2018-2019学年广东实验中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年广东实验中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年广东实验中学高二下学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数的值是（ ）‎ A．-1和1 B．1 C．-1 D．0‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据纯虚数概念,即可求得的值.‎ ‎【详解】‎ 因为复数是纯虚数 所以实部为0,即 解得 ‎ 又因为纯虚数 ,即 所以 所以选B ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的基本概念，纯虚数的定义，属于基础题。‎ ‎2．“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】根据不等式之间的关系结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 解：由，解得x＜1或x＞3，此时不等式x＜1不成立，即充分性不成立，‎ 若x＜1，则x＜1或x＞3成立，即必要性成立，‎ 故“”是“”的必要不充分条件，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．‎ ‎3．已知双曲线（，）的焦距为10，且其虚轴长为8，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据焦距和虚轴长，即可求得的值，即可求得双曲线方程。‎ ‎【详解】‎ 因为双曲线焦距为10，所以 ‎ 虚轴长为8，所以 ‎ 所以 ‎ 所以双曲线方程为 所以选C ‎【点睛】‎ 本题考查了根据的值求双曲线的标准方程，属于基础题。‎ ‎4．，为平面向量，已知，，则，夹角的余弦值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据向量数量积的坐标运算，代入即可求得夹角的余弦值。‎ ‎【详解】‎ 根据向量数量积的运算，设，向量的夹角为 ‎ 则 ‎ 所以选A ‎【点睛】‎ 本题考查了利用坐标求平面向量的夹角，属于基础题。‎ ‎5．调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者学历分布饼状图，从事该行业岗位分布条形图，如图所示.‎ 给出下列三种说法：①该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上；②该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的；③该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生，其中正确的个数为（ ）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【答案】C ‎【解析】利用饼状图、行业岗位分布条形图得到相应命题的真假.‎ ‎【详解】‎ 根据饼状图得到从事该行行业的人群中有百分之五十五的人是博士，故①正确；从条形图中可得到从事技术岗位的占总的百分之三十九点六，故②正确；而从条形图中看不出来从事各个岗位的人的学历，故得到③错误.‎ 故答案为：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假的判断，考查饼状图、条形图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎6．若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由题意结合诱导公式和二倍角公式整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：由题意可知：，‎ 结合二倍角公式有：.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：本题主要考查诱导公式的应用，二倍角公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎7．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，弧田是中国古算名，即圆弓形，最早的文字记载见于《九章算术·方田章》.如图所示，正方形中阴影部分为两个弧田，每个弧田所在圆的圆心均为该正方形的一个顶点，半径均为该正方形的边长，则在该正方形内随机取一点，此点取自两个弧田部分的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据圆的面积公式和三角形面积公式求得弧田的面积，除以整个正方形面积可得解。‎ ‎【详解】‎ 设正方形的边长为 ‎ 则一个弧田的面积为 ‎ 所以两个弧田的面积为 所以在该正方形内随机取一点，此点取自两个弧田部分的概率为 所以选A ‎【点睛】‎ 本题考查了几何概型概率计算公式的简单应用，属于基础题。‎ ‎8．在正方体中， 为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意画出图形，连接，找出异面直线与所成角，解三角形即可．‎ ‎【详解】‎ 解：如图，‎ 连接，则，‎ ‎∴即为异面直线与所成角，‎ 设正方体棱长为2，则，‎ 由余弦定理可得：‎ 即异面直线与所成角的余弦值为．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了异面直线所成角的求法，考查转化能力及计算能力，还考查了余弦定理，是中档题．‎ ‎9．函数，的最大值为（ ）‎ A． B．1 C．2 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据正弦的差角公式及辅助角公式化简，结合正弦函数图象与性质即可求得最大值。‎ ‎【详解】‎ 根据正弦的差角公式，化简可得 因为 所以 因为正弦函数 在上单调递增 所以当时取得最大值，此时 ‎ 所以选A ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数式的化简，求给定区间内函数的最值，属于基础题。‎ ‎10．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为，若，则 （ ）‎ A．3 B．2 C． D．1‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据所给条件画出示意图，用表示出 、 的长度，根据比值关系即可求得p的值。‎ ‎【详解】‎ 根据题意，画出示意图如下图所示：‎ 根据抛物线定义可知 ‎ 因为直线截圆得到的弦长为 所以 ‎ 即 所以 因为 所以 即，解得 ‎ 因为在抛物线上，‎ 所以 ，解得 ‎ 所以选B ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的定义与应用，注意应用几何关系找各线段的比值，属于中档题。‎ ‎11．若对，，且，都有，则的取值范围是（ ）注:（ 为自然对数的底数，即…）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】将所给条件式化简，并构造函数，根据函数的单调性可得导数的符号，进而求得定义域，即可得m的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 因为对于,定义域为 ,所以 当满足时,成立 化简可得,移项合并后可得 ‎,即 因为,所以可等价于 即满足为减函数 因为为减函数 所以,即 则 ‎ 因为对，，且，都有 所以 ,即的取值范围为 所以选C ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的应用，根据函数单调性和导数的符号求参数的取值范围，属于中档题。‎ 二、填空题 ‎12．在极坐标系中，圆心为且过极点的圆的极坐标方程为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 由题意可得圆心的直角坐标为，半径为，‎ ‎ 所以圆的直角坐标方程为，化为极坐标为.‎ ‎13．若双曲线的一条渐近线方程过，则此双曲线的离心率为__________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】根据双曲线渐近线方程过点，将点代入渐近线方程即可求得，即可求得离心率。‎ ‎【详解】‎ 双曲线的渐近线方程为 ‎ 因为渐近线方程过点，即渐近线方程过 代入可求得或（舍）‎ 则 ‎ 所以离心率 ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的标准方程及其性质的应用，渐近线方程和离心率的简单求法，属于基础题。‎ ‎14．设数列的前项和为，已知，且对任意正整数都有，则__________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】根据，化简可证明得是等差数列，求得的通项公式，再利用即可求得的通项公式，进而求得的值。‎ ‎【详解】‎ 因为 所以 ‎，即 等式两边同时除以 可得，‎ 因为 所以是以1为首项，以为公差的等差数列 所以 所以 则根据可得 所以 ‎【点睛】‎ 本题考查了数列通项公式的求法，数列的综合应用，属于中档题。‎ ‎15．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】根据，可知，结合即可求得，根据同角三角函数关系式即可求得，结合诱导公式及二倍角降幂公式即可求得的值。‎ ‎【详解】‎ 由可知 ‎，展开化简可得 因为，由正弦定理可得 有以上两式可得 ‎ 根据诱导公式可知 结合二倍角公式的降幂公式可知 ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数式的化简求值，正弦定理、诱导公式和余弦的二倍角公式的综合应用，属于中档题。‎ 三、解答题 ‎16．已知数列为等比数列， ，是和的等差中项.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) ，；(2) .‎ ‎【解析】（1）根据等比数列通项公式和等差中项性质，可得关于的方程，解方程可得公比，再求得首项，即可得数列的通项公式。‎ ‎（2）根据（1）得到的的通项公式，代入可得的通项公式。分类讨论n的奇偶，即可分情况求得前n项和。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设数列的公比为，因为，所以，，‎ 因为是和的等差中项，所以.‎ 即，化简得，‎ 因为公比，所以，‎ 因为，所以 所以，；‎ ‎（2） ‎ 当为偶数时，前项和；‎ 当为奇数时，前项和；‎ 则.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的概念、等比数列的通项公式，含奇偶项分类讨论的前n项和求法，属于中档题。‎ ‎17．如图，在四棱锥中，底面是正方形，对角线与交于点，侧面是边长为2的等边三角形， 为的中点.‎ ‎（1）证明: 平面；‎ ‎（2）若侧面底面，求点到平面的距离.‎ ‎【答案】(1)见解析.(2) .‎ ‎【解析】（1）连接EF，根据中位线定理，结合线面平行判定定理即可证明平面。‎ ‎（2）根据平面平面，可知平面，进而求得的值；根据体积关系求得体积，再根据等体积即可求得点到平面的距离。‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）连结，由题意得是的中位线 ‎∴‎ ‎∵平面，平面 ‎∴平面 ‎（Ⅱ）∵平面底面，交线为，‎ ‎∴平面 在中，，‎ ‎∴可求得 由 则 ‎∴点到平面的距离为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线面平行的判定，三棱锥等体积法的应用，属于中档题。‎ ‎18．某企业共有员工10000人，如图是通过随机抽样得到的该企业部分员工年收入（单位:万元）‎ 频率分布直方图 ‎（1）根据频率分布直方图估算该企业全体员工中年收入在的人数；‎ ‎（2）若抽样调查中收入在万元员工有2人，求在收入在万元的员工中任取3人，恰有2位员工收入在万元的概率；‎ ‎（3）若抽样调查的样本容量是400人，在这400人中:‎ 年收入在万元的员工中具有大学及大学以上学历的有40%，收入在万元的员工中不具有大学及大学以上学历的有30%，具有大学及大学以上学历和不具有大学及大学以上学历的员工人数填入答卷中的列联表，并判断能否有99%把握认为具有大学及大学以上学历和不具有大学及大学以上学历的员工收入有差异?‎ 附: ‎ ‎【答案】(1)1500.(2) .(3) 有99%把握认为具有大学及大学以上学历和不具有大学及大学以上学历的员工收入有差异.‎ ‎【解析】（1）由频率分布直方图求得年收入在万元人数的频率，根据总人数即可求得收入在该区间的人数。‎ ‎（2）设收入在万元的2人记为、，收入在万元的记为、、，根据古典概型概率列出所有基本事件，即可求解。‎ ‎（3）根据频率分布直方图及抽样的样本容量和占比，求得年收入在万元且具有大学及大学以上学历、年收入在万元且不具有大学及大学以上学历的人数，填列联表后，根据计算公式及值表，即可判断能否有99%把握认为具有大学及大学以上学历和不具有大学及大学以上学历的员工收入有差异。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据频率分布直方图，‎ 年收入在万元的频率为，‎ 所以年收入在万元的人数为（人）‎ ‎（2）抽样调查中收入在万元员工有2人，记为、，‎ 则收入在万元的员工有3人，记为、、，‎ 从这5人中任取3人，基本事件是、、、、、、、、、共10种，‎ 其中恰有2位员工收入在万元的基本事件为、、、、、共6种，‎ 故所求的概率为；‎ ‎（3）样本容量是400，在这400人中年收入在万元的员工有（人），‎ 其中具有大学及大学以上学历的有（人）‎ 年收入在万元的员工有（人），‎ 其中不具有大学及大学以上学历的有（人），填写列联表如下 表中数据，计算，‎ 所以有99%把握认为具有大学及大学以上学历和不具有大学及大学以上学历的员工收入有差异.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了频率分布直方图的简单应用，古典概率的求法，列联表及独立性检验方法的应用，属于基础题。‎ ‎19．已知曲线和都过点，且曲线的离心率为.‎ ‎（1）求曲线和曲线的方程；‎ ‎（2）设点，分别在曲线，上，，的斜率分别为，，当时，问直线是否过定点?若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.‎ ‎【答案】(1) ;(2) 直线恒过定点.‎ ‎【解析】（1）将点P坐标代入曲线即可求得r，得曲线的方程；将点P坐标代入曲线方程，结合椭圆离心率，即可求得曲线的标准方程。‎ ‎（2）设、和直线的方程、直线的方程，分别联立椭圆方程，用k表示出，求得直线AB的斜率，表示出AB的直线方程，进而求得过的定点坐标。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）曲线和都过点 ‎∴，，曲线的方程为 ‎∵曲线的离心率为 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴曲线的方程，‎ ‎（2）设，，直线的方程为，代入到 ‎，消去，‎ 可得，解得或，‎ ‎∴，‎ 直线的方程为，代入到程，消去，可得，‎ 解得或，，‎ ‎∵，‎ ‎∴直线的斜率，‎ 故直线的方程为，‎ 即，‎ 所以直线恒过定点 ‎【点睛】‎ 本题考查了曲线方程的求法，椭圆中直线过定点问题的综合应用，属于中档题。‎ ‎20．已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，证明: （其中为自然对数的底数）.‎ ‎【答案】（1）单调递增区间是，；单调递减区间是；（2）详见解析.‎ ‎【解析】（1）当时，求得函数的导数，根据导数的符号，即可求解函数的单调区间，得到答案.‎ ‎（2）由,转化为只需证明，令 ，求得函数的单调性与最值，即可作出判定.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，函数的定义域为,‎ 当时，， 则 . ‎ 由解得或；由解得.‎ 所以的单调递增区间是，；单调递减区间是. ‎ ‎（2）当时，由,只需证明. ‎ 令 ，.‎ 设，则. ‎ 当时，，单调递减;‎ 当时，，单调递增,‎ ‎∴当时，取得唯一的极小值，也是最小值. ‎ 的最小值是 成立.‎ 故成立.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎ ‎21．在直角坐标系中曲线的参数方程为 （为参数，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.‎ ‎【答案】(1) ..（2）;.‎ ‎【解析】（1）消参数可得的普通方程；将的极坐标方程展开，根据，即可求得的直角坐标方程。‎ ‎（2）设，利用点到直线距离公式表示出点P到直线的距离，根据三角函数的性质即可求得最小值，将代入参数方程即可求得P点坐标。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）曲线的参数方程为（为参数），‎ 移项后两边平方可得，‎ 即有椭圆；‎ 曲线的极坐标方程为，‎ 即有，‎ 由，，可得，‎ 即有的直角坐标方程为直线；‎ ‎（2）设，‎ 由到直线的距离为 当时，的最小值为，‎ 此时可取，即有.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了参数方程与普通方程、极坐标与普通方程的转化，参数方程在求取值范围中的应用，属于中档题。‎