数学卷·2019届广西桂林中学高二上学期第一次月考（开学考试）（2017-10）

数学卷·2019届广西桂林中学高二上学期第一次月考（开学考试）（2017-10）

桂林中学2017-2018学年度上学期10月开学考 高二 数 学 ‎（满分150分，考试用时120分钟）[来源]‎ 说明：‎ ‎1．出题人：卢明飞，审题人：伊洁 ‎2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。‎ ‎3．请在答题卷上答题（在本试卷上答题无效）。‎ 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．不等式x2-1＜0的解集为 A．（0，1） B．（﹣1，1） ‎ C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，－1）∪（1，+∞）‎ ‎2．在△ABC中，a=3，b=，c=2，那么B等于 A．30° B．45° C．60° D．120°‎ ‎3已知等比数列{an}的公比，a2=8，则其前3项和S3的值为 A．28 B．32 C．48 D．64‎ ‎4．设a，b为非零实数，且a＜b，则下列不等式恒成立的是 A．a2＞a b B．a2＜b2 C． D．‎ ‎5．若x，y满足，则2x+y的最大值为 A．0 B．2 C．3 D．4‎ ‎6．在△ABC中，若acosB=bcosA，则该三角形一定是 ‎　A．等腰三角形 B．直角三角形 ‎ C．等边三角形 D．等腰直角三角形 ‎7．已知△ABC中，a=，b=1，B=30°，则△ABC的面积是 A． B． C．或 D．或 ‎ ‎8．要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶的仰角是45°，在D点测得塔顶的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度是 A．30m B．40m C．m D．m ‎9．若a＞0，b＞0，且lga和lgb的等差中项是1，则的最小值是 A． B． C． D．1‎ ‎10．已知数列是公差为d的等差数列，Sn是其前n项和，且有S9＜S8=S7，则下 列说法不正确的是 A．S9＜S10 B．d＜0‎ C．S7与S8均为Sn的最大值 D．a8=0‎ ‎11．如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x（x∈N）为二次函数关系，若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运 A．3年 B．4年 ‎ C．5年 D．6年 ‎12．已知数列满足(n∈N)，且对任意n∈N都有，则t的取值范围为 A．（，+∞） B．[，+∞） C．（，+∞） D．[，+∞）‎ 第II卷 非选择题 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． ‎ ‎13．若关于x的不等式x2+ax-2＜0的解集{x|-2＜x＜1}，则a =　　 ．‎ ‎14．在等差数列中，若 ．‎ ‎15．记数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的n∈N，都有Sn=2an﹣3，则a6= ．‎ ‎16．在△ABC中，∠ABC=90°，延长AC到D，连接BD，若∠CBD=30°，且AB=CD=1，‎ 则AC= ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分10分） ‎ 已知等差数列满足：a3=7，a5+a7=26，求数列的通项公式及其前n项和Sn．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，为了测量正在海面匀速行驶的某船的速度，在海岸上选取距离1千米的两个观察 点C、D，在某天10：00观察到该船在A处，此时测得∠ADC=30°，2分钟后该船行驶至B处，此时测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，求该船航行的速度. ‎ ‎19．（本小题满分12分） ‎ 已知等比数列满足a3a4a5=512，a3+a4+a5=28，且公比大于1．‎ ‎（1）求通项公式； ‎ ‎（2）设，求 前n项和Sn．‎ ‎20．（本小题满分12分） ‎ 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若a+c=1，求b的取值范围．‎ ‎21．（本小题满分12分） ‎ 已知关于x不等式x2﹣2mx+m+2<0（a∈R）的解集为M．‎ ‎（1）当M为空集时，求m的取值范围；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求的最大值；‎ ‎（3）当M不为空集，且M[1，4]时，求实数a的取值范围．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知数列的前n项的和Sn，点（n，Sn）在函数=2x2+4x图象上：‎ ‎（1）证明是等差数列；‎ ‎（2）若函数，数列{bn}满足bn=，记cn=an•bn，求数列 前n项和Tn；‎ ‎（3）是否存在实数λ，使得当x≤λ时，f(x)=﹣x2+4x﹣≤0对任意n∈N 恒成立？若存在，求出最大的实数λ，若不存在，说明理由．‎ 桂林中学2017—2018学年度上学期10月份开学考 ‎　高二年级数学参考答案及评分标准 本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．‎ 1． 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ 2． 解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ 3． 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．‎ 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C A C D A D B B A C D 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 14. 15. 　 16. ‎ 三、解答题:本大题共6小题，70分.‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 解：设等差数列{an}的公差为d，………………………………………………….（1分）‎ 则，……………………………………………………..（5分）‎ 解得，……………………………………………………………………...（6分）‎ ‎∴an=3+2（n﹣1）=2n+1，…………………………………………………….（8分）‎ Sn==n2+2n．…………………………………………………….（10分）‎ ‎18.(本小题满分12分）‎ 解：在△BCD中,∠BDC=30°+60°=90°，CD=1，∠BCD=45°，‎ 从而BC= ， ……………………………….（3分） ‎ 在△ACD中,∠CAD=180°-(60°+45°+30°)=45°,‎ 由正弦定理,得，解得AC=，………………………（7分）‎ 在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cos 60°=， ‎ 解得AB=， …………………………………………………………（10分）‎ 所以船速为 千米/分钟．………………………………………（12分）‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 解：（1）∵，得a4=8，‎ ‎∴a3a5=64，a3+a5=20；‎ ‎∴，又q＞1，‎ ‎∴；……………………………（6分）‎ ‎ （2）∵bn=log22n=n，…………………………………….…………...（8分） ‎ ‎ ∴…………...……………………….（10分）‎ ‎∴，…………………（11分）‎ ‎==. ……………………………………………..（12分）‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 解：（1）由已知得：bsinA﹣acosB=0，…….（2分）‎ 由正弦定理，得sinAsinB﹣sinAcosB=0，‎ ‎∵sinA≠0，则sinB﹣cosB=0，………………………………（4分）‎ 即tanB=，‎ 又B∈（0，π），‎ 则B=. …………………………………………………………（6分）‎ ‎（2）∵a+c=1，即c=1﹣a，cosB=，………………………………...（7分）‎ ‎∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB，即 b2=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac ‎=1﹣3a（1﹣a）‎ ‎=3（a﹣）2+，…………………………………..（9分）‎ 由0＜a＜1，得≤b2＜1，………………………………………..（11分）‎ ‎∴≤b＜1．………………………………………………………..（12分）‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 解：（1）∵M为空集，‎ ‎∴△=4m2﹣4（m+2）＜0，即m2﹣m﹣2＜0‎ ‎∴实数m的取值范围为（﹣1，2）………………………………（3分）‎ ‎（2）由（1）知m∈（﹣1，2），则m+1>0，‎ ‎ ∴f(m)=…………………………（5分）‎ ‎ 即f(m)=‎ ‎ 所以…………………………………………（7分）‎ ‎（3）令f（x）=x2﹣2ax+a+2=（x﹣a）2﹣a2+a+2，‎ 当M不为空集时，由M⊆[1，4]，得 ‎．……………………………….（11分）‎ 综上，实数a的取值范围为……………………….（12分）‎ ‎ ‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ 解：（1）由题意，Sn=2n2+4n，‎ 当n=1时，a1=S1=6，‎ n≥2时，‎ an=Sn﹣Sn﹣1=（2n2+4n）﹣[2（n﹣1）2+4（n﹣1）]=4n+2，‎ 当n=1时，a1=S1=4+2=6，也适合上式 ‎∴数列{an}的通项公式为an=4n+2，n∈N；‎ ‎（2）∵函数g（x）=2﹣x，‎ ‎∴数列{bn}满足bn=g（n）=2﹣n，‎ 又∵cn=an•bn，‎ ‎∴Tn=6×2﹣1+10×2﹣2+14×2﹣3+…+（4n+2）×2﹣n，…①，‎ ‎∴Tn=6×2﹣2+10×2﹣3+…+（4n﹣2）×2﹣n+（4n+2）×2﹣（n+1），…②，‎ ‎①﹣②得：‎ Tn=6×2﹣1+4（2﹣2+2﹣3+…+2﹣n）﹣（4n+2）×2﹣（n+1）=5﹣（2n+5），‎ ‎∴Tn=10﹣（2n+5），‎ ‎（3）假设存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）=﹣x2+4x﹣≤0对任意 n∈N恒成立，即﹣x2+4x≤对任意n∈N恒成立，‎ ‎∵an=4n+2，‎ ‎∴cn===4﹣是递增数列，‎ 所以只要﹣x2+4x≤c1，即x2﹣4x+3≥0，解得x≤1或x≥3．‎ 所以存在最大的实数λ=1，使得当x≤λ时，f（x）≤cn对任意n∈N 恒成立．‎