专题41+坐标系与参数方程-2019年高考数学（理）考点分析与突破性讲练

专题41+坐标系与参数方程-2019年高考数学（理）考点分析与突破性讲练

一、考纲要求：‎ ‎1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.‎ ‎2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.‎ ‎3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．‎ ‎5.了解参数方程，了解参数的意义.‎ ‎6.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．‎ 二、概念掌握和解题上注意点：‎ ‎ 1.极坐标与直角坐标互化公式的三个前提条件 ‎(1)取直角坐标系的原点为极点．‎ ‎(2)以x轴的非负半轴为极轴．‎ ‎(3)两种坐标系规定相同的长度单位．‎ ‎2.极坐标与直角坐标互化的策略 (1）)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；‎ (2）)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换.‎ ‎3.解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等.‎ ‎4.根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：‎ 过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2.‎ ‎①弦长l＝|t1－t2|；‎ ‎②弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；‎ ‎③|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.‎ 三、高考考题题例分析 例1.（2018全国卷I）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．‎ ‎（1）求C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．‎ ‎【答案】（1）（x+1）2+y2=4；（2）．‎ 例2.（2018全国卷II）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．‎ ‎（1）求C和l的直角坐标方程；‎ ‎（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．‎ ‎【答案】（1）：，sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0；‎ ‎ （2）-2‎ ‎【解析】：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），‎ 转换为直角坐标方程为：．‎ 直线l的参数方程为（t为参数）．‎ 转换为直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0．‎ ‎（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到： +=1‎ 整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，‎ 则：，‎ 由于（1，2）为中点坐标，‎ 所以：，‎ 则：8cosα+4sinα=0，‎ 解得：tanα=﹣2，‎ 即：直线l的斜率为﹣2． ‎ 坐标系与参数方程练习题 ‎1．若函数y＝f(x)的图象在伸缩变换φ：的作用下得到曲线的方程为y′＝3sin，求函数y＝f(x)的最小正周期．‎ ‎【答案】π.‎ ‎【解析】：　由题意，把变换公式代入曲线方程y′＝3 sin得3y＝3 sin，整理得y＝sin，故f(x)＝sin.所以y＝f(x)的最小正周期为＝π.‎ ‎2．在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．‎ ‎【答案】(1) C1：ρcos θ＝－2，C2：ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.‎ ‎ (2) 法二：直线C3的直角坐标方程为x－y＝0，圆C2的圆心C2(1,2)到直线C3的距离d＝＝，圆C2的半径为1，‎ ‎∴|MN|＝2×＝，所以△C2MN的面积为.‎ ‎3．已知直线l的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标轴中，曲线C的方程为sin θ－ρ cos2θ＝0.‎ ‎(1)求曲线C的直线坐标方程；‎ ‎(2)写出直线l与曲线C交点的一个极坐标．‎ ‎【答案】(1) y－x2＝0；(2) ‎4．在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α<π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ.‎ ‎(1)求C2与C3交点的直角坐标；‎ ‎(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值. ‎ ‎【答案】(1) (0,0)和；(2)4‎ ‎【解析】：　(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，‎ 联立 解得或 所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.‎ ‎5．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.‎ ‎(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.‎ ‎【答案】(1) ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0；(2) a＝1.‎ ‎【解析】：　(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．‎ 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，‎ 得到C1的极坐标方程为 ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.‎ ‎(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，‎ 由已知tan θ＝2，‎ 得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，‎ 从而1－a2＝0，‎ 解得a＝－1(舍去)或a＝1.‎ 当a＝1时，‎ 极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．‎ 所以a＝1.‎ ‎6．在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2 sin θ，正方形ABCD的顶点都在C1上，且依次按逆时针方向排列，点A的极坐标为.‎ ‎(1)求点C的直角坐标；‎ ‎(2)若点P在曲线C2：x2＋y2＝4上运动，求|PB|2＋|PC|2的取值范围. ‎ ‎【答案】(1) C(－1,1)；(2) [14－4，14＋4]‎ 所以|PB|2＋|PC|2∈[14－4，14＋4]． ‎ ‎13．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t是参数)，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cos. ‎ ‎(1)求直线l的普通方程和圆心C的直角坐标；‎ ‎(2)求圆C上的点到直线l的距离的最小值．‎ ‎【答案】(1) l的普通方程为y＝x－6，圆心C的直角坐标为(，－)；‎ ‎ (2)2‎ ‎【解析】：　(1)由题意得直线l的普通方程为y＝x－6.‎ 因为ρ＝4cos，‎ 所以ρ2＝2ρcos θ－2ρsin θ，‎ 所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，‎ 即(x－)2＋(y＋)2＝4，‎ 所以圆心C的直角坐标为(，－)．‎ ‎(2)由(1)知，圆C的半径为r＝2，且圆心到直线l的距离d＝＝4>2，‎ 所以直线l与圆C相离，‎ 所以圆C上的点到直线l的距离的最小值为d－r＝4－2＝2.‎ ‎14．在平面直角坐标系中，将曲线C1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2.‎ ‎(1)求曲线C2的参数方程；‎ ‎(2)过原点O且关于y轴对称的两条直线l1与l2分别交曲线C2于A，C和B，D，且点A在第一象限，当四边形ABCD的周长最大时，求直线l1的普通方程.‎ ‎ ‎ ‎【答案】(1) (θ为参数)；(2) l1的普通方程为y＝x.‎ ‎【解析】：　(1)依题意，可得C1的普通方程为x2＋y2＝4，‎ 由题意可得C2的普通方程为＋y2＝1，‎ 所以C2的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎15,在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(a>0，β为参数)．以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程ρcos＝.‎ ‎(1)若曲线C与l只有一个公共点，求a的值；‎ ‎(2)A，B为曲线C上的两点，且∠AOB＝，求△OAB的面积最大值．‎ ‎【答案】(1) a＝1；(2) ‎(2)法一：曲线C的极坐标方程为ρ＝2acos θ(a>0)，‎ 设A的极角为θ，B的极角为θ＋，‎ 则S△OAB＝|OA|·|OB|sin ‎＝|2acos θ|· ‎＝a2，‎ ‎∵cos θcos＝cos2θ－sin θcos θ ‎＝·－sin 2θ ‎＝＋ ‎＝cos＋，‎ 所以当θ＝－时，‎ cos＋取得最大值.‎ ‎△OAB的面积最大值为.‎ 法二：因为曲线C是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆，且∠AOB＝，‎ 由正弦定理得＝2a，所以|AB|＝a.‎ 由余弦定理得|AB|2＝3a2‎ ‎＝|OA|2＋|OB|2－|OA|·|OB|‎ ‎≥|OA|·|OB|，‎ 所以S△OAB＝|OA|·|OB|sin≤×3a2×＝，‎ 所以△OAB的面积最大值为. ‎