2021版高考数学一轮复习核心素养测评三十二等差数列新人教B版

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核心素养测评三十二 等差数列 ‎(30分钟　60分)‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.若等差数列{an}的公差为d,则数列{}是 (　　)‎ A.公差为d的等差数列 B.公差为2d的等差数列 C.公差为nd的等差数列 D.非等差数列 ‎【解析】选B.数列{}其实就是a1,a3,a5,a7,…,奇数项组成的数列,它们之间相差2d.‎ ‎2.在等差数列{an}中,已知a2=2,前7项和S7=56,则公差d= (　　)‎ A.2 B.3 C.-2 D.-3‎ ‎【解析】选B.由题意可得 即解得 ‎【一题多解】选B.由等差数列的性质S7=7a4=56,‎ 所以a4=8,因此d==3.‎ ‎3.(2020·贵阳模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a6=2a3,则=(　　)‎ A. B. C. D.‎ 8‎ ‎【解析】选D.===.‎ ‎4.(2020·济南模拟)已知等差数列{an}的公差d为4,项数为偶数,所有奇数项的和为15,所有偶数项的和为55,则这个数列的项数为 (　　)‎ A.10 B.20 C.30 D.40‎ ‎【解析】选B.设等差数列{an}的项数为n,前n项和为Sn,‎ 则S偶-S奇=d=2n=40,n=20,即这个数列的项数为20.‎ ‎5.(多选)(2020·海南联考)在等差数列{an}中,已知a3+a9=0,且S9<0,则S1、S2、…、S9中最小的是 (　　)‎ A.S5 B.S6 C.S7 D.S8‎ ‎【解析】选AB.在等差数列{an}中,‎ 因为a3+a9=0,S9<0,‎ 所以a3+a9=2a6=0,S9==9a5<0,‎ 所以a5<0,a6=0,‎ 所以S1、S2、…、S9中最小的是S5或S6.‎ ‎【变式备选】‎ ‎(2019·北京高考)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=-3,S5=-10,则a5=________,Sn的最小值为________. ‎ ‎【解析】设公差为d,a2=a1+d=-3,‎ S5=5a1+d=-10,即a1+2d=-2,‎ 解得a1=-4,d=1,‎ 所以a5=a1+4d=0,‎ 8‎ Sn=na1+d=,‎ 当n=4或5时,Sn最小,为-10.‎ 答案:0　-10‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足-=1,则数列{an}的公差 是________. ‎ ‎【解析】设等差数列{an}的公差为d,因为-=1,‎ 所以2-3=6,‎ 所以6a1+6d-6a1-3d=6,所以d=2.‎ 答案:2‎ ‎7.(2019·全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,a1≠0,a2=3a1,则=________.  ‎ ‎【解析】设该等差数列的公差为d,因为a2=3a1,‎ 所以a1+d=3a1,故d=2a1(a1≠0,d≠0),‎ 所以====4.‎ 答案:4‎ ‎8.已知{an},{bn}都是等差数列,若a1+b10=9,a3+b8=15,则a5+b6=________.  ‎ ‎【解析】因为{an},{bn}都是等差数列,所以2a3=a1+a5,2b8=b10+b6,所以2(a3+b8)=(a1+b10)+(a5+b6),‎ 即2×15=9+(a5+b6),解得a5+b6=21.‎ 8‎ 答案:21‎ 三、解答题(每小题10分,共20分)‎ ‎9.在等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. ‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.‎ ‎【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,‎ 则an=a1+(n-1)d.‎ 由a1=1,a3=-3可得1+2d=-3,‎ 解得d=-2,从而an=1+(n-1)×(-2)=3-2n.‎ ‎(2)由(1)可知an=3-2n.‎ 所以Sn==‎ ‎2n-n2.由Sk=-35可得2k-k2=-35,‎ 即k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5.‎ 又k∈N*,故k=7.‎ ‎10.设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列的前n项和,求Tn. ‎ ‎【解析】设等差数列{an}的公差为d,则 Sn=na1+n(n-1)d.‎ 因为S7=7,S15=75,所以 即解得a1=-2,d=1.‎ 所以=a1+(n-1)d=-2+(n-1),‎ 8‎ 因为-=,所以数列是等差数列,其首项为-2,公差为,所以Tn=n2-n.‎ ‎(15分钟　35分)‎ ‎1.(5分)现给出以下几个数列:①2,4,6,8,…,2(n-1),2n;②1,1,2,3,…,n;③常数列a,a,a,…,a;④在数列{an}中,已知a2-a1=2,a3-a2=2.其中一定是等差数列的个数为 (　　)‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【解析】选B.①由4-2=6-4=…=2n-2(n-1)=2得数列2,4,6,8,…,2(n-1),2n为等差数列;②因为1-1=0≠2-1=1,所以数列1,1,2,3,…,n不是等差数列;③常数列a,a,a,…,a为等差数列;④当数列{an}仅有3项时,数列{an}是等差数列,当数列{an}的项数超过3项时,数列{an}不一定是等差数列,故一定是等差数列的个数为2.‎ ‎2.(5分)已知等差数列{an}的前9项和为27,a10=8,则a100= (　　)‎ A.100 B.99 C.98 D.97‎ ‎【解析】选C.设{an}的公差为d,由等差数列前n项和公式及通项公式,得 解得 an=a1+(n-1)d=n-2,所以a100=100-2=98.‎ ‎3.(5分)(2020·潍坊模拟)已知数列是等差数列,Sn是其前n项的和,则下列命题中真命题是 (　　)‎ A.若a5>a3,则a8>0 B.若a5>a3,则S8>0‎ C.若S5>S3,则S8>0 D.若S5>S3,则a8>0‎ ‎【解析】选C.令等差数列的公差d=1,a1=-12,‎ 对A选项,a5=-8>a3=-10,而a8=-5<0,故A错误;‎ 对B选项,因为a1=-12<0,a8=-5<0,所以S8=<0,故B错误;‎ 又对D选项,令等差数列的d=-2,a1=12,‎ 因为S5-S3=a5+a4=4+6=10>0,a8=-2<0,故D错误;‎ 8‎ 对C选项,因为S5-S3=a5+a4=a1+a8>0,‎ 所以S8=>0.‎ ‎【变式备选】‎ 已知数列{an}中,a2=,a5=,且是等差数列,则a7= (　　)‎ A.　　 B.　　 C.　　 D.‎ ‎【解析】选D.设等差数列的公差为d,则=+3d,即=+3d,解得d=2,所以=+5d=12,解得a7=.‎ ‎4.(10分)已知数列{an}满足a1=2,n(an+1-n-1)=(n+1)·(an+n)(n∈N*). ‎ ‎(1)求证数列是等差数列,并求其通项公式.‎ ‎(2)设bn=-15,求数列{|bn|}的前n项和Tn.‎ ‎【解析】(1)因为n(an+1-n-1)=(n+1)(an+n)(n∈N*).所以nan+1-(n+1)an=2n(n+1).‎ 所以-=2,所以数列是等差数列,其公差为2,首项为2,所以=2+2(n-1)=2n.‎ ‎(2)由(1)知an=2n2,所以bn=-15=2n-15,则数列{bn}的前n项和Sn==n2-14n.令bn=2n-15≤0,解得n≤7.5.所以当n≤7时,数列{|bn|}的前n项和Tn=-b1-b2-…-bn=-Sn=-n2+14n;‎ 8‎ 当n≥8时,数列{|bn|}的前n项和Tn=-b1-b2-…-b7+b8+…+bn=-2S7+Sn=-2×(72-14×7)+n2-14n=n2-14n+98.‎ 所以Tn=‎ ‎5.(10分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数. ‎ ‎(1)求证:-an=λ.‎ ‎(2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.‎ ‎【解析】(1)由题设,anan+1=λSn-1,‎ 知an+1=λSn+1-1.‎ 两式相减得,an+1(-an)=λan+1.‎ 由于an+1≠0,所以-an=λ.‎ ‎(2)存在.由a1=1,a1a2=λa1-1,可得a2=λ-1.‎ 由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.‎ 故-an=4,由此可得,‎ ‎{}是首项为1,公差为4的等差数列,‎ ‎=1+(n-1)·4=4n-3=2(2n-1)-1;‎ ‎{}是首项为3,公差为4的等差数列,=3+(n-1)·4=4n-1=2×(2n)-1.‎ 所以an=2n-1,an+1-an=2.‎ 所以数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列.‎ 因此存在λ=4,使得{an}为等差数列.‎ ‎1.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则等于 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选A.据等差数列前n项和性质可知:S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9仍成等差数列.‎ 8‎ 设S3=k(k≠0),则S6=3k,S6-S3=2k,‎ 所以S9-S6=3k,S12-S9=4k,‎ 所以S9=S6+3k=6k,S12=S9+4k=10k,‎ 所以==.‎ ‎2.项数为n的数列a1,a2,a3,…,an的前k项和为Sk(k=1,2,3,…,n),定义为该项数列的“凯森和”,如果项数为99项的数列a1,a2,a3,…,a99的“凯森和”为1 000,那么项数为100的数列100,a1,a2,a3,…,a99的“凯森和”为 (　　)‎ A.991 B.1 001‎ C.1 090 D.1 100‎ ‎【解析】选C.项数为99项的数列a1,a2,a3,…,a99的“凯森和”为1 000,所以=1 000,又100,a1,a2,a3,…,a99的“凯森和”为 ‎=‎ ‎100+=100+990=1 090.‎ 8‎