2019-2020学年山东省泰安市高二上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年山东省泰安市高二上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年山东省泰安市高二上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．命题“”的否定是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可.‎ ‎【详解】‎ 因为全称命题的否定是特称命题，‎ 所以命题“”的否定是：“，使”，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关全称命题的否定的问题，涉及到的知识点有全称命题的否定是特称命题，属于简单题目.‎ ‎2．若双曲线的离心率为2，则其实轴长为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由双曲线方程求得，根据离心率和列方程组，解方程组求得的值，由此得到实轴的值.‎ ‎【详解】‎ 双曲线方程知，由离心率得，结合，解得，故实轴长.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查双曲线的几何性质，包括离心率、实轴等知识，考查了方程的思想.在题目给定的条件中，双曲线的方程是未知，给定；离心率的值给定，相当于给定的值；再结合双曲线中固有的条件，相当于两个未知数，两个方程以及，解方程可求得的值.值得注意的是，实轴长是而不是.‎ ‎3．等比数列的前n项和为，若，，成等差数列，则的公比为（ ）‎ A． B． C．或0 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】分别写出，，用表示出来，根据，，成等差数列化简求得.‎ ‎【详解】‎ 因为是等比数列 所以，，‎ 由，，成等差数列，即 即 即，解得：或（舍）‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 此题考查等差数列和等比数列的综合应用，根据题意代入式子进行计算即可，属于简单题目.‎ ‎4．已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】【详解】‎ 若△AF1B的周长为4,‎ 由椭圆的定义可知,,‎ ‎,,‎ ‎，‎ 所以方程为，故选A.‎ ‎【考点】椭圆方程及性质 ‎5．已知向量，，，则下列结论正确的是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．， ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知，可知，垂直。，可知.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，垂直。‎ 又，所以.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 此题考查根据向量坐标判断向量的平行和垂直，代入公式进行计算即可，属于简单题目.‎ ‎6．已知为数列的前n项和，，，那么　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出．‎ ‎【详解】‎ 时，，，可得：，化为．‎ 时，．‎ 数列从第二项起为等比数列，公比为2，首项为．‎ 那么．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎7．如图，在平行六面体中，AC与BD交于点M，设，，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据代入计算化简即可.‎ ‎【详解】‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 此题考查几何体中向量的表示，关键点对已知向量进行分解化简，属于简单题目.‎ ‎8．已知点A是抛物线的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据，即, 从而判断出当m取最大值时，取得最小值，即PA与抛物线相切与点P时取得，设直线PA的方程为代入联立通过求出k，求出P点坐标即可求出双曲线离心率.‎ ‎【详解】‎ 如图所示，准线，故 因为，所以, ‎ 当m取最大值时，取得最小值.‎ 当且仅当PA与抛物线相切与点P时取得.‎ 设直线PA的方程为，代入，可得，‎ 即 双曲线的实轴长为 双曲线的离心率为 故选：B ‎【点睛】‎ 此题考查抛物线的切线问题，关键点是通过m的最值转化为直线和抛物线相切，属于较易题目.‎ 二、多选题 ‎9．对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 ‎【答案】BD ‎【解析】（1）可举反例证明不正确.（2）因为成立，则.（3）为正数，为负数时不成立.（4）因为，则，所以.‎ ‎【详解】‎ A选项：，，但是，A不正确；‎ B选项：因为成立，则，那么，B正确；‎ C选项：，但是，C不正确；‎ D选项：因为，则，又，所以，D正确.‎ 故选：BD ‎【点睛】‎ 此题考查不等式比较大小，一般可通过特值法证伪判错，属于简单题目.‎ ‎10．已知ν为直线l的方向向量，,分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列选项中，正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】AB ‎【解析】法向量垂直于平面，根据两法向量的位置关系分别进行判断即可.‎ ‎【详解】‎ A选项，平面α，β不重合，所以平面α，β的法向量平行等价于平面α，β平行，正确； B选项，平面α，β不重合，所以平面α，β的法向量垂直等价于平面α，β垂直，正确； C选项，直线的方向向量平行于平面的法向量等价于直线垂直于平面，错误； D选项，直线的方向向量垂直于平面的法向量等价于直线平行于平面或直线在平面内，错误. 故选：AB ‎【点睛】‎ 此题考查空间向量在立体几何中的应用，注意线属于面的特殊情况，属于较易题目.‎ ‎11．设等差数列的公差为d，前n项和为，若，，，则下列结论正确的是（ ）‎ A．数列是递增数列 B．‎ C． D．中最大的是 ‎【答案】BCD ‎【解析】等差数列的单调性由公差决定，再将,代入，求解的取值范围和的最大项.‎ ‎【详解】‎ A选项：因为，则将.代入，，化简求得，即，数列是递减数列，不正确；‎ B选项：因为，正确；‎ C选项：因为，则将.代入，，化简求得，正确；‎ D选项：由可知.则在中存在自然数，使得.则就是 中的最大值.‎ ‎,解得.‎ 故中最大的是，正确.‎ 故选：BCD ‎【点睛】‎ 此题考查等差数列的函数性质，使用基本公式化简求解即可，属于较易题目。‎ ‎12．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（ ）‎ A．；方程的曲线是椭圆 B．；对不等式恒成立 C．设是首项为正数的等比数列，公比小于0；对任意的正整数n，‎ D．已知空间向量，，；向量a与b的夹角是 ‎【答案】ABC ‎【解析】分别求出每个选项的条件，逐一判断是否满足，p是q的必要不充分条件.‎ ‎【详解】‎ A选项：，方程的曲线是椭圆，则 即或，所以p是q的必要不充分条件，正确；‎ B选项：；对不等式恒成立，即不等式恒成立，则，所以p是q的必要不充分条件，正确；‎ C选项：是首项为正数的等比数列，公比小于0；对任意的正整数n，‎ ‎，所以当时，满足，但是，即充分不满足.反之若，则，因为，‎ 所以，即，必要性成立，所以p是q的必要不充分条件，正确；‎ D选项：；向量a与b的夹角是，a与b的夹角的余弦值，当时，，即，充分性满足；当向量a与b的夹角是时，，即，，必要性不满足，所以p是q的充分不必要条件，不正确.‎ 故选：ABC ‎【点睛】‎ 此题考查简易逻辑充分必要条件，关键点是求出两个条件再判断即可，属于较易题目.‎ 三、填空题 ‎13．焦点为(0,6)，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是______________．‎ ‎【答案】：‎ ‎【解析】由，得双曲线的渐近线为.设双曲线方程为，‎ ‎∴.∴－λ－2λ＝36，∴λ＝－12.‎ 故双曲线方程为 答案：‎ ‎14．________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知可知 ，两边同时除以 ，可得 ，所以 是以为首项，-1为公差的等差数列，所以 ，整理为 ，故填： .‎ ‎15．已知M为抛物线上一点，为该抛物线的焦点，O为坐标原点，若，，则____________，的面积为____________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】，则，画出图形, 根据求解即可。‎ ‎【详解】‎ 如图所示做出图像，过M作，由为该抛物线的焦点，得，则，所以。‎ ‎ ‎ ‎，‎ 设，则有 即 代入抛物线解析式得：，即 解得（舍）或者 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 此题考查抛物线上点到焦点距离时，一般通过定义转化为到准线的距离，属于较易题目。‎ ‎16．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，，平面平面，是的中点，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【详解】‎ 以O为坐标原点建立空间直角坐标系，‎ 设 ‎ 因此 ,设平面一个法向量为 ，取 ‎ 因此直线与平面所成角的正弦值是 四、解答题 ‎17．已知，证明：成立的充要条件是．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】根据题意得推出成立为充分条件，反之则为必要条件，然后分别化简证明即可.‎ ‎【详解】‎ 证明：①充分性：‎ ‎ ‎ ‎﹒‎ 成立 ‎②必要性：‎ 即 成立．‎ 综上，成立的充要条件是．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查简易逻辑充分必要条件证明，关键是弄清楚充分必要顺序关系，属于简单题目。‎ ‎18．已知不等式．‎ ‎（1）若对不等式恒成立，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若对不等式恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）讨论当时不是二次函数，成立；当时为二次函数要使在R上恒成立，则开口只能向下，代入计算即可。（2）通过，时为二次函数开口方向分别进行讨论即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）①当时，，显然恒成立．‎ ‎②当时，对恒成立，只需满足 解得 ‎ 综上，实数m的取值范围是．‎ ‎（2）令，‎ ‎①当时，，显然恒成立．‎ ‎②当时，的图象开口向上，对称轴为，‎ 若对恒成立，只需满足．‎ 即 ，‎ ‎.‎ ‎③当时，的图象开口向下，对称轴为 若对恒成立，只需满足，即，‎ 显然成立 ‎．‎ 综上，实数m的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查二次函数恒成立问题，关键点通过分类讨论思想解决问题，属于较易题目。‎ ‎19．在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．‎ 已知等差数列的公差为，前n项和为，等比数列的公比为q，且，____________．‎ ‎（1）求数列，的通项公式．‎ ‎（2）记，求数列，的前n项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】三个条件都可以填入求解，总体思想就是代入通过基本公式求出首项，公差，公比即可，（2）数列是一个等差乘以等比的式子求和，用错位相减法即可解决。‎ ‎【详解】‎ 方案一：选条件①‎ ‎（1）‎ 解得或（舍去）‎ ‎（2）‎ 方案二：选条件②‎ ‎（1）‎ ‎ ‎ 解得或（舍去）‎ ‎ ‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 方案三：选条件③‎ 解得或（舍去）‎ ‎（2）‎ ‎【点睛】‎ 此题考查等差等比数列综合应用，掌握乘公比错位相减求和的题型特点，属于较易题目。‎ ‎20．如图所示，平面ABCD，四边形AEFB为矩形，，，．‎ ‎（1）求证：平面ADE；‎ ‎（2）求平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】（1）根据，，从而证明平面平面ADE，从而平面ADE。（2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的空间坐标，根据向量法求解即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵四边形ABEF为矩形 又平面ADE，AE平面ADE 平面ADE 又，‎ 同理可得：平面ADE 又，BF，BC 平面BCF ‎∴平面平面ADE 又CF平面BCF 平面ADE ‎（2）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则 ‎，， ‎ ‎,,‎ 设是平面CDF的一个法向量，则 即 令，解得 又是平面AEFB的一个法向量，‎ ‎∴平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 此题考查立体几何线面平行证明和二面角求法，线面平行可先证面面平行得到，属于简单题目。‎ ‎21．某工厂生产并销售某高科技产品，已知每年生产该产品的固定成本是800万元，生产成本e（单位；万元）与生产的产品件数x（单位：万件）的平方成正比；该产品单价p（单位：元）与生产的产品件数x满足（b为常数），已知当该产品的单价为300元时，生产成本是1800万元，当单价为320元时，生产成本是200万元，且工厂生产的产品都可以销售完．‎ ‎（1）每年生产该产品多少万件时，平均成本最低，最低为多少?‎ ‎（2）若该工厂希望年利润不低于8200万元，则每年大约应该生产多少万件该产品?‎ ‎【答案】（1）每年生产该产品20万件时，平均成本最低，最低为80万元．（2）不小于50万件，不大于60万件 ‎【解析】（1）先求出成本，单价两者分别与生产的产品件数的函数关系式，再写出总成本函数关系，进而求得平均成本函数关系式，根据均值不等式求解即可.（2）写出利润和产品数量的函数关系，化简后为二次函数，转化为解二次不等式.‎ ‎【详解】‎ 设．‎ 当单价为300元时，设产品件数为则 ‎ ①‎ 当单价为320元时，设产品件数为，则 ‎ ②‎ 联立①②解得，‎ ‎，‎ ‎（1）设该工厂生产x万件产品的总成本为y万元，平均成本为s万元，则 当且仅当，即时，s取得最小值，最小值为80．‎ ‎∴每年生产该产品20万件时，平均成本最低，最低为80万元．‎ ‎（2）设该工厂生产x万件产品时的利润为t万元，则 令 解得 ‎∴若该工厂年利润不低于8200万元，则每年生产的产品数应不小于50万件，不大于60万件．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查函数的实际应用，关键是将实际问题转化为函数模型，属于较易题目.‎ ‎22．设椭圆为左右焦点,‎ 为短轴端点,长轴长为4,焦距为,且,的面积为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程 ‎(Ⅱ)设动直线椭圆有且仅有一个公共点,且与直线相交于点.试探究:在坐标平面内是否存在定点,使得以为直径的圆恒过点?若存在求出点的坐标,若不存在.请说明理由.‎ ‎【答案】（1） （2）存在定点P(1,0)‎ ‎【解析】（Ⅰ）由椭圆长轴长为4，焦距为2c，且b＞c，△BF1F2的面积为，列方程组，求出a，b，c，得椭圆方程．（Ⅱ）将直线l方程与椭圆方程联立，由直线与椭圆有且只有一个公共点，求出M，由，得N（4，4k+m）．假设存在定点P满足条件，由图形对称性知，点P必在x轴上．设P（x1，0），由，得（4x1﹣4）+x12﹣4x1+3＝0，由此可求出满足条件的定点.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意知，解得：，故椭圆C的方程是． ‎ ‎(2)由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0．‎ 因为动直线l与椭圆C有且只有一个公共点M(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，‎ 即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.()‎ 此时x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以M(－‎ 由得N(4,4k＋m)．‎ 假设平面内存在定点P满足条件，由图形对称性知，点P必在x轴上．‎ 设P(x1,0)，则对满足()式的m、k恒成立．‎ 因为＝(－，＝(4－x1,4k＋m)，由，‎ 得-＋－4x1＋x＋＋3＝0，‎ 整理，得(4x1－4)＋x－4x1＋3＝0.() ‎ 由于()式对满足()式的m，k恒成立，所以解得x1＝1.‎ 故存在定点P(1,0)，使得以MN为直径的圆恒过点M.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆标准方程的求法，考查是否存在以线段为直线的圆恒过定点的判断与求法，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．‎