江苏省如皋、如东2020届高三上学期期中考试数学试题 含解析

江苏省如皋、如东2020届高三上学期期中考试数学试题 含解析

江苏省如皋、如东2019—2020学年度第一学期期中考试 高三数学 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）‎ ‎1．已知集合A＝，B＝{﹣1，2，3}，则AB＝ ．‎ 答案：{2，3}‎ 考点：集合的交集运算 解析：∵集合A＝，‎ ‎ ∴集合A＝(0，)‎ ‎ ∵B＝{﹣1，2，3}，‎ ‎ ∴AB＝{2，3}．‎ ‎2．若，则的实部为 ．‎ 答案：1‎ 考点：虚数 解析：∵，‎ ‎ ∴，‎ ‎ 故的实部为1．‎ ‎3．已知＝(3，4)，＝3，则 ．‎ 答案：4‎ 考点：与向量的模有关的计算 解析：∵＝(3，4)，‎ ‎ ∴，‎ ‎ 则，即①，‎ ‎ 由＝3，得②，‎ ‎ 由①，②解得4．‎ ‎4．已知函数，若，则实数 ．‎ 答案：﹣1‎ 考点：分段函数 解析：当时，，‎ ‎ 故时，，∴，‎ ‎ 当a≥1时，，‎ ‎ 故a＜1时，，故a＝﹣1．‎ ‎5．双曲线(a＞0，b＞0)的渐近线方程为，且过点(5，)，则其焦距为 ．‎ 答案：7‎ 考点：双曲线的性质 解析：∵双曲线(a＞0，b＞0)的渐近线方程为，‎ ‎ ∴①，‎ ‎ ∵双曲线(a＞0，b＞0)过点(5，)，‎ ‎ ∴②，‎ ‎ 由①、②解得：，，‎ ‎ ∴，即，，‎ ‎ 故该双曲线的焦距为7．‎ ‎6．已知(m，n)为直线上一点，且，则的最小值为 ．‎ 答案：‎ 考点：基本不等式 解析：∵(m，n)为直线上一点，‎ ‎ ∴，‎ ‎ ∴‎ ‎ 当且仅当m＝4，n＝8时取“＝”，‎ ‎ 故的最小值为．‎ ‎7．若函数()的图象关于直线对称，则＝ ．‎ 答案：‎ 考点：三角函数的图像与性质 解析：∵函数()的图象关于直线对称，‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴，‎ ‎ ∵，‎ ‎ ∴．‎ ‎8．在棱长为6的正方体ABCD—A1B1C1D1中，F为棱AD的中点，E为线段CC1上一点，则三棱锥E—FDD1的体积为 ．‎ 答案：18‎ 考点：棱锥体积 解析：．‎ ‎9．已知A＝[0，2]，B＝，若AB，则实数的最大值为 ．‎ 答案：﹣1‎ 考点：不等式恒成立 解析：由题意，得[0，2]，不等式恒成立，‎ ‎ 参变分离得对[0，2]恒成立，‎ ‎ 令，则，‎ ‎ 当0＜x＜1，＜0，即在(0，1)上单调递减，‎ ‎ 当1＜x＜2，＞0，即在(1，2)上单调递增，‎ ‎ 故x＝1时，，故a≤﹣1，则实数的最大值为﹣1．‎ ‎10．已知等差数列的公差为﹣2，且，，成等比数列，则该等比数列的公比为 ．‎ 答案：‎ 考点：等差数列的通项公式，等比中项的运用 解析：∵等差数列的公差为﹣2，‎ ‎ ∴，，，‎ ‎ ∵，，成等比数列，‎ ‎ ∴，即，‎ ‎ 化简得：，‎ ‎ 故公比q＝．‎ ‎11．如图，已知点O(0，0)，A(2，0)，P是曲线(0≤x≤1)上一个动点，则的最小值是 ．‎ 答案：‎ 考点：平面向量数量积 解析：设P(，)，‎ ‎ ∴＝(，)，＝(，)，‎ ‎ 故，‎ ‎ ∵0≤x≤1，∴时，有最小值为．‎ ‎12．已知，x(0，)，则＝ ．‎ 答案：‎ 考点：同角三角函数关系式，二倍角公式 解析：∵0＜x＜，∴＜＜，‎ ‎ ∵＞0，故＜＜，‎ ‎ 又当＜＜0时，，与矛盾，‎ ‎ ∴0＜＜，则，‎ ‎ ∴‎ ‎．‎ ‎13．已知椭圆(a＞b＞0)的离心率，A、B分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB的倾斜角分别为、，则的值为 ．‎ 答案：‎ 考点：椭圆的性质 解析：∵椭圆的离心率，‎ ‎ ∴‎ ‎ 即，则，解得，‎ ‎ ∵A、B分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，‎ ‎ ∴＝，‎ ‎ ∴‎ ‎ ．‎ ‎14．已知函数，曲线上总存在两点M(，)，N(，)使曲线在M、N两点处的切线互相平行，则＋的取值范围为 ．‎ 答案：(8，)‎ 考点：导数的几何意义，不等式恒成立，基本不等式 解析：∵，‎ ‎ ∴，‎ ‎ ∵曲线在M、N两点处的切线互相平行，‎ ‎ ∴，即，‎ ‎ ∴，之所以取不到等号是因为≠，‎ ‎ 从而，对≥2恒成立，‎ ‎ ∴，故＋的取值范围为(8，)．‎ 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎15．（本题满分14分）‎ 在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．‎ ‎（1）求角A；‎ ‎（2）若，△ABC的面积，求的值．‎ 解：（1）由，及余弦定理得 ‎，又，得． ‎ 因为△ABC为锐角三角形，所以，故．‎ ‎（2）因为，，根据余弦定理得 ‎， ‎ 又，解得 ．……①‎ 所以，即．‎ 又，所以 ……②‎ 根据①②得，，所以，的值为1．‎ ‎16．（本题满分14分）‎ 如图，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点．‎ ‎（1）求证：AC1∥平面PBD；‎ ‎（2）求证：BD⊥A1P．‎ ‎（1）证明：连结交于点，连结，‎ 因为四边形是正方形，对角线交于点 ，‎ 所以点是的中点，所以．‎ 又因为点是侧棱的中点，所以． ‎ 在中，,‎ 所以．‎ 又因为，，‎ 所以平面．‎ ‎（2）证明：连结.‎ 因为为直四棱柱，‎ 所以侧棱垂直于底面，‎ 又平面，所以．‎ 因为底面是菱形，所以．‎ 又，,所以．‎ 又因为,所以，因为，‎ 所以，‎ 所以．‎ ‎17．（本题满分14分）‎ 设等差数列的前n项和为，已知＝1，＝22．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若从中抽取一个公比为q的等比数列，其中k1＝1，且k1＜k2＜…＜kn＜…．当q取最小值时，求的通项公式．‎ 解：（1）设等差数列的公差为，则 ‎，解得， ‎ 所以.‎ ‎（2）法一：因为{ak}为公比q的等比数列，，所以 ‎ 又，所以，即，所以.‎ 又k1＝1，k1+1＝2，‎ 所以是公比q的等比数列，所以. ‎ 因为，所以，且公比q为正整数，解得，‎ 所以最小的公比．‎ 所以． ‎ 法二：因为数列是正项递增等差数列，所以数列的公比，‎ 若，则由，得，此时，由，‎ 解得，所以，同理； ‎ 若，则由，得，此时，‎ 另一方面，，所以，即，‎ 所以对任何正整数，是数列的第项．所以最小的公比． ‎ 所以． ‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ ‎ 在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆E：(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1、A2，上、下顶点分别为B1、B2．设直线A1B1倾斜角的余弦值为，圆C与以线段OA2为直径的圆关于直线A1B1对称．‎ ‎（1）求椭圆E的离心率；‎ ‎（2）判断直线A1B1与圆C的位置关系，并说明理由；‎ ‎（3）若圆C的面积为，求圆C的方程．‎ O A1‎ A2‎ B1‎ B2‎ x y 解：（1）设椭圆E的焦距为2c（c>0），‎ 因为直线的倾斜角的余弦值为，所以， ‎ 于是，即，所以椭圆E的离心率 ‎ ‎（2）由可设，，则，‎ 于是的方程为：， ‎ 故的中点到的距离， ‎ 又以为直径的圆的半径，即有，所以直线与以为直径的圆相切．‎ 因为圆与以线段为直径的圆关于直线对称，‎ 所以直线与圆相切． ‎ ‎（3）由圆的面积为知，圆半径为2，从而， ‎ 设的中点关于直线：的对称点为，‎ 则解得． ‎ 所以，圆的方程为．‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 如图，有一块半圆形空地，开发商计划建造一个矩形游泳池ABCD及左右两侧两个大小相同的矩形休息区，其中半圆的圆心为O，半径为R，矩形BEFG的一边BG在BC上，矩形AHIJ的一边AH在AD上，点C，D，F，I在圆周上，E，J在直径上，且∠EOF＝，设∠BOC＝，(，)．若每平方米游泳池的造价与休息区造价之比为：1．‎ ‎（1）记游泳池及休息区的总造价为，求的表达式；‎ ‎（2）为进行投资预算，当为何值时，总造价最大？并求出总造价的最大值．‎ 解：（1）设游泳池每平方米的造价为，休息区每平方米造价为，‎ 则在矩形中，，‎ 所以，. ‎ 在矩形中，，‎ 所以，. ‎ 所以，.‎ ‎（2）由（1）得， ‎ ‎，‎ 因为，所以.‎ 令，解得.因为，所以.‎ 列表如下：‎ ‎0‎ 极大值 所以，当时，总造价取得极大值，即最大值为. ‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 已知函数，．‎ ‎（1）若函数在(0，)上单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若直线是函数图象的切线，求的最小值；‎ ‎（3）当时，若直线与函数图象有两个交点，求实数的取值范围．‎ 解：（1）由，得，则 ‎，‎ 因为在上单调递增，所以，，，‎ 即，，令，在上单调递增，且能取到上一切实数，所以，故实数的取值范围为．‎ ‎（2）设切点为，则切线方程为，‎ 因为直线是函数图象的切线，‎ 所以，，所以，‎ 令， ，则 当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，所以．‎ 所以的最小值为．‎ ‎（3）当时，令，则．‎ 当时，，在上单调递增，在上至多一个零点， ‎ 故．令方程的大根为，则．‎ 当时，，在上单调递增；‎ 当时，，在上单调递减．‎ 因为在上有两个零点，所以，‎ 解得（构造函数，根据单调性求解），‎ 所以． ‎ 取，则，‎ 根据零点存在性定理，在上至少有一个零点，又在上单调递增，‎ 所以在上只有一个零点． ‎ 同理，在上只有一个零点．‎ 综上，实数的取值范围为.‎ 数学Ⅱ（附加题）‎ ‎21．【选做题】本题包括A、B、C共3小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎21．A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）‎ 已知矩阵．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求．‎ 解：（1）因为，所以.‎ ‎（2）因为，，所以. ‎ 所以. ‎ B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）‎ 在极坐标系中，圆的圆心坐标为，半径为2． 以极点为原点，极轴为的正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线的参数方程为为参数．‎ ‎（1）求圆的极坐标方程；‎ ‎（2）设与圆的交点为， 与轴的交点为，求．‎ 解：（1）设为圆上任意一点，则 x 圆的圆心坐标为，半径为2，得圆过极点，‎ 所以，，即，‎ 所以圆的极坐标方程为． ‎ ‎（2）由（1）得，即，‎ 根据，得 ‎，即．（*）‎ 设,将直线的参数方程代入（*），整理得 所以，． ‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 已知，记．‎ ‎（1）；‎ ‎（2）求．‎ 解： 由得.‎ 同理，， ‎ ‎（2）由（1）得，当时，，‎ 当时，；‎ 当时，，‎ 当时，.‎ 所以，‎ 所以，‎ ‎ ． ‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 已知Sn＝1＋＋＋…＋．‎ ‎（1）求S2，S4的值；‎ ‎（2）若Tn＝，试比较与Tn的大小，并给出证明．‎ 解：（1）S2＝1＋＝，S4＝1＋＋＋＝． ‎ ‎（2）当n＝1，2时，T1＝＝，T2＝＝，所以，＝Tn．‎ ‎ 当n＝3时，T3＝＝，S8＝1＋＋＋＋＋＋＋＝＞＝T3．‎ ‎ 于是，猜想，当n≥3时，＞Tn． ‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ‎ ①当n=3时，结论成立；‎ ‎②假设n＝k(k≥3)时结论成立，即＞Tk；‎ ‎ 当n＝k＋1时，＝＋＋＋…＋ ‎＞＋（＋＋…＋）＋（＋＋…＋）‎ ‎＞＋×2k－1＋×2k－1＝＋＋＝，‎ 当n＝k＋1时，＞Tn．‎ 根据①、②可知，对任意不小于3的正整数n，都有＞Tn．‎ 综上，当n＝1，2时，=Tn；当n≥3时，＞Tn．‎