2018-2019学年宁夏银川一中高二上学期期末考试数学（理）试题 解析版

2018-2019学年宁夏银川一中高二上学期期末考试数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 宁夏银川一中2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）‎ ‎（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】由题意，其对应的点坐标为，位于第二象限，故选B.‎ 考点：1.复数的运算；2.复数的几何意义.‎ ‎2．工商局对超市某种食品抽查，这种食品每箱装有6袋，经检测某箱中每袋的重量（单位：克）如以下茎叶图所示．则这箱食品一袋的平均重量和重量的中位数分别为（ ）‎ A．249,248 B．249,249 C．248,249 D．248,248‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由茎叶图，能求出食品的平均重量和重量的中位数．‎ ‎【详解】‎ 解：由茎叶图知，这箱食品一袋的平均重量为．‎ 重量的中位数为．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由茎叶图求平均数以及中位数，属于基础题．‎ ‎3．从中任取个不同的数，则取出的个数之差的绝对值为的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2个，共有种结果，满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2的有两种，由古典概型得到概率．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2个，共有种结果，满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2，有2种结果，分别是，，故所求的概率是．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等可能事件的概率,解题关键是事件数是一个组合数，结合古典概型求解，属于基础题．‎ ‎4．我国古代数学名著《九章算术》有题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）‎ A．134石 B．169石 C．338石 D．365石 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据254粒内夹谷28粒，可得比例，进而可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意，这批米内夹谷约为石，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用样本估计总体，用数学知识解决实际问题，属于基础题．‎ ‎5．曲线在点处的切线的斜率为(　 　)‎ A．-4 B．-2 C．2 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求导函数，再求时的导数值，根据导数的几何意义，可求切线的斜率．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意，，‎ 当时，‎ 即曲线在点处切线的斜率为．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题以曲线切线为载体，考查导数的几何意义，解题的关键是理解导数的几何意义并正确求出导函数，属于基础题．‎ ‎6．执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（ ）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦满足条件就退出循环，输出结果．‎ ‎【详解】‎ 解：模拟执行程序，可得：，，‎ 第1次执行循环体，，‎ 不满足条件，第2次执行循环体，，，‎ 不满足条件，第3次执行循环体，，，‎ 不满足条件，第4次执行循环体，；，‎ 不满足条件，第5次执行循环体，；，‎ 满足条件，退出循环，此时．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查算法中程序框图及循环结构等知识,属于基础题．‎ ‎7． （　　）‎ A． B．-1 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出被积函数的原函数，分别代入积分上限和积分下限作差得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：‎ ‎．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了定积分，解答的关键是求出被积函数的原函数，属于基础题．‎ ‎8．将石子摆成如图的梯形形状,称数列5,9,14,20，…为“梯形数”，根据图形的构成，此数列的第2016项与5的差，即＝(　　) ‎ A．2018×2013 B．2018×2015 C．1011×2013 D．1011×2015‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据编号与图中石子的个数之间的关系，分析他们之间存在的关系，并进行归纳，得到一般性规律，即可求得结论．‎ ‎【详解】‎ 解：由已知可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：‎ 时，；‎ 时，；‎ 由此可以推断：‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查归纳推理，通过观察从已知的相同性质中推出一个一般性命题，属于基础题．‎ ‎9．在棱长为2的正方体中，点为底面的中心，在正方体内随机取一点，则点到点的距离大于1的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 本题考查几何概型，空间几何体的体积，空间想象能力.‎ 到点的距离不大于1的点在以点为球心，1为半径的半球内；其体积为 正方体体积为则在正方体内随机取一点，则点到点的距离大于1的概率为故选B ‎10．已知，若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）.‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，，由函数在上单调递减，可知在区间上恒成立即可求解.‎ ‎【详解】‎ 因为，函数在区间上单调递减，所以在区间上恒成立，只需，即解得 或，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数、函数的单调性，二次函数的性质及不等式的恒成立问题，属于难题.解决三次函数的单调性问题，一般要考虑求导数，利用导数研究函数的单调区间或者是求参数的取值范围，若函数在某区间单调，则转化为函数的导数在区间上大于等于零（或小于等于零）恒成立.‎ ‎11．函数的定义域是，，对任意，，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，利用导数可判断函数的单调性，由已知条件可得函数的零点，由此可解得不等式．‎ ‎【详解】‎ 解：‎ 令，则，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，即在上单调递增，‎ 又，，‎ 故当时，，即，整理得，‎ 的解集为．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数分析函数单调性的性质及其应用, 并求解抽象不等式，综合性较强，属于难题．‎ ‎12．已知函数的两个极值点分别在与内，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意知有两根分别在与内，所以，画出可行域，利用线性规划可得，故选A.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．复数的共轭复数是___________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复数代数形式的除法运算化简复数，求出即可．‎ ‎【详解】‎ 解： ，‎ 复数的共轭复数是 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础题．‎ ‎14．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(2)＝________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将（1）看成常数利用导数的运算法则求出，令即可求出（2）．‎ ‎【详解】‎ 解：（1），‎ 令得（1）（1），‎ ‎，所以f(x)＝-2x＋lnx， ，‎ 令得（2） ‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求出导函数值，属于基础题．‎ ‎15．已知函数，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，由题意有2个不等实根，则，即，又的取法共有种，而满足的有共6种，故所求的概率为．‎ 考点：利用导数求极值、概率.‎ ‎16．若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在有解求的取值范围即可．‎ ‎【详解】‎ 解：有垂直与轴的切线，‎ 函数在某一个点处的导数等于零．由函数的表达式可知的定义域为，‎ ‎，根据上面的推断，即方程有解．即等于价于有解时求的取值范围．结合为正数，分离得，故.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究曲线上存在某点的切线方程的应用，合理地等价转化成有解问题是解题关键，属于中档题．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．（1）若复数是实数（其中是虚数单位）,则求的值.‎ ‎（2）求曲线，直线及y轴所围成的封闭图形的面积.‎ ‎【答案】（1） ；（2） .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先化简复数再令虚部为0，求解即可．‎ ‎（2）利用微积分基本定理即可求出．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为是实数,‎ 所以，所以.‎ ‎(2)由解得，故面积为.‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）本题考查复数的运算和基本概念，考查计算能力；（2）考查微积分基本定理求解区域面积，均属于基础题．‎ ‎18．下图为某校数学专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）频率分布直方图，已知80-90分数段的学员数为21人。‎ ‎（1）求该专业毕业总人数N和90-95分数段内的人数；‎ ‎（2）现欲将90-95分数段内的n名人分配到几所学校，从中安排2人到甲学校去，若n人中仅有两名男生，求安排结果至少有一名男生的概率.‎ ‎【答案】（1）6；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据题中所给的频率分布直方图找某些信息即可得结果，第二问根据题意找出对应的基本事件总数，再找出满足条件的基本事件数，从而得出结果．‎ 试题解析：（1）分数段频率为,此分数段的学员总数为人所以毕业生的总人数为，分数段内的人数频率为 ‎ ，所以分数段内的人数；‎ ‎（2）分数段内的人中有两名男生,名女生设男生为；女生为,设安排 结果中至少有一名男生为事件从中取两名毕业生的所有情况（基本事件空间）为 ‎ 共种 组合方式,每种组合发生的可能性是相同的其中, 至少有一名男生的种数为 共种， 所以,．‎ 考点：（1）频率分布直方图；（2）古典概型．‎ ‎19．已知函数在处有极值.‎ ‎（1）求的值和函数的单调区间；‎ ‎（2）求函数在区间上的最值.‎ ‎【答案】（1）；单增区间为；单减区间为； （2）最大值为；最小值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据导数和函数的极值得关系即可求出，的值；再让导函数大于0对应区间为增区间，小于0对应区间为减区间即可．（注意是在定义域内找单调区间 ‎（2）由（1）可知区间函数单调递减，在区间函数单调递增，即可求出最值，特别注意最大值要比较和的大小.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 由题意；‎ 所以，定义域为 ‎ 令，单增区间为；‎ 令，单减区间为 ‎（2）由（1）知在区间函数单调递减，在区间函数单调递增，‎ 所以，而，，显然，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数和函数的极值最值的关系，属于中档题．‎ ‎20．已知向量．‎ ‎（1）若，且，求满足的概率．‎ ‎（2）若分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足的概率.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知得到满足的事件概率符合几何概型的概率，只要求出区域的面积比即可；‎ ‎（2）符合古典概型概率的求法，只要列举出所有的事件和满足的事件，由古典概型概率公式解答．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）用表示事件“”，即试验的全部结果所构成的区域为，构成事件B的区域为，‎ 如图所示，所以所求的概率为 ‎(2)设表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有，‎ ‎，共个，用A表示事件“”，即，则A包含的基本事件有，共3个，所以。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了两类概率的求法；古典概型的概率主要明确所有事件和所求事件的个数，由古典概型的概率公式解答；几何概型的概率求法要由具体的实验决定事件的测度是区域的长度还是面积或者体积，然后由概率公式解答，属于基础题．‎ ‎21．设函数,其中为自然对数的底数.‎ ‎（Ⅰ）时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）函数是的导函数，求函数在区间上的最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ） 见解析；（Ⅱ） 见解析 ‎【解析】试题分析：（1）求切线方程，先求导数，得出， ，切线方程为；‎ ‎（2）由题意，则，注意，从而，根据分类讨论的正负，得的单调性，从而求得最小值．‎ 试题解析：（1）时， ‎ ‎∵，‎ ‎∴， ‎ ‎∴曲线在点处的切线方程为 即 ‎（2），‎ ‎， ‎ ‎（1）当时,∵， ，∴恒成立，‎ 即, 在上单调递增,‎ 所以.‎ ‎（2）当时,∵， ，∴恒成立，‎ 即, 在上单调递减,‎ 所以.‎ ‎（3）当时， 得 在上单调递减,在上单调递增,‎ 所以 考点：导数的几何意义，用导数研究函数的最值．‎ ‎【名师点睛】设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：求f(x)在(a，b)内的极值，若函数f(x)中含有参数，则需要讨论参数的范围，从而决定极值存在的位置；)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，得出函数f(x)在[a，b]上的最值.函数在区间上只有一个极小值，这个极小值一定是最小值，函数在区间上只有一个极大值，这个极小值一定是最大值．‎ ‎22．已知函数，.‎ ‎（1）当时，求的单调区间；‎ ‎（2）若函数在上没有零点，求实数的取值范围. ‎ ‎【答案】（1）增区间为，减区间为.（2）‎ ‎【解析】分析：（1）求出导函数，解不等式得增区间，解不等式得减区间；‎ ‎（2）分离参数得，设，可选求出的值域．因此再求出，研究的正负，为此设，再通过可得出是增函数，从而有，那么的范围是．‎ 详解：（1）当时，‎ ‎，，‎ ‎∴，‎ 令，解得：，‎ 令，解得：，‎ 故的增区间为，减区间为.‎ ‎（2）令得，‎ 令得，‎ 再令，，则，‎ 故在上为减函数，‎ 于是，，‎ ‎∴在恒成立，即在递增，‎ ‎∴，‎ 若函数在内没零点，则.‎ 点睛：函数有某区间没有零点问题，即方程在此区间无解，因此可用分离参数法分离参数为，然后可求得在区间的值域，而的范围就是此值域在实数集R上的补集．‎