江西省南昌市南昌县莲塘第一中学2020届高三上学期12月月考数学（文）试题

江西省南昌市南昌县莲塘第一中学2020届高三上学期12月月考数学（文）试题

莲塘一中2020届高三12月质量检测文科数学试卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合的补集运算，得到，再由交集运算，得到，得到答案.‎ ‎【详解】因为集合，集合，‎ 所以，‎ 而集合，‎ 所以，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查集合的补集运算和交集运算，属于简单题.‎ ‎2.已知复数满足，则（ ）‎ A. B. 5 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎,故选.‎ ‎3.给出下列四个命题:①命题，，则,使；②中，若，则；③已知向量,，若,则与的夹角为钝角.其中正确命题的个数为（ ）‎ A. 0 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据真假命题判断的基本概念，逐一分析四个答案结论的真假，可得答案．‎ ‎【详解】①命题，，由全称命题与特称命题的否定，则，使；①是正确命题；‎ ‎②中，由正弦定理知，若成立，则有，，，，②是正确命题；‎ ‎③已知向量，，若，即，，则与的夹角为钝角或平角．③是错误命题；‎ 其中正确命题的个数为2个，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了全称命题与特称命题的之间的关系，三角函数性质和正弦定理，向量的数量积定义的应用，属于中档试题.‎ ‎4.已知向量,，若与共线,则实数的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎ 由，，则，‎ ‎ 因为与共线，所以，解得，故选B.‎ ‎5.已知为等比数列的前项和，，，则　　‎ A. B. C. D. 11‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意易得数列的公比代入求和公式计算可得．‎ ‎【详解】设等比数列公比为q，，‎ 则，解得，‎ ‎，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的求和公式和通项公式，求出数列的公比是解决问题的关键，属基础题．‎ ‎6.函数（，且）的图象恒过定点，且点在角的终边上，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令对数的真数等于1，求得x、y的值，可得定点A的坐标，再利用任意角的三角函数的定义求得，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，求得的值．‎ ‎【详解】对于函数且，令，求得，，‎ 可得函数的图象恒过点，且点A在角的终边上，‎ ‎，则，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，属于基础题．‎ ‎7.三棱锥S－ABC及其三视图中正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图，得到平面，且底面为等腰三角形，然后根据三视图得到相应线段的长度，利用勾股定理，得到的长度.‎ ‎【详解】由已知中的三视图可得平面，‎ 且底面为等腰三角形．‎ 在中，，边上的高为，‎ 所以，‎ 在中，由，‎ 可得.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查根据三视图求线段长度，属于简单题.‎ ‎8.已知，且，，，，则，，的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意a＞b＞0，a+b＝1，可得1＞ab＞0，利用指数函数和对数函数的单调性即可比较大小．‎ ‎【详解】∵a＞b＞0，a+b＝1，∴1＞ab＞0，‎ ‎∴1，‎ ‎∴x＝（）b＞（）0 =1，‎ y＝log（ab）（）＝ log（ab）=﹣1，‎ z＝logb1．‎ ‎∴x＞z＞y．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了对数函数的单调性的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎9.已知，满足条件（为常数），若目标函数的最大值为9，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由目标函数的最大值为9，我们可以画出满足条件 件为常数）的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数的方程组，消参后即可得到的取值．‎ ‎【详解】画出，满足的为常数）可行域如下图：‎ 由于目标函数的最大值为9，‎ 可得直线与直线的交点，‎ 使目标函数取得最大值，‎ 将，代入得：．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组，代入另一条直线方程，消去，后，即可求出参数的值．‎ ‎10.已知函数，若，，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先研究函数单调性和值域，设，得出的取值范围，把表示为的函数，从而可得答案.‎ ‎【详解】当时，单调递增且，；‎ 当时，单调递增且，.‎ 因为，，所以.‎ 设，则，‎ ‎，.‎ 所以.‎ 所以.‎ 由，可得.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查函数与方程的综合问题.解题时需要综合利用函数与方程、数形结合、等价转化等数学思想方法.‎ ‎11.设曲线为自然对数的底数上任意一点处的切线为，总存在曲线上某点处的切线，使得，则实数a的取值范围为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得的导数，设为上的任一点，可得切线的斜率，求得的导数，设图象上一点可得切线的斜率为，运用两直线垂直的条件：斜率之积为，分别求的值域A，的值域B，由题意可得，可得a的不等式，可得a的范围．‎ ‎【详解】的导数为，设为上的任一点，则过处的切线的斜率为，的导数为，过图象上一点处的切线的斜率为．‎ 由，可得，即，‎ 任意的，总存在使等式成立,则有的值域为，所以的值域为 由，即，，即，‎ 解得：，故选D．‎ ‎【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件：斜率之积为 ‎，考查任意存在性问题的解法，注意运用转化思想和值域的包含关系，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎12.已知函数，其中，，为的零点：且恒成立，在区间上有最小值无最大值，则的最大值是（ ）‎ A. 9 B. 11 C. 13 D. 15‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据为图象的对称轴，为的零点，判断为正奇数，再结合的周期，求得的范围，对选项检验即可．‎ ‎【详解】由题意知函数，，为图象的对称轴，为的零点，‎ ‎，，．‎ 在区间，上有最小值无最大值，周期，即，．‎ 要求的最大值，结合选项，先检验，‎ 当时，由题意可得，，函数为，‎ 在区间，上，，，，此时在时取得最小值，满足题意．‎ 则的最大值为15，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，考查了分析转化的能力，难度较大．属难题．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.已知直线,,，则a=______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两直线垂直对应系数之积的和为0的性质求解.‎ ‎【详解】∵，，‎ ‎∴，解得.‎ ‎【点睛】本题考查直线方程中参数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意直线垂直的性质的合理运用.‎ ‎14.观察下列各式：，，，，，…，则（ ）‎ A. 322 B. 521 C. 123 D. 199‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题中数据，归纳推理，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为，，，，，…，‎ 等式右边对应的数为，‎ 所以，其规律为：从第三项起，每项等于其相邻两项的和；‎ 因此，求，即是求数列“”中的第12项，‎ 所以对应数列为“”，即第12项为322.‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查归纳推理，结合题中数据，找出规律即可，属于常考题型.‎ ‎15.在直三棱柱内有一个与其各面都相切的球O1，同时在三棱柱外有一个外接球.若,，,则球的表面积为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出球O1的半径，再求出球的半径，即得球的表面积.‎ ‎【详解】由题得AC=5,‎ 设球O1的半径为，由题得.‎ 所以棱柱的侧棱为2.‎ 由题得棱柱外接球的直径为，所以外接球的半径为，‎ 所以球表面积为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查几何体的内切球和外接球问题，考查球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎16.设函数，则使得成立的的取值范围是 ______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断函数为偶函数，再由导数可得函数在上为增函数，由单调性把转化为关于的不等式求解．‎ ‎【详解】，‎ ‎，所以是偶函数，‎ 由，‎ 故在上递增，‎ 所以，‎ 得，解得：或，‎ 故答案为：，，‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，是中档题．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17.在中，内角A、B、C所对的边分别为a,b,c．若． ‎ ‎(1)求角C的大小； ‎ ‎ (2)已知，ΔABC的面积为8． 求边长c的值．‎ ‎【答案】（1）（2）4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用三角恒等变换公式将所给条件化简，然后得到的大小；（2）利用正弦定理和三角形面积公式先计算出的值，然后利用余弦定理计算的值.‎ ‎【详解】（1）因为，‎ 所以，，‎ 则，即，所以：；‎ ‎（2）由正弦定理可知：，由面积公式：，所以 ；由余弦定理：，所以：.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，难度较易.在解三角形的过程中，注意隐含条件：的运用，这里常见的运用有两种：（1）求解角的范围；（2）.‎ ‎18.已知函数，，是函数的零点，且的最小值为.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）设，若，，求的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)利用二倍角公式和辅助角公式整理出，根据周期求得；(Ⅱ)根据解析式可求解出，；再利用同角三角函数关系求出，；代入两角和差余弦公式求得结果.‎ ‎【详解】(Ⅰ)‎ 的最小值为 ,即 ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知：‎ ‎ ‎ 又 ，‎ ‎【点睛】本题考查三角函数解析式的求解及应用问题，关键是考查学生对于二倍角公式、辅助角公式、同角三角函数关系以及两角和差公式的掌握情况，考查学生的运算能力，属于常规题型.‎ ‎19.如图所示，四棱锥中，菱形所在的平面，，是中点，是的中点．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若是上的中点，且，求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析； （2） .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明：连接，因为底面为菱形，得到，证得所以，再利用线面垂直的判定定理得平面，再利用面面垂直的判定，即可证得平面平面.‎ ‎（2）利用等积法，即可求解三棱锥的体积.‎ ‎【详解】（1）证明：连接，‎ 因为底面为菱形，，所以是正三角形，‎ 因为是中点，所以，又，所以，‎ 因为平面，平面，所以，‎ 又，所以平面 又平面，所以平面平面.‎ ‎（2）因为，则，‎ 所以 ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查了空间中位置关系的判定与证明及几何体的体积的计算，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理是解答的关键，同时对于空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎20.已知等差数列满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）已知数列是等差数列，因此由已知先求出，利用成等差数列求出参数，从而可得数列的通项公式；‎ ‎（2）把变形为，从而用分组求和与裂项相消求和法求得其前项和．‎ 详解：（1）（法一）由，令，‎ 得到 ‎∵是等差数列，则，即 解得：‎ 由于 ‎∵，∴‎ ‎（法二）∵等差数列，公差为，设 ‎∴‎ ‎∴对于均成立 则，解得，‎ ‎（2）由 点睛：设数列是等差数列，是等比数列，则数列，，的前项和求法分别为分组求和法，错位相减法，裂项相消法．‎ ‎21.在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，AB＝AP＝3，AD＝PB＝2，E为线段AB上一点，且AE︰EB＝7︰2，点F、G分别为线段PA、PD的中点．‎ ‎（1）求证：PE⊥平面ABCD；‎ ‎（2）若平面EFG将四棱锥P－ABCD分成左右两部分，求这两部分的体积之比．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明PE⊥AB，利用平面PAB⊥平面ABCD，即可证明：PE⊥平面ABCD；‎ ‎（2）平面EFG将四棱锥P﹣ABCD分成左右两部分，利用分割法求体积，即可求这两部分的体积之比．‎ ‎【详解】证明：在等腰△APB中，得，‎ 则由余弦定理可得，，∴， ‎ ‎∴PE2+BE2＝4＝PB2，∴PE⊥AB， ‎ ‎∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，‎ ‎∴PE⊥平面ABCD． ‎ ‎（2）解：设平面EFG与棱CD交于点N，连接EN，因为GF∥AD，所以GF∥平面ABCD，从而可得EN∥AD．‎ 延长FG至点M，使GM＝GF，连接DM，MN，则AFE﹣DMN为直三棱柱， ‎ ‎∵F到AE的距离为，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎22.已知函数．‎ ‎（1）讨论的单调性并指出相应单调区间；‎ ‎（2）若，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数k的取值范围．‎ ‎【答案】（1）答案见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先对函数进行求导得，对分成和两种情况讨论，从而得到相应的单调区间；‎ ‎（2）对函数求导得，从而有，，，三个方程中利用得到.将不等式的左边转化成关于的函数，再构造新函数利用导数研究函数的最小值，从而得到的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1）由，，‎ 则，‎ 当时，则，故在上单调递减；‎ 当时，令，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增．‎ 综上所述：当时，在上单调递减；‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增．‎ ‎（2）∵，‎ ‎,‎ 由得，‎ ‎∴，，∴‎ ‎∵∴解得.‎ ‎∴.‎ 设，‎ 则,‎ ‎∴在上单调递减；‎ 当时，.‎ ‎∴，即所求的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查分类讨论思想和数形结合思想，求解双元问题的常用思路是：通过换元或消元，将双元问题转化为单元问题，然后利用导数研究单变量函数的性质.‎ ‎ ‎