黑龙江省大庆实验中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

黑龙江省大庆实验中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

大庆实验中学2019-2020学年度上学期期中考试 高三数学（理科）试题 一、选择题（单选题，共60分）‎ ‎1.若，，与的夹角为,则（ ）‎ A. B. C. 1 D. -2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的数量积运算即可.‎ ‎【详解】‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查数量积的基本运算,属于基础题型.‎ ‎2.已知复数满足，若的虚部为-2，则（ ）．‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据求得再根据虚部为-2求得,进而求得 ‎【详解】由,又的虚部为-2,故 故,故 故选B ‎【点睛】本题主要考查复数的一般运算与模长公式等,属于基础题型.‎ ‎3.已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解出集合中的范围,再求交集即可.‎ ‎【详解】由有,即,又中即.‎ 故 故选C ‎【点睛】本题主要考查二次不等式的求解与集合的基本运算,属于基础题型.‎ ‎4.过点且与直线平行的直线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据平行线的斜率相等,再利用点斜式得出方程即可.‎ ‎【详解】直线的斜率为,故过点的直线方程为 ‎ 化简得 故选C ‎【点睛】本题主要考查直线的方程,包括点斜式的用法与平行线的性质等,属于基础题型.‎ ‎5.已知为奇函数，则的一个取值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用奇函数在0处有定义时,化简得再观察满足的选项即可.‎ ‎【详解】由为奇函数知,显然 ‎,‎ 故,观察选项知的一个取值是 故选D ‎【点睛】本题主要考查三角函数的同角关系与三角函数求值问题,属于基础题型.‎ ‎6.已知等差数列的前n项和为，，，当取最大值时n的值为（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列求和公式知,进而得出取最大值时n的值即可.‎ ‎【详解】因为,所以,即,又,‎ 故等差数列公差,当取最大值时n的值为4‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查首项为正公差为负的等差数列的前项和的最大值问题,当 时取得前项和的最大值,属于基础题型.‎ ‎7.若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对A,B举反例说明即可,C,D根据单调性进行分析即可.‎ ‎【详解】对A,当时,故A错误.‎ 对B, 当时,故B错误.‎ 对C, 则即成立,故C正确.‎ 对D,因为为增函数所以时,故D错误.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查不等式的性质与函数的单调性等,属于基础题型.‎ ‎8.已知三棱锥A-BCD，点E、F、G分别是BC、AC、AD的中点，直线AB与CD所成的角为，则的大小是（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出图像分析可得和直线AB与CD所成的角相等或者互补.‎ ‎【详解】由题得为的中位线,故∥,同理得∥,故AB与CD所成的角为与所成的角,又和直线与所成的角相等或者互补.‎ 即可能为或 故选C ‎【点睛】本题主要考查立体几何中平行与角的运用,注意中位线的用法即可,属于基础题型.‎ ‎9.已知双曲线，双曲线的焦点在轴上，它的渐近线与双曲线相同，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的焦点在轴上,设,则渐近线方程为.又渐近线与双曲线相同,列出关于的关系式化简求离心率即可.‎ ‎【详解】因为双曲线的焦点在轴上,故设,则渐近线方程为.‎ 又渐近线与双曲线相同为,即,故,‎ 故的离心率.‎ 故选B ‎【点睛】焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为,双曲线离心率.属于基础题型.‎ ‎10.已知在中,， ，则三角形（ ）‎ A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角、直角或钝角三角形都可能 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断三角形的形状求最大角的余弦值即可,利用余弦定理求解三边的关系,注意接近,故利用角的余弦定理结合进行的余弦值范围的判断即可.‎ ‎【详解】设中的对边分别为则 ‎ 因为,故,‎ 即.‎ 故 ‎ 即,故为钝角 故选C ‎【点睛】本题主要考查解三角形中对三角形形状判断的应用,属于中等题型.‎ ‎11.过某一圆锥的高的中点和一个三等分点（该三等分点距圆锥顶点比距圆锥底面圆心更近），分别作平行于该圆锥底面的平面，圆锥被分割成三个部分，则这三个部分的侧面积之比为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设底面半径为,母线长为,再分别表示出三部分的侧面积即可.‎ ‎【详解】设底面半径为,母线长为,则圆锥被分割成的三个圆锥的侧面积分别为 ‎,,‎ 故圆锥被分割成三个部分的侧面积分别为,‎ ‎,‎ 故侧面积比为 故选C ‎【点睛】本题主要考查立体几何中比例关系,注意设半径与母线长分别表示需要表达的量再求比值即可,属于基础题型.‎ ‎12.设函数，其中，若不等式有且只有三个整数解，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将变形为，利用导数研究的单调性，画出图像，通过图像，结合不等式有且只有三个整数解，列不等式组，解不等式组求得 的取值范围.‎ ‎【详解】不等式可化为.令，，所以在上递增，在上递减，且当时，，时，，时，.由此画出的图像如下图所示.函数过点，依题意有且只有三个整数解，即在图像下方的部分，有且只有三个整数满足.由图可知，.，所以，，所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查根据不等式的整数解的个数求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ 二、填空题（共20分）‎ ‎13.已知是与的等比中项，则圆锥曲线的离心率是_____．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由是与的等比中项算出,再分两种情况计算圆锥曲线的离心率即可.‎ ‎【详解】由是与的等比中项有,故.‎ 当时圆锥曲线方程,为焦点在轴双曲线,其中,此时离心率 当时圆锥曲线方程,,为焦点在轴的椭圆,其中,此时离心率 故答案为或 ‎【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线方程运用,属于基础题型.‎ ‎14.设曲线在点处的切线方程为,则_______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导后代入即可算得在点处的切线斜率,与斜率相等,列式求得即可.‎ ‎【详解】由有,故在点处的切线斜率为,又切线方程为,故 故答案为1‎ ‎【点睛】本题主要考查导函数的几何意义,在某点处导函数的值等于在该点处切线的斜率,属于基础题型.‎ ‎15.已知，则______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合解方程组，求得的值，由此求得的值.‎ ‎【详解】由，解得，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎16.已知四个命题：①，②，③，④，正确命题的序号是______.（填写所有正确答案的序号）‎ ‎【答案】①③④.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数、对数函数幂函数的性质，结合导数对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的序号.‎ ‎【详解】①，，所以，故，所以①正确.‎ ‎②，当时，函数与函数有个交点，结合图像可知，当时，，而，所以.故②错误.‎ ‎③，，，所以在上递增，在上递减，所以，即，化简得，故③正确.‎ ‎④，，，所以在上递增，在上递减，在处取得极大值也即是最大值，即，所以，即，化简得，故④正确.‎ 故答案为：①③④‎ ‎【点睛】本小题主要考查指数函数、对数函数与幂函数的图像与性质，考查利用导数比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17.已知等差数列的前项和为，且，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)用基本量法求解首项与公差即可算得通项公式 ‎(2)由,裂项相消后代入即可.‎ ‎【详解】解：(1)设数列的公差为,则 ‎,解得,,.‎ ‎(2)由(1)知,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查基本量法求等差数列的方法以及简单的裂项相消问题,属于基础题型.‎ ‎18.网购是现在比较流行的一种购物方式，现随机调查50名个人收入不同的消费者是否喜欢网购，调查结果表明：在喜欢网购的25人中有18人是低收入的人，另外7人是高收入的人，在不喜欢网购的25人中有6人是低收入的人，另外19人是高收入的人.‎ 喜欢网购 不喜欢网购 总计 低收入的人 高收入的人 总计 ‎（Ⅰ）试根据以上数据完成列联表，并用独立性检验的思想，指出有多大把握认为是否喜欢网购与个人收入高低有关系；‎ ‎（Ⅱ）将5名喜欢网购的消费者编号为1、2、3、4、5，将5名不喜欢网购的消费者编号也记作1、2、3、4、5，从这两组人中各任选一人进行交流，求被选出的2人的编号之和为2的倍数的概率.‎ 参考公式：‎ 参考数据：‎ ‎0.10‎ ‎005‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（Ⅰ）填表见解析，有的把握认为是否喜欢网购与个人收入高低有关系；‎ ‎（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据题目所给数据填写好列联表，计算的值，由此判断出有的把握认为是否喜欢网购与个人收入高低有关系.‎ ‎（Ⅱ）利用分步乘法计数原理、分类加法计数原理，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.‎ ‎【详解】（Ⅰ）列联表如下：‎ 喜欢网购 不喜欢网购 总计 低收入的人 ‎18‎ ‎6‎ ‎24‎ 高收入的人 ‎7‎ ‎19‎ ‎26‎ 总计 ‎25‎ ‎25‎ ‎50‎ ‎，假设喜欢网购与个人收入高低没有关系，则；‎ 故有的把握认为是否喜欢网购与个人收入高低有关系；‎ ‎（Ⅱ）由题意，共有种情况.‎ 和为2的有1种，和为4的有3种，和为6的有5种，和为8的有3种，和为10的有1种，‎ 故被选出的2人的编号之和为2的倍数概率为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查列联表独立性检验，考查分步乘法计数原理、分类加法计数原理，考查古典概型概率计算，属于基础题.‎ ‎19.如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，.‎ ‎（Ⅰ）求平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值；‎ ‎（Ⅱ）点是线段上的动点，当直线与所成角最小时，求线段的长度.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系.利用平面和平面的法向量，计算出平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值.‎ ‎（Ⅱ）利用向量共线得到的坐标.利用向量法求得直线与所成角为的余弦值的平方的表达式，还原后利用配方法求得的最大值，即求得的最大值，根据余弦函数的单调性可知，此时直线与所成角最小.根据最值成立的条件，求得线段的长度.‎ ‎【详解】（Ⅰ）分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系.‎ ‎，，，，，‎ 则，，‎ 取平面的法向量，设平面的法向量为，‎ 则，，即，解得，取，则.‎ 设平面与平面所成二面角（锐角）为，‎ 则.‎ ‎（Ⅱ）设（其中），‎ ‎，设当直线与所成角为，则，‎ ‎，‎ 令，，则，‎ 则，‎ 当，即，时，取得最大值，最大值为，此时取得最大值.‎ 由余弦函数单调性可知，此时锐角取得最小值，且.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用空间向量法求二面角的余弦值，考查利用空间向量法研究异面直线所成角的最小值，考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；‎ ‎（Ⅱ）设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线.‎ ‎【答案】（Ⅰ）在，单调递增，证明见解析；（Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先求得函数的定义域，利用导数求得函数的单调区间，结合零点存在性定理证得有且仅有两个零点.‎ ‎（Ⅱ）令，得.利用求得曲线在处的切线，求得与此切线的斜率相等的曲线的切线方程，利用判断出这两条切线方程相同，由此证得结论成立.‎ ‎【详解】（Ⅰ）的定义域为，‎ 因为，所以在，单调递增.‎ 因为，，所以在有唯一零点，‎ 因为，由，得；‎ 因为，所以在有唯一零点.‎ 综上，有且仅有两个零点.‎ ‎（Ⅱ）由题设知，即，‎ 由，得，曲线在处的切线为：‎ ‎，即.‎ 由，得，则曲线的斜率为的切线的切点横坐标满足，解得，代入，得，‎ 故曲线的斜率为的切线方程为，即，‎ 由，得，从而与为同一条直线.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和零点，考查利用导数研究函数的切线，考查零点存在性定理，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎21.已知椭圆：，短轴长为，离心率为，直线与椭圆交于不同的两点，.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点，且的面积为，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据短轴长、离心率以及列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.‎ ‎（Ⅱ）联立直线的方程和椭圆的方程，写出判别式、韦达定理，利用的面积列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意得，‎ 解得，所以椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）方法1：由得.‎ 所以判别式，，‎ 设点，的坐标分别为，，‎ 所以，由的面积，即，令，，得，整理，得，解得或（舍），则，，故.‎ 方法2：由得.‎ 所以判别式，‎ 设点，的坐标分别为，，‎ 所以，‎ 又因为点到直线的距离，‎ 所以的面积 ‎，‎ 由，整理得：，‎ 解得或（舍），故.‎ ‎【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆中三角形面积的有关计算，考查运算求解能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的普通方程与圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）若与相交于，两点，，求.‎ ‎【答案】(1) 直线的普通方程为.圆的直角坐标方程为.(2)12‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据所给的参数方程消去参数即可. (2)将参数方程改写成标准形式(为参数),再代入求得交点的对应的参数关系与韦达定理.再利用直线的参数方程的几何意义求解即可.‎ ‎【详解】(1)将直线的参数方程消去参数,‎ 得直线的普通方程为.‎ 由,得,则圆的直角坐标方程为.‎ ‎(2)将直线的参数方程变为(为参数),代入,得,则,‎ 故.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线参数方程的几何意义,注意参数方程需写成标准的结构,参数才有几何意义.属于基础题型.‎ ‎23.已知函数，．‎ ‎（1）求的解集；‎ ‎（2）若有两个不同的解，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ;(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)分,,三种情况进行去绝对值再写成分段函数分情况讨论即可. (2)画出的函数图像,数形结合判断有两个不同的解即与有两个交点时的取值范围即可.‎ ‎【详解】解：(1)由绝对值的意义可得：,‎ ‎①当时,得：无解,‎ ‎②当时,,解得：,‎ ‎③当时,,解得：,‎ 综合①②③可得的解集为：；‎ ‎(2)若有两个不同的解,即的图象与直线有两个交点,‎ 当过点时,,‎ 当与中的第一段重合时,‎ 结合图象可得．‎ 故的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法以及数形结合的思想,属于中等题型.‎ ‎ ‎ ‎ ‎