数学理卷·2018届河南省焦作市高二上学期期末统考（2017-01）

数学理卷·2018届河南省焦作市高二上学期期末统考（2017-01）

‎ ‎ 数学(理科)试卷 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,则下列式子表示正确的有（ ）‎ ‎①；②；③；④‎ A．1个 B．2个 C． 3个 D．4 个 ‎2. 命题，则命题的否定为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎3. 函数的定义域为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4. 已知函数在上的图象是一条连续的曲线,且其部分对应值如下表:‎ ‎-3‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎-4‎ ‎-6‎ ‎-6‎ ‎-4‎ ‎6‎ 则函数的零点所在区间有（ ）‎ A．和 B．和 ‎ C. 和 D．和 ‎5.过点与圆相切的两条直线的夹角为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.已知命题已知函数的定义域为，若是奇函数，则，则它的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 （ ）‎ A．0 B．‎2 C. 3 D．4‎ ‎7. 已知数列满足，且，设的前项和为，则（ ）‎ A．-17 B．‎-15 C. -6 D．0‎ ‎8.已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.下列函数是偶函数的是（ ）‎ ‎①；②；③；④‎ A． ①② B．①③ C. ②④ D．①④‎ ‎10. 的内角的对边分别为，且，则（ ）‎ A． -1 B．‎-2 C. 1 D．2‎ ‎11.已知满足不等式组，若直线平分不等式组所表示的平面区域的面积，则的值为 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12. 已知，满足,则的最大值为（ ）‎ A． 2 B． C. D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题 ,每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 ‎13.某几何体的三视图如图所示,则其体积为 ．‎ ‎14.已知两直线和的交点在第一象限,则实数的取值范围是 ．‎ ‎15.我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》的“田域类”中写道：问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，…，欲知为田几何.意思是已知三角形沙田的三边长分别为13，14，15里，求三角形沙田的面积，请问此田面积为 平方里.‎ ‎16.已知椭圆与双曲线有共同的左右焦点，两曲线的离心率之积是两曲线在第一象限的交点，与轴交于点，则的长为 （用表示）.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17. （本小题满分10分）‎ 如图，四边形中，.‎ ‎（1）求的长； ‎ ‎（2）求的大小.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 如图，在多面体中，平面平面平面，四边形，.‎ ‎（1）已知，且，求实数的值；‎ ‎（2）已知是平面内的点，求的最小值.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 设等差数列的前项和为.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆的两焦点分别为，点是椭圆上的一动点，当的面积取得最大值1时，为直角三角形.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知点是椭圆上的一点，则过点的切线的方程为.过直线上的任意点引椭圆的两条切线，切点分别为，求证：直线恒过定点.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 如图，正方体中，分别是的中点，分别是上的动点（不与重合），且.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）当平面与平面所成二面角为直二面角时，求二面角的余弦值.‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ 已知点，动点是轴上除原点外的一点，动点满足，且与轴交于点，是的中点.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）若点是曲线的焦点，过的两条直线关于轴对称，且分别交曲线于，若四边形的面积等于，求直线的方程.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: CDABC 6-10: BBCAA 11、12：DD 二、填空题 ‎13. 14. 15. 84 16. ‎ 三、解答题 ‎17.【解析】（1）由，…………………………………3分 得，………………………9分 由小边对小角得…………………………………………10分 ‎18.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则 ‎，……………………………………1分 ‎（1）设，则，，‎ ‎∵，∴……………………………………3分 即，∴，………………………………………………4分 ‎∴，∵，‎ ‎∴，解得………………………………6分 ‎（2），‎ 设平面的法向量为，‎ ‎∵，∴，不妨令，则，即…………………8分 的最小值即为点到平面的距离…………………………………9分 由于，∴………………………12分 ‎19.【解析】（1）∵，且，………………………1分 ‎∴…………………………………………3分 ‎，…………………………………………………5分 ‎∴……………………………………6分 ‎（2）由（1）知，…………………………………………7分 ‎，①……………………………8分 ‎，②……………………9分 ‎①-②得，………………………10分 ‎∴………………………………12分 ‎20.【解析】（1）当在椭圆的短轴端点时，的面积取得最大值，…………………2分 依题得，解得，∴……………………………………5分 ‎∴椭圆的方程为……………………………………6分 ‎（2）设，则直线的方程：，直线的方程：……………………………………………8分 设，∵直线均过点，∴，……………………9分 即均满足方程，又知两点确定唯一的一条直线，故直线的方程为…………………………………………11分 显然直线恒过点………………………………12分 ‎21.【解析】（1）‎ 连接，因为，所以………………………………1分 又分别是的中点，故………………………2分 易知，故.又平面平面，所以平面…………………………………………4分 ‎（2）不妨设正方体的棱长为2，设，如图建立空间直角坐标系，则，‎ ‎………………………………5分 设平面的法向量为，平面的法向量为，‎ 由得，令，则，所以，‎ 由得，令，则，所以……………7分 因为平面与平面所成二面角为直二面角，所以，即，解得.‎ 故为与重合，为与重合……………………………………8分 平面即为平面，其法向量为…………………………………9分 设平面的法向量为，‎ 由，得，令，则，所以………………10分 设二面角的平面角为，易知为锐角，‎ 所以…………………………………12分 ‎22.【解析】（1）设，，‎ ‎∵，∴，即……………………………3分 又，∴，代入，得 ‎…………………………………5分 ‎（2）‎ 由（1）知，如图，设直线，联立直线与抛物线的方程得，∴………………………………………7分 依题意可知，四边形是等腰梯形，‎ ‎∴‎ ‎…………………………………………9分 由，整理得，‎ 令……………………………………10分 易知函数在上单调递增，又观察得知是方程的解，∴仅有唯一解-1，所以，‎ ‎∴直线的方程分别为.（若使用其他解法，解得的方程分别为，也正确）……………………………………………12分