专题9-9 圆锥曲线的综合问题(讲)-2018年高考数学一轮复习讲练测(浙江版)

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专题9-9 圆锥曲线的综合问题(讲)-2018年高考数学一轮复习讲练测(浙江版)

‎ ‎ ‎2018年高考数学讲练测【浙江版】【讲】第九章 解析几何 第九节 圆锥曲线的综合问题 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 ‎5年统计 分析预测 圆锥曲线的综合问题 ‎(1)会解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的问题。‎ ‎(2) 了解方程与曲线的对应关系和求曲线方程的基本方法。‎ ‎(3)理解数形结合、用代数方法处理几何问题的思想。了解圆锥曲线的简单应用。‎ ‎2013•浙江文22;理21;‎ ‎2014•浙江文17,22;‎ ‎2015•浙江文19;理19;‎ ‎2016•浙江文19;理19;‎ ‎2017•浙江21.‎ ‎1.考查直线与椭圆的位置关系;‎ ‎2.考查直线与抛物线的位置关系;‎ ‎3.考查直线与圆、圆锥曲线的综合问题,如取值范围、最值、定值、定点、存在性问题等.‎ ‎4.备考重点:‎ ‎ (1)掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质;‎ ‎(2)熟练掌握常见直线与圆锥曲线综合问题题型的解法;‎ ‎(3)利用数形结合思想,灵活处理综合问题.‎ ‎【知识清单】‎ ‎1. 圆锥曲线中的定点、定值问题 圆锥曲线中定值、定点问题的求解方法 圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关,如椭圆的长、短轴,双曲线的虚、实轴,抛物线的焦参数等.定值问题的求解与证明类似,在求定值之前,已经知道定值的结果(题中未告知,可用特殊值探路求之),解答这类题要大胆设参,运算推理,到最后参数必清,定值显现. ‎ 对点练习:‎ ‎【2016高考新课标1卷】设圆的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.‎ ‎(I)证明为定值,并写出点E的轨迹方程;‎ ‎(II)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)()(II)‎ ‎【解析】‎ 试题解析:(Ⅰ)因为,,故,‎ 所以,故.‎ 又圆的标准方程为,从而,所以.‎ 由题设得,,,由椭圆定义可得点的轨迹方程为:‎ ‎().‎ ‎(Ⅱ)当与轴不垂直时,设的方程为,,.‎ 由得.‎ 则,.‎ 所以.‎ 过点且与垂直的直线:,到的距离为,所以 ‎.故四边形的面积 ‎.‎ 可得当与轴不垂直时,四边形面积的取值范围为.‎ 当与轴垂直时,其方程为,,,四边形的面积为12.‎ 综上,四边形面积的取值范围为.‎ ‎2. 圆锥曲线中的最值与范围问题 与圆锥曲线相关的最值、范围问题综合性较强,解决的方法:一是由题目中的限制条件求范围,如直线与圆锥曲线的位置关系中Δ的范围,方程中变量的范围,角度的大小等;二是将要讨论的几何量如长度、面积等用参数表示出来,再对表达式进行讨论,应用不等式、三角函数等知识求最值,在解题过程中注意向量、不等式的应用. ‎ 对点练习:‎ ‎【2017课标1,理10】已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,则|AB|+|DE|的最小值为 A.16 B.14 C.12 D.10‎ ‎【答案】A ‎3. 圆锥曲线中的探索性问题 探索性问题的求解方法:先假设成立,在假设成立的前提下求出与已知、定理或公理相同的结论,说明结论成立,否则说明结论不成立.处理这类问题,一般要先对结论做出肯定的假设,然后由此假设出发,结合已知条件进行推理论证.若推出相符的结论,则存在性随之解决;若推出矛盾,则否定了存在性;若证明某结论不存在,也可以采用反证法.‎ 对点练习:‎ ‎【2017课标II,理】设O为坐标原点,动点M在椭圆C:上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足。‎ (1) 求点P的轨迹方程;‎ ‎(2)设点Q在直线上,且。证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。 ‎ ‎【答案】(1) 。‎ ‎(2)证明略。‎ ‎【解析】‎ ‎(2)由题意知。设,则 ‎,‎ ‎。‎ 由得,又由(1)知,故 ‎。‎ 所以,即。又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线 过C的左焦点F。‎ ‎【考点深度剖析】‎ 圆锥曲线是历年高考命题的重点和热点,也是一大难点.命题的热点主要有四个方面:一是直线和圆锥曲线的位置关系中的基本运算;二是最值与范围问题;三是定点与定值问题;四是有关探究性的问题.命题多与函数、方程、不等式、数列、向量等多种知识综合,考查考生的各种数学思想与技能,因此也是高考的难点.‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1 圆锥曲线中的定点、定值问题 ‎【1-1】【2016年高考北京理数】已知椭圆C: ()的离心率为 ,,,,的面积为1.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设的椭圆上一点,直线与轴交于点M,直线PB与轴交于点N.‎ 求证:为定值.‎ ‎【答案】(1);(2)详见解析.‎ ‎【解析】(1)由题意得解得.‎ 所以椭圆的方程为.‎ 直线的方程为.‎ 令,得.从而.‎ 所以 ‎.‎ 当时,,‎ 所以.‎ 综上,为定值.‎ ‎【1-2】【2016高考山东理数】平面直角坐标系中,椭圆C: 的离心率是,抛物线E:的焦点F是C的一个顶点. (I)求椭圆C的方程;‎ ‎(II)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线与C交与不同的两点A,B,线段AB的中点为D,直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.‎ ‎(i)求证:点M在定直线上;‎ ‎(ii)直线与y轴交于点G,记的面积为,的面积为,求 的最大值及取得 最大值时点P的坐标.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)(i)见解析;(ii)的最大值为,此时点的坐标为 ‎(Ⅱ)(i)设,由可得,‎ 所以直线的斜率为,‎ 因此直线的方程为,即.‎ 设,联立方程 得,‎ 由,得且,‎ 因此,‎ 将其代入得,‎ 因为,所以直线方程为.‎ 联立方程,得点的纵坐标为,‎ 即点在定直线上.‎ ‎(ii)由(i)知直线方程为,‎ 令得,所以,‎ 又,‎ 所以,‎ ‎,‎ 所以,‎ 令,则,‎ 当,即时,取得最大值,此时,满足,‎ 所以点的坐标为,因此的最大值为,此时点的坐标为.‎ ‎【领悟技法】‎ 定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似,在求定点、定值之前已知该值的结果,因此求解时应设参数,运用推理,到最后必定参数统消,定点、定值显现.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【2018届河南省漯河市高级中学高三上期中】在平面直角坐标系中,已知椭圆,如图所示,斜率为且不过原点的直线交椭圆于两点,线段的中点为,射线交椭圆于点,交直线于点.‎ ‎(1)求的最小值;‎ ‎(2)若,求证:直线过定点.‎ ‎【答案】(1).(2)见解析 ‎(2)由(1)知所在直线方程,和椭圆方程联立,求得点的坐标,并代入 ,得到 ,因此得证直线过定点;‎ 试题解析:(1)设直线 的方程为,由题意, ,‎ 由方程组,得,‎ 由题意,所以,‎ 设,‎ 由根与系数的关系得,所以,‎ 由于为线段的中点,因此,‎ 此时,所以所在直线的方程为,‎ 又由题意知,令,得,即,‎ 所以,当且仅当时上式等号成立,‎ 此时由得,因此当且时, 取最小值.‎ ‎(2)证明:由(1)知所在直线的方程为, ‎ 将其代入椭圆的方程,并由,解得,‎ 又,‎ 由距离公式及得 ‎, ,‎ ‎,‎ 由,得,‎ 因此直线的方程为,所以直线恒过定点.‎ ‎【变式二】【2017届北京市东城区东直门中学高三上学期期中】如图,椭圆经过 点,且离心率为.‎ ‎()求椭圆的方程.‎ ‎()经过点,且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点,(均异于点),判断直线与的斜率之和是否为定值?若是定值,求出改定值;若不是定值,请说明理由.‎ ‎【答案】(1).()斜率之和为定值.‎ ‎()由题设知,直线的方程为,‎ 将直线方程与椭圆方程联立,‎ ‎,得.‎ 由已知,‎ 设,,,‎ 则,,‎ 从而直线,的斜率之和:‎ ‎.‎ 故直线、斜率之和为定值.‎ 考点2 圆锥曲线中的最值与范围问题 ‎【2-1】【2018届江苏省仪征中学高三10月检测】椭圆C: 的长轴是短轴的两倍,点在椭圆上.不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点,设直线OA、l、OB的斜率分别为、、,且、、恰好构成等比数列,记△的面积为S.‎ ‎(1)求椭圆C的方程.‎ ‎(2)试判断是否为定值?若是,求出这个值;若不是,请说明理由?‎ ‎(3)求S的范围.‎ ‎【答案】(1) (2)5(3)‎ 设直线的方程为,代入椭圆方程,消去,根据、、恰好构成等比数列,求出,进而表示出,即可得出结论。‎ 表示出的面积,利用基本不等式,即可求出的范围。‎ 解析:(1)由题意可知,且,‎ 所以椭圆的方程为   ‎ ‎(2)依题意,直线斜率存在且,设直线的方程为(),、‎ 由 ‎,因为、、恰好构成等比数列,‎ 所以,‎ 即;‎ 所以       ‎ 此时 得,且(否则:,则,中至少有一个为,直线、中至少有一个斜率不存在,与已知矛盾)    ‎ 所以;‎ 所以 所以是定值为5;       ‎ ‎(3)(,且)‎ 所以  ‎ ‎【2-2】【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】如图,已知抛物线,过直线上任一点作抛物线的两条切线,切点分别为.‎ ‎(I)求证:;‎ ‎(II)求面积的最小值.‎ ‎【答案】(1)见解析(2) 面积取最小值 ‎【解析】试题分析:(1)设,的斜率分别为,由切线条件,易得,即,由两根之积可得所以;(2),而,同理可得,即,然后求最值即可.‎ ‎(II)由(I)得,‎ ‎ ‎ 所以 综上,当时,面积取最小值.‎ ‎【综合点评】‎ ‎1.(1)凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用韦达定理,避免求交点坐标的复杂运算.解决焦点弦问题时,抛物线的定义有广泛的应用,而且还应注意焦点弦的几何性质.‎ ‎(2)对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题,以及定值、存在性问题的处理,最好是作出草图,由图象结合几何性质做出解答.并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用.‎ ‎2.解析几何中的综合性问题很多,而且可与很多知识联系在一起出题,解决这类问题需要正确运用转化思想、函数与方程思想、数学结合思想,其中运用最多的是利用方程根与系数关系构造等式或者函数关系式,注意根的判别式来确定或者限制参数的范围.‎ ‎【领悟技法】‎ 圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法 ‎(1)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决;‎ ‎(2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立目标函数,再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑:‎ ‎①利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围;‎ ‎②利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系;‎ ‎③利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;‎ ‎④利用基本不等式求出参数的取值范围;‎ ‎⑤利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式1】【2018届浙江省名校协作体高三上学期联考】设是椭圆长轴的两个端点,若上存在点满足,则的取值范围是( )‎ ‎【答案】A ‎ 当椭圆的焦点在 轴上时, , ‎ 当 位于短轴的端点时, 取最大值,要使椭圆 上存在点满足, ,,解得: , 的取值范围是 故选A.‎ ‎【变式2】【2018届浙江省名校协作体高三上学期联考】如图,已知抛物线的焦点在抛物线上,点是抛物线上的动点.‎ ‎(Ⅰ)求抛物线的方程及其准线方程;‎ ‎(Ⅱ)过点作抛物线的两条切线, 、分别为两个切点,求面积的最小值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) 的方程为 其准线方程为;(Ⅱ)2.‎ 联立由韦达定理得,可求得.‎ 进而求得点到直线的距离. 则的面积所以当时, 取最小值为。即面积的最 小值为2..‎ 试题解析:(Ⅰ) 的方程为 其准线方程为. ‎ ‎(Ⅱ)设, , , ‎ 则切线的方程: ,即,又,‎ 所以,同理切线的方程为,‎ 又和都过点,所以,‎ 所以直线的方程为. ‎ 联立得,所以。‎ 所以.‎ 点到直线的距离. ‎ 所以的面积 所以当时, 取最小值为。即面积的最小值为2. ‎ 考点3 圆锥曲线中的探索性问题 ‎【3-1】【2017届湖南省长沙市长郡中学高三下学期临考冲刺】在平面直角坐标系中,点,圆,以动点为圆心的圆经过点,且圆与圆内切.‎ ‎(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;‎ ‎(Ⅱ)若直线过点,且与曲线交于两点,则在轴上是否存在一点,使得轴平分?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1)(2)在轴上存在一点,使得轴平分.‎ 试题解析:解:(Ⅰ)圆的方程可化为: ,‎ 故圆心,半径,‎ 而,所以点在圆内.‎ 又由已知得圆的半径,由圆与圆内切可得,圆内切于圆,即,‎ 所以,‎ 故点的轨迹,即曲线是以为焦点,长轴长为的椭圆.‎ 显然,所以,‎ 故曲线的方程为 ‎(Ⅱ)设,当直线的斜率不为时,设直线,‎ 代入得: , 恒成立.‎ 由根与系数的关系可得, ,‎ 设直线的斜率分别为,则由得,‎ ‎ ‎ ‎ .‎ ‎∴,将代入得,‎ 因此,故存在满足题意.‎ 当直线的斜率为时,直线为轴,取,满足,‎ 综上,在轴上存在一点,使得轴平分.‎ ‎【3-2】【2017届浙江省湖州、衢州、丽水三市高三4月联考】已知点在椭圆内,过的直线与椭圆相交于A,B两点,且点是线段AB的中点,O为坐标原点.‎ ‎(Ⅰ)是否存在实数t,使直线和直线OP的倾斜角互补?若存在,求出的值,若不存在,试说明理由;‎ ‎(Ⅱ)求面积S的最大值.‎ ‎【答案】( Ⅰ)存在;(Ⅱ) .‎ ‎【解析】试题分析:‎ 试题解析:‎ ‎(Ⅰ)存在.‎ 由题意直线的斜率必存在,设直线的方程 是 代入得:‎ ‎.(1)‎ 设,,则,即,‎ 解得:,‎ 此时方程(1)即 由解得,,‎ ‎(或由解得,)‎ 当时,显然不符合题意;‎ 当时,设直线的斜率为,只需,‎ 即,解得,均符合题意.‎ ‎(Ⅱ)由(1)知的方程是,‎ 所以,‎ ‎,‎ 因为,所以当时,.‎ ‎【领悟技法】‎ 解析几何中存在性问题的求解方法:‎ ‎1.通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化,其步骤为:假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于特定参数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在,否则(点、直线、曲线或参数)不存在.‎ ‎2.反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【2017届浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等高三下五校联考】如图,已知椭 圆经过不同的三点在第三象限),线段的中点在直线上.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程及点的坐标;‎ ‎(Ⅱ)设点是椭圆上的动点(异于点且直线分别交直线于两点,问是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ 试题解析:(Ⅰ)由点在椭圆上,得解得所以椭圆的方程为………………………3分 由已知,求得直线的方程为从而(1)‎ 又点在椭圆上,故(2)‎ 由(1)(2)解得(舍去)或从而 所以点的坐标为………………………………………6分 ‎(Ⅱ)设 因三点共线,故整理得 ‎ 因三点共线,故整理得……………10分 因点在椭圆上,故,即 从而 所以为定值. ………………………15分 ‎【变式二】【2018届云南省大理市云南师范大学附属中学月考卷二】已知点为圆上一动点,轴于点,若动点满足(其中为非零常数)‎ ‎(1)求动点的轨迹方程;‎ ‎(2)若是一个中心在原点,顶点在坐标轴上且面积为8的正方形,当时,得到动点的轨迹为曲线,过点的直线与曲线相交于两点,当线段的中点落在正方形内(包括边界)时,求直线斜率的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ,(2) .‎ ‎(Ⅰ)设动点,则,且,①‎ 又,得,‎ 代入①得动点的轨迹方程为.‎ ‎(Ⅱ)当时,动点的轨迹曲线为.‎ 直线的斜率存在,设为,则直线的方程为,代入,‎ 得,‎ 由,‎ 解得,②‎ 设,线段的中点,‎ 则.‎ 由题设知,正方形在轴左边的两边所在的直线方程分别为,注意到点不可能在轴右侧,则点在正方形内(包括边界)的条件是 即 解得,此时②也成立.‎ 于是直线的斜率的取值范围为.‎ 考点4 直线、圆及圆锥曲线的交汇问题 ‎【4-1】【2017届陕西省西安市西北工业大学附属中学高三下学期第六次模拟】已知椭圆,直线与椭圆在第一象限内的交点是,点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点,椭圆的另一个焦点是,且.‎ ‎(1) 求椭圆的方程;‎ ‎(2) 直线过点,且与椭圆交于两点,求的内切圆面积的最大值.‎ ‎【答案】(1) ;(2)3.‎ ‎【解析】试题分析:‎ ‎(1)由题意求得,所以椭圆的方程为;‎ ‎(2)由题意求得内切圆的面积函数: ,换元之后结合对勾函数的性质可得面积的最大值为3.‎ ‎(2)由(1)知,过点的直线与椭圆交于两点,则的周长为,则(为三角形的内切圆半径),当面积最大时,其内切圆面积最大 设直线的方程为: ‎ 由得 所以 令,则,所以,而在上单调递增,‎ 所以,当时取等号,即当, 面积的最大值为3‎ ‎【4-2】已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线 C ‎(Ⅰ)求C的方程;‎ ‎(Ⅱ)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|. ‎ ‎【答案】(1);(2).‎ 若直线l不垂直于x轴,设l与x轴的交点为Q,则,解得,故直线l:;有l与圆M相切得,解得;当时,直线,联立直线与椭圆的方程解得;同理,当时,.‎ ‎【领悟技法】‎ 直线、圆及圆锥曲线的交汇问题,要认真审题,学会将问题拆分成基本问题,然后综合利用数形结合思想、化归与转化思想、方程的思想等来解决问题,这样可以渐渐增强自己解决综合问题的能力. ‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【2018届江西省南昌市上学期高三摸底】已知椭圆的离心率为,短轴长为2.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)设直线与椭圆交于两点, 为坐标原点,若,‎ 求证:点在定圆上.‎ ‎【答案】(1)椭圆的标准方程为 (2)证明见解析 ‎ ‎ ‎ ② ,由①②得 点在定圆上. ‎ 试题解析:(1)设焦距为,由已知, ,∴, ,‎ ‎∴椭圆的标准方程为. ‎ ‎(2)设,联立得,‎ 依题意, ,化简得,①‎ ‎,‎ ‎, ‎ 若,则, 即,‎ ‎∴,‎ ‎∴, ‎ 即,化简得,②‎ 由①②得.‎ ‎∴点在定圆上.(没有求范围不扣分)‎ ‎【变式二】【2017届云南省昆明市高三下学期第二次统测】在直角坐标系中, 动圆与圆外切,同时与圆内切.‎ ‎(1)求动圆圆心的轨迹方程;‎ ‎(2)设动圆圆心的轨迹为曲线,设是曲线上两点,点关于轴的对称点为 (异于点),若直线分别交轴于点,证明: 为定值.‎ ‎【答案】(1);(2)详见解析.‎ ‎,所以动圆圆心的轨迹方程为.‎ ‎(2)设,则,由题意知.则,直线方程为,令,得,同理,于是,‎ 又和在椭圆上,故,则 ‎.‎ 所以.‎ ‎【易错试题常警惕】‎ 易错典例:中,B,C 坐标分别为(-3,0),(3,0),且三角形周长为16,求点A的轨迹方程.‎ 易错分析:没注意检验曲线上的点是否都满足题意.‎ 温馨提示:1.要注意完备性和纯粹性的检验.‎ ‎2.求轨迹方程的常用方法 ‎(1)直接法:直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)=0.‎ ‎(2)待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程.‎ ‎(3)定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.‎ ‎(4)代入(相关点)法:动点P(x,y)依赖于另一动点Q的变化而运动,常利用代入法求动点P(x,y)‎ 的轨迹方程.‎ ‎【学科素养提升之思想方法篇】‎ ‎----数形结合百般好,隔裂分家万事休——数形结合思想 我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好,隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。我们认为,数形结合,主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的.‎ 数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点:第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围.‎ ‎【典例】【2018届河南省长葛一高高三上学期开学】如图,已知抛物线,圆,过抛物线的焦点且与轴平行的直线与交于两点,且.‎ ‎(1)证明:抛物线与圆相切;‎ ‎(2)直线过且与抛物线和圆依次交于,且直线的斜率,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2).‎ 试题解析:‎ ‎(1)证明:∵,∴,故抛物线的方程为,‎ 联立与,得,‎ ‎∵,∴抛物线与圆相切.‎ ‎(2),直线的方程为,‎ 圆心到直线的距离为,‎ ‎∴,‎ 设,‎ 由,得,‎ 则,‎ ‎∴,‎ ‎∴,设 ,则,‎ 设,则,‎ ‎∵,∴,∴函数在上递增,‎ ‎∴,∴,即的取值范围为.‎ ‎ ‎
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