专题06 函数与导数（第02期）-2017年高考数学（理）备考之百强校大题狂练系列

专题06 函数与导数（第02期）-2017年高考数学（理）备考之百强校大题狂练系列

‎2017届高考数学（理）大题狂练 专题06 函数与导数 ‎1.已知函数.‎ ‎（1）若曲线上点处的切线过点，求函数的单调减区间；‎ ‎（2）若函数在上无零点 ，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ 试题解析：（1）因为,所以, 所以.又,所以,得 ,由,得,所以函数的单调减区间为.‎ ‎（2）因为当时，,所以在区间内恒成立不可能.所以要使函数在区间内无零点，只要对任意的恒成立，即对恒成立，令,则.再令,则,所以在区间内为减函数，所以 ‎, 所以.于是在区间内为增函数，所以,所以要使恒成立，只要.综上，若函数在区间内无零点，则实数的最小值为.‎ 考点：利用导数研究曲线上某点的切线方程；利用研究函数的单调性与最值.‎ ‎2.已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数零点的个数；‎ ‎（2）当时，求证：函数有且只有一个极值点；‎ ‎（3）当时，总有成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1)时，函数有且只有个零点；(2)证明见解析；（3）．‎ 试题解析：（1）当时，，令，得，‎ ‎0‎ ‎∴函数在区间上单调递增，在上单调递减．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ‎∵，‎ ‎∴函数在区间内有且只有一个零点；‎ 又当时，恒成立，‎ ‎∴函数在区间内没有零点．‎ 综上可知，当时，函数有且只有1个零点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ‎（3）∵当时，总有成立，‎ 即当时，总有成立，‎ 也就是函数在区间上单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 由可得在区间恒成立，‎ 即在区间恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 设，则，‎ 令，则，‎ ‎∴当时，，函数在区间上单调递减；‎ 当时，，函数在区间上单调递增；‎ ‎∴，‎ ‎∴所求的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：函数的综合问题．‎ ‎3.已知函数（）.‎ ‎（1）若曲线在点处与直线相切，求的值；‎ ‎（2）若函数有两个零点，，试判断的符号，并证明.‎ ‎【答案】（1）；（2）当时,，当时,，证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用函数在的导数等于，求得；（2）时，，为二次函数，两个零点为，，在两个零点中点处为二次函数的顶点，导数；当时，不妨设， ，，化简的表达式为的函数式，利用导数求得这个表达式的取值范围，由此判断的正负.‎ ‎（2）函数的定义域是. ………………………………………………………………………4分 若，则.‎ 令，则.‎ 又据题设分析知，‎ ‎∴，.‎ 又有两个零点，且都大于0，‎ ‎∴，不成立. ………………………………………………………………………………………………5分 据题设知 不妨设，，. ………………………………………………………………………………6分 所以.‎ 所以.‎ 又,‎ 所以 ‎.……………………………9分 引入（）,则.‎ 所以在上单调递减. ……………………………………………………………………………10分 而,所以当时,.‎ 易知,,‎ 所以当时,;当时,. ……………………………………………12分 考点：函数导数与不等式.‎ ‎4.已知函数.‎ ‎（1）若，且，曲线在点处的切线与轴，轴的交点坐标为，当取得最小值时，求切线的方程；‎ ‎（2）若不等式 对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 试题解析：‎ ‎（1）,切线斜率，切点为，所以切线的方程为，分别令 ，得切线与轴，轴的交点坐标为，，当，‎ 即时， 取得最小值，但且，所以当时，取得最小值.此时，切线的方程为，即.‎ 考点：导数与切线，导数与不等式.‎ ‎5.已知函数（），，．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，的两个极值点为，（）．‎ ‎①证明：；‎ ‎②若，恰为的零点，求的最小值．‎ ‎【答案】(1)当时，的单调增区间为，单调减区间为，当时，的单调递增区间为；(2)①证明见解析；②．‎ ‎【解析】‎ 试题分析： (1)对函数求导，对参数分类讨论，利用导数的正负求得函数的单调区间；(2)①对函数求导得，得的两根,即为方程 的两根；利用韦达定理得，，令（），由，得，两边同时除以，得，且，求得的取值范围，从而证得结论；②由，为的零点，代入相减得，故，令（），，求导后利用函数的单调性求得其最小值，从而求得所求结果.‎ ‎②∵，为的零点，‎ ‎∴，，‎ 两式相减得，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 令（），，‎ 则，在上是减函数，‎ ‎∴，‎ 即的最小值为．‎ 考点：导数在研究函数中的应用.‎ ‎6.设函数的定义域，若对任意，都有，‎ 则称函数为“storm”函数.已知函数的图象为曲线，直线 与曲线相切于.‎ ‎（1）求的解析式； ‎ ‎（2）设，若对，函数为“storm”函数，求实数的最小值. ‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 试题解析：(1)， ‎ 又∵在直线上，∴，‎ ‎∴，∴‎ ‎∴，‎ 由列表可知：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎∴在上递减.‎ ‎（2）已知条件等价于在上，.‎ ‎∵在上为减函数，且，∴，‎ ‎∴在上为减函数，‎ ‎∴，‎ ‎，∴，得 或，又，∴.‎ 考点：1、利用导数求曲线切线斜率、研究函数的单调性；2、利用导数求函数的最值及新定义问题.‎