题：“设a，b，c∈R，若a＞b，则ac2＞bc‎2”‎，在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（　　）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：逆命题：设a，b，c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b；∵由ac2＞bc2可得c2＞0，∴能得到a＞b，所以该命题为真命题； 否命题：设a，b，c∈R，若a≤b，则ac2≤bc2；∵c2≥0，∴由a≤b可以得到ac2≤bc2，所以该命题为真命题； 因为原命题和它的逆否命题具有相同的真假性，所以只需判断原命题的真假即可； ∵c2=0时，ac2=bc2，所以由a＞b得到ac2≥bc2，所以原命题为假命题，即它的逆否命题为假命题； ∴为真命题的有2个． 故选C． 先写出原命题的逆命题，否命题，再判断真假即可，这里注意c2的取值．在判断逆否命题的真假时，根据原命题和它的逆否命题具有相同的真假性判断原命题的真假即可． 考查原命题，逆命题，否命题，逆否命题的概念，以及原命题和它的逆否命题的真假关系． ‎ 2. 若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则a的值为（　　）‎ A. 9 B. ‎6 ‎C. 3 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：焦点在x轴上的椭圆，可得c=， 离心率为， 可得：‎ ‎， 解得a=3． 故选：C． 利用椭圆的离心率，列出方程求解即可． 本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力． ‎ 1. 方程+=1（θ∈R）所表示的曲线是（　　）‎ A. 焦点在x轴上的椭圆 B. 焦点在y轴上的椭圆 C. 焦点在x轴上的双曲线 D. 焦点在y轴上的双曲线 ‎【答案】C ‎【解析】解：∵-1≤sinθ≤1， ∴2≤2sinθ+4≤6，-4≤sinθ-3≤-2， ∴方程+=1（θ∈R）所表示的曲线是焦点在x轴上的双曲线， 故选C． 根据-1≤sinθ≤1，可得1≤2+sinθ≤3，-4≤sinθ-3≤-2，即可得出结论． 本题考查方程表示的几何意义，考查双曲线的方程，考查正弦函数的图象和性质，属于基础题． ‎ 2. 已知=（3，-2，-3），=（-1，x-1，1），且与的夹角为钝角，则x的取值范围是（　　）‎ A. （-2，+∞） B. （-2，）∪（，+∞） C. （-∞，-2） D. （，+∞）‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：∵与的夹角为钝角， ∴cos＜，＞＜0．且与不共线 ∴•＜0．且（3，-2，-3）≠λ（-1，x-1，1） ∴-3-2（x-1）-3＜0．且x≠ ∴x的取值范围是（-2，）∪（，+∞）． 故选B ‎． 根据两个向量的夹角是钝角，则两个向量的夹角的余弦小于零，从而得到两个向量的数量积小于零，用坐标形式表示向量的数量积，解不等式，得到变量的范围． 两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定． ‎ 1. 若双曲线C：-y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上一点，满足=0的点P依次记为P1、P2、P3、P4，则四边形P1P2P3P4的面积为（　　）‎ A. B. 2 C. D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：双曲线C：-y2=1的a=2，b=1，c==， 焦点坐标为（-，0），（，0）， 满足=0的点P， 设P（x，y），则（--x，-y）•（-x，-y）=x2-5+y2=0， 即有圆x2+y2=5， 联立双曲线的方程双曲线C：-y2=1， 可得交点分别为P1（，），P2（-，）， P3（-，-），P4（，-）， 它们构成一个矩形，长为，宽为， 面积为×=． 故选：C． 求出双曲线的焦点坐标，运用向量数量积的坐标表示，可得P的轨迹方程，联立双曲线的方程，求出交点，可得它们构成矩形，求出长和宽，即可得到所求面积． 本题考查双曲线的方程和性质，主要是焦点坐标和方程的运用，考查解方程的能力，以及四边形面积的计算，属于基础题． ‎ 2. 如图，正方体ABCD-A1B‎1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且AM=，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是（　　） ‎ A. 圆 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 直线 ‎【答案】B ‎【解析】解：如图所示：正方体ABCD-A1B‎1C1D1中， 作PQ⊥AD，Q为垂足，则PQ⊥面ADD‎1A1， 过点Q作QR⊥D‎1A1，则D‎1A1⊥面PQR， PR即为点P到直线A1D1的距离， 由题意可得PR2-PQ2=RQ2=1． 又已知PR2-PM2=1， ∴PM=PQ， 即P到点M的距离等于P到AD的距离， 根据抛物线的定义可得，点P的轨迹是抛物线， 故选B． 作PQ⊥AD，作QR⊥D‎1A1，PR即为点P到直线A1D1的距离，由勾股定理得PR2-PQ2=RQ2=1，又已知PR2-PM2=1，故PQ=PM，即P到点M的距离等于P到AD的距离． 本题考查抛物线的定义，求点的轨迹方程的方法，体现了数形结合的数学思想，得到PM=PQ是解题的关键． ‎ 1. 已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（　　）‎ A. B. C. 3 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c， 由椭圆和双曲线的定义可知， 设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F‎1F2|=‎2c， 椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2 ∵∠F1PF2=， ‎ ‎∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2-2r1r2cos，① 在椭圆中，①化简为即‎4c2=‎4a2-3r1r2， 即，② 在双曲线中，①化简为即‎4c2=‎4a12+r1r2， 即，③ 联立②③得，=4， 由柯西不等式得（1+）（）≥（1×+）2， 即（）= 即，d当且仅当时取等号， 法2：设椭圆的长半轴为a1，双曲线的实半轴为a2，（a1＞a2），半焦距为c， 由椭圆和双曲线的定义可知， 设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F‎1F2|=‎2c， 椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2 ∵∠F1PF2=， ∴由余弦定理可得‎4c2=（r1）2+（r2）2-2r1r2cos=（r1）2+（r2）2-r1r2， 由，得， ∴=， 令m===， 当时，m， ∴， 即的最大值为， 法3：设PF1|=m，|PF2|=n，则， 则a1+a2=m， 则=， 由正弦定理得=‎ ‎， 即=sin（120°-θ）≤= 故选：A 根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论． 本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大． ‎ 1. 已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|＞|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则的最小值为（　　）‎ A. B. ‎3 ‎C. 6 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：由题意可知：F‎1F2=F2P=‎2c， 又∵F1P+F2P=‎2a1，F1P-F2P=‎2a2， ∴F1P+‎2c=‎2a1，F1P‎-2c=‎2a2， 两式相减，可得：a1-a2=‎2c， ∵==， ∴===4+2+， ∵2+≥2=2，当且仅当时等号成立， ∴的最小值为6， 故选：C． 通过图象可知F‎1F2=F2P=‎2c，利用椭圆、双曲线的定义及离心率公式可得的表达式，通过基本不等式即得结论． 本题考查椭圆的简单性质，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题． ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 2. 以双曲线的右焦点为焦点，顶点在原点的抛物线的标准方程是______．‎ ‎【答案】y2=8x ‎【解析】解：∵双曲线的方程为， ∴a2=3，b2=1，得c=2， ∴双曲线的右焦点为F（2，0），也是抛物线的焦点 设抛物线方程为y2=2px，（p＞0），则=2，得2p=8 ∴抛物线方程是y2=8x． 故答案为：y2=8x． 根据双曲线方程，算出它的右焦点为F（2，0），也是抛物线的焦点．由此设出抛物线方程为y2=2px，（p＞0），结合抛物线焦点坐标的公式，可得p=4，从而得出该抛物线的标准方程． 本题给出抛物线焦点与已知双曲线的右焦点重合，求抛物线的标准方程，着重考查了双曲线、抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题． ‎ 1. 命题“∃x∈Z，x2+x+m＜‎0”‎的否定是______．‎ ‎【答案】∀x∈R，使x2+x+m≥0‎ ‎【解析】解：∵命题“∃x∈Z，x2+x+m＜‎0”‎是特称命题 ∴否定命题为：∀x∈R，使x2+x+m≥0 故答案为：∀x∈R，使x2+x+m≥0． 根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可． 本题主要考查全称命题与特称命题的转化，属基础题． ‎ 2. ‎（理）已知A（1，0，0），B（0，-1，1），+λ与的夹角为120°，则λ=______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：+λ=（1，0，0）+λ（0，-1，1）=（1，-λ，λ）． ∵+λ与的夹角为120°， ∴cos120°==， 化为，∵λ＜0， ‎ ‎∴λ=． 故答案为：． 利用向量的夹角公式即可得出． 本题考查了向量的夹角公式，属于基础题． ‎ 1. 下列关于圆锥曲线的命题：其中真命题的序号______ ．（写出所有真命题的序号）． ①设A，B为两个定点，若|PA|-|PB|=2，则动点P的轨迹为双曲线； ②设A，B为两个定点，若动点P满足|PA|=10-|PB|，且|AB|=6，则|PA|的最大值为8； ③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线-=1与椭圆有相同的焦点．‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】解：①根据双曲线的定义可知，满足|PA|-|PB|=2的动点P不一定是双曲线，这与AB的距离有关系，所以①错误． ②由|PA|=10-|PB|，得|PA|+|PB|=10＞|AB|，所以动点P的轨迹为以A，B为焦点的图象，且‎2a=10，‎2c=6，所以a=5，c=3，根据椭圆的性质可知，|PA|的最大值为a+c=5+3=8，所以②正确． ③方程2x2-5x+2=0的两个根为x=2或x=，所以方程2x2-5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率，所以③正确． ④由双曲线的方程可知，双曲线的焦点在x轴上，而椭圆的焦点在y轴上，所以它们的焦点不可能相同，所以④错误． 故正确的命题为②③． 故答案为：②③． ①利用双曲线的定义判断．②利用椭圆的定义判断．③利用椭圆和双曲线的离心率的取值范围判断．④利用双曲线和椭圆的方程和定义判断． 本题主要考查圆锥曲线的定义和性质，要求熟练掌握圆锥曲线的定义，方程和性质． ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）‎ 1. 已知命题p：“∃x∈R，2x2+（m-1）x+≤‎0”‎，命题q：“曲线C1：+=1表示焦点在x轴上的椭圆”．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】解：若p为真，则：， 解得：m≤-1或m≥3， 若q为真，则：， 解得：-4＜m＜-2或m＞4． ∵“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题， ∴p，q一真一假． 若p真q假，则：， 解得：3≤m≤4或-2≤m≤-1或m≤-4． 若p假q真，则： 解集为ϕ． 综上，实数m的取值范围为：3≤m≤4或-2≤m≤-1或m≤-4．‎ ‎【解析】若p为真，则△≥0，解得m范围；若q为真，则，解得m范围．由“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，可得p，q一真一假．解出即可． 本题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系、椭圆的标准的方程、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． ‎ 2. 如图，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2， （Ⅰ）求证：AC∥平面BEF； （Ⅱ）求二面角A-FD-B的正切值； （Ⅲ）求点D到平面BEF的距离．‎ ‎ ‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明：设AC∩BD=O，取BE中点G，连接FG，OG， ∴OG∥DE，且OG=DE． ∵AF∥DE，DE=2AF， ∴AF∥OG，且OG=AF， ∴四边形AFGO是平行四边形，FG∥OA． ∴FG⊂平面BEF，AO⊄平面BEF， ∴AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF． （2）解：∵正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°， ∴以D为原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DE为z轴，建立空间直角坐标系， ∵DE=DA=2AF=2， ∴B（2，2，0），E（0，0，2），F（2，0，1），D（0，0，0）， ∴=（0，-2，1），=（-2，-2，0）， 设平面BDF的法向量=（a，b，c），则， ∴=（-1，1，2）， ∵平面ADF的法向量（0，1，0）， ∴二面角A-FD-B的余弦值为，∴正切值为； （3）解：设平面BEF的法向量=（x，y，z），则， ‎ ‎∴=（1，1，2）， ∴点D到平面BEF的距离d==．‎ ‎【解析】（Ⅰ）设AC∩BD=O，取BE中点G，连接FG，OG，由已知条件推导出四边形AFGO是平行四边形，由此能够证明AC∥平面BEF． （Ⅱ）以D为原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DE为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面BDF的法向量、平面ADF的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A-FD-B的正切值； （Ⅲ）利用向量法能求出点D到平面BEF的距离． 本题考查直线与平面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查平面与平面所成角的正切值的求法，解题时要注意向量法的合理运用． ‎ 1. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B‎1C1D1中，点E是棱AB上的动点，设λ= （1）求证：DA1⊥ED1 （2）若直线DA1与平面CED1所成角为30°，求λ的值 （3）当点E在棱AB上移动时，是否存在某个确定的位置使得平面A1DCB1与平面CED1所成二面角为60°，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）证明：如图所示，建立空间直角坐标系， D（0，0，0），E（1，λ，0），A1（1，0，1），D1（0，0，1）． ∴=（1，0，1），=（-1，-λ，1）， ∴=-1+0+1=0， ∴．即：DA1⊥ED1． （2）解：C（0，1，0），=（1，λ-1，0），=（0，-1，1）．（0≤λ≤1）． 设平面CED1的法向量为=（x，y，z），则，即， 取=（1-λ，1，1）． ‎ ‎∵直线DA1与平面CED1所成角为30°， ∴sin30°===，化为λ2-6λ+5=0，解得λ=1或5． ∵0≤λ≤1， ∴λ=1． （3）解：假设当点E在棱AB上移动时，存在某个确定的位置使得平面A1DCB1与平面CED1所成二面角为60°． ∵AD1⊥平面A1DCB1，可取=（1，0，1）为平面A1DCB1的法向量． 由（2）可知：平面CED1的法向量为=（1-λ，1，1），∴cos60°==，又0≤λ≤1，解得λ=1． ∴当点E在棱AB上移动时，存在某个确定的位置点E即取B点时，使得平面A1DCB1与平面CED1所成二面角为60°．‎ ‎【解析】（1）如图所示，建立空间直角坐标系，可得：D（0，0，0），E（1，λ，0），A1（1，0，1），D1（0，0，1）．只要证明：=0即可； （2）设平面CED1的法向量为=（x，y，z），利用，可得．由于直线DA1与平面CED1所成角为30°，可得sin30°==，解出即可； （3）假设当点E在棱AB上移动时，存在某个确定的位置使得平面A1DCB1与平面CED1所成二面角为60°．由于AD1⊥平面A1DCB1，可取为平面A1DCB1的法向量． 由（2）可知：平面CED1的法向量为=（1-λ，1，1），利用cos60°=，解出即可． 本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、利用法向量夹角求空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题． ‎ 1. 已知椭圆的中心在原点，焦点为，且离心率 .‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求以点为中点的弦所在的直线方程．‎ ‎【答案】解：(1)设椭圆方程为，‎ 由已知，又，解得，所以，‎ 故所求方程为.‎ ‎(2)由题知直线的斜率存在且不为，‎ 设直线与椭圆相交代入椭圆方程得 作差得，即 得所以直线方程的斜率.‎ 故直线方程是 即.‎ ‎【解析】主要考查椭圆的标准方程和利用点差法求中点弦问题。利用设而不求得到斜率，从而求出直线方程。 ‎ 1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点（在x 轴上方），连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，设=λ． （1）若点P的坐标为 （1，），且△PQF2的周长为8，求椭圆C的方程； （2）若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率e∈[，]，求实数λ的取值范围．‎ ‎【答案】解：（1）∵F1，F2为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点， ∴PF1+PF2=QF1+QF2=‎2a，从而△PQF2的周长为‎4a． 由题意，得‎4a=8，解得a=2．   ∵点P的坐标为 （1，），∴+=1， 解得b2=3． ∴椭圆C的方程为+=1．  （2）∵PF2⊥x轴，且P在x轴上方，故设P（c，y0），y0＞0．设Q（x1，y1）． ∵P在椭圆上，∴+=1，解得y0=，即P（c，）． ∵F1（-c，0），∴=（‎-2c，-），=（x1+c，y1）． 由=λ，得‎-2c=λ（x1+c），-=λy1， 解得x1=-c，y1=-，∴Q（-c，-）． ∵点Q在椭圆上，∴（）2e2+=1， 即（λ+2）2e2+（1-e2）=λ2，（λ2+4λ+3）e2=λ2-1， ∵λ+1≠0，∴（λ+3）e2=λ-1，从而λ==-3． ∵e∈[，]，∴≤e2≤，即≤λ≤5． ∴λ的取值范围为[，5]．‎ ‎【解析】（1）由F1，F2为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点，利用椭圆的定义可得△PQF2的周长为‎4a．由点P的坐标为（1，），可得+=1，解出即可得出． （2）利用向量坐标运算性质、点与椭圆的位置关系即可得出． 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量坐标运算性质、点与椭圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题． ‎ 1. 已知抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），抛物线的焦点到直线l：y=2x+2的距离为． （Ⅰ）求抛物线C的方程； （Ⅱ）设点R（x0，2）在抛物线C上，过点Q（1，1）作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B，若直线AR，BR分别交直线l于M，N两点，求|MN|最小时直线AB的方程． ‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）抛物线的焦点为，，得p=2，或-6（舍去）； ∴抛物线C的方程为y2=4x； （Ⅱ）点R（x0，2）在抛物线C上； ∴x0=1，得R（1，2）； 设直线AB为x=m（y-1）+1（m≠0），，； 由得，y2-4my+‎4m-4=0； ∴y1+y2=‎4m，y1y2=‎4m-4； AR：=； 由，得，同理； ∴=； ∴当m=-1时，，此时直线AB方程：x+y-2=0．‎ ‎【解析】（Ⅰ）可以得到抛物线的焦点为，而根据点到直线的距离公式得到，而由p＞0即可得出p=2，从而得出抛物线方程为y2=4x； （Ⅱ）容易求出R点坐标为（1，2），可设AB：x=m（y-1）+1，‎ ‎，直线AB方程联立抛物线方程消去x可得到y2-4my+‎4m-4=0，从而有y1+y2=‎4m，y1y2=‎4m-4．可写出直线AR的方程，联立y=2x+2即可得出，而同理可得到，这样即可求出，从而看出m=-1时，|MN|取到最小值，并且可得出此时直线AB的方程． 考查抛物线的标准方程，抛物线的焦点坐标，以及点到直线的距离公式，曲线上的点的坐标和曲线方程的关系，过定点的直线方程的设法，以及直线的点斜式方程，韦达定理，弦长公式，复合函数的单调性，要清楚函数的单调性． ‎ 1.