数学文卷·2018届江西省九江一中高二上学期期中考试（2016-11）

数学文卷·2018届江西省九江一中高二上学期期中考试（2016-11）

九江一中 2016-2017 学年度上学期期中考试 高二文科数学试卷 一、选择题: (本大题共 12 小题; 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只 有一个选项是符合题目要求的, 把正确选项的代号填在答题卡上. ) 1. 命题“如果 2 2 ,x a b  那么 2x ab ”的逆否命题是（ ） （A）如果 2 2x a b  ，那么 2x ab （B）如果 2x ab ，那么 2 2x a b  （C）如果 2x ab ，那么 2 2x a b  （D）如果 2 2x a b  ，那么 2x ab 2. 不等式 2 2 5 2x x x   的解集是（ ） （A） | 5 1x x x  或 （B） | 5 1x x x  或 （C） | 1 5x x   （D） | 1 5x x   3. 已知 p 是 q 的充分不必要条件，则 q 是 p 的（ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也必要条件 4.已知数列 }{ na 中， )2(21   naa nn ，且 ,11 a 则这个数列的第 10 项为（ ） （A）18 （B）19 （C）20 （D）21 5．已知 0 ba ，则下列不等式成立的是（ ） （A） babbaa  2 （B） abbaba  2 （C） abbbaa  2 （D） bbaaba  2 6．下列函数中，最小值为 2 的是 （ ） （A） （B） （C） （D） 7. △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 5a  ， 2c  ， 2cos 3A  ，则 b= （ ） （A） 2 （B） 3 （C）2 （D）3 8. 若 , ,a b c 成等比数列，则函数 2y ax bx c   的图象与 x 轴交点的个数是（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）0 或 2 9. 等差数列 na 的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前3m 项的和为（ ） （A）130 （B）170 （C）210 （D）260 10. 已知函数     sin 2 0f x x       ，若将函数  y f x 的图像向左平移 6  个单位 后所得图像对应的函数为偶函数，则实数  （ ） (A) 5 6  (B) 2 3  (C) 3  (D) 6  11. 已知  ,p x y 是不等式组 1 0 3 0 0 x y x y x          表示的平面区域内的一点，  1,2A ，O 为坐标 原点，则 OPOA  _ 最大值( ) (A) 2 (B) 3 (C)5 (D) 6 １2．设 }{ na 是等比数列，公比 2q  ， nS 为 }{ na 的前 n 项和.记 1 217   n nn n a SST ， *n N ，设 mT 为数列{ }nT 的最大项，则 m=( ) （A）2 （B）1 （C）4 （D）3 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分． 13．已知向量 a=(m,4)，b=(3,-2)，且 a∥b，则 m= __________. 14. 若 x，y 满足约束条件 1 0 3 0 3 0 x y x y x           ，则 z=x-2y 的最小值为__________. 15．若不等式 1||  mx 成立的充分不必要条件为 2 1 3 1  x , 则实数 m 的取值范围 _____ 。 16. 已知函数 f(x)= 2 , , 2 4 , , x x m x mx m x m      其中 m>0．若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)=b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是__________. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 17．(本小题满分 10 分) 设 p ：方程 2 1 0x mx   有两个不等的实根， q ：方程 24 4( 2) 1 0x m x    无实根， 若 p 或 q 为真，p 且 q 为假，求 m 的取值范围． 18. （本小题满分 12 分） 已知： 44,0,0  baba （1）求 ab 的最大值；（2）求 ba 41  的最小值 19 ．（ 本 题 满 分 12 分 ） 在 ABC 中 ， 已 知 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 , ,a b c ， 且 1tan tan 12cos cosA C A C   。 （1）求 B 的大小； （2）若 21 2BA BC b   ，试判断 ABC 的形状. 20.（本小题满分 12 分） 某校高中一年级组织学生参加了环保知识竞赛，并抽取了 其中 20 名学生的成绩进行分析．右图是这 20 名学生竞赛成绩 ( 单 位 ： 分 ) 的 频 率 分 布 直 方 图 ， 其 分 组 为 [100 110)， ， [110 120)， ，…，[130 140)， ，[140 150]， ． ( Ⅰ ) 求 图 中 a 的 值 及 成 绩 分 别 落 在 [100 110)， 与 [110 120)， 中的学生人数； (Ⅱ) 学校决定从成绩在[100 120)， 的学生中任选 2 名进 行座谈，求这 2 人的成绩都在[110 120)， 的概率. 21.（本题满分 12 分）如图，在已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D,点 D 在平面 PAB 内的正投影为 E，连接 PE 并延长交 AB 于点 G. （I）证明 G 是 AB 的中点； （II）在答题卡第（21）题图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F （说明作法及理由），并求四面体 PDEF 的体积． 22.（本小题满分 12 分） 已知数列 }{ na 中， ).(3,1 * 11 Nna aaa n n n   (1) 求证： }2 11{  na 是等比数列，并求 }{ na 的通项公式； (2) 数 列 }{ nb 满 足 nn n n anb  2)13( ， 数 列 }{ nb 的 前 n 项 和 为 nT ， 若 不 等 式 12)1(  nn n nT 对一切 *Nn  恒成立，求  的取值范围. 九江一中 2016-2017 学年度上学期期中考试 高二文科数学试卷 一、选择题: (本大题共 12 小题; 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有 一个选项是符合题目要求的, 把正确选项的代号填在答题卡上. ) 1. 命题“如果 2 2 ,x a b  那么 2x ab ”的逆否命题是（ C ） （A）如果 2 2x a b  ，那么 2x ab （B）如果 2x ab ，那么 2 2x a b  （C）如果 2x ab ，那么 2 2x a b  （D）如果 2 2x a b  ，那么 2x ab 2. 不等式 2 2 5 2x x x   的解集是（ B ） （A） | 5 1x x x  或 （B） | 5 1x x x  或 （C） | 1 5x x   （D） | 1 5x x   3. 已知 p 是 q 的充分不必要条件，则 q 是 p 的（ A ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也必要条件 4.已知数列 }{ na 中， )2(21   naa nn ，且 ,11 a 则这个数列的第 10 项为（ B ） （A）18 （B）19 （C）20 （D）21 5．已知 0 ba ，则下列不等式成立的是（ A ） （A） babbaa  2 （B） abbaba  2 （C） abbbaa  2 （D） bbaaba  2 6．下列函数中，最小值为 2 的是 （ D ） （A） （B） （C） （D） 7. △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 5a  ， 2c  ， 2cos 3A  ，则 b= （ D ） （A） 2 （B） 3 （C）2 （D）3 8. 若 , ,a b c 成等比数列，则函数 2y ax bx c   的图象与 x 轴交点的个数是（ A ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）0 或 2 9. 等差数列 na 的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前3m 项的和为（ C ） （A）130 （B）170 （C）210 （D）260 10. 已知函数     sin 2 0f x x       ，若将函数  y f x 的图像向左平移 6  个单位 后所得图像对应的函数为偶函数，则实数  （ D ） (A) 5 6  (B) 2 3  (C) 3  (D) 6  11. 已知  ,p x y 是不等式组 1 0 3 0 0 x y x y x          表示的平面区域内的一点，  1,2A ，O 为坐标 原点，则 OA OP uur uuur 的最大值( D ) (A) 2 (B)3 (C)5 (D) 6 １2．设 }{ na 是等比数列，公比 2q  ， nS 为 }{ na 的前 n 项和.记 1 217   n nn n a SST ， *n N ，设 mT 为数列{ }nT 的最大项，则 m=( C ） （A）2 （B）1 （C）4 （D）3 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分． 13．已知向量 a=(m,4)，b=(3,-2)，且 a∥b，则 m= __ 6 ________. 14. 若 x，y 满足约束条件 1 0 3 0 3 0 x y x y x           ，则 z=x-2y 的最小值为___ 5 _______. 15．若不等式 1||  mx 成立的充分不必要条件为 2 1 3 1  x , 则实数 m 的取值范围 __ ]3 4,2 1[ ___ 。 16. 已知函数 f(x)= 2 , , 2 4 , , x x m x mx m x m      其中 m>0．若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)=b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是___ 3, _______. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 17．(本小题满分 10 分) 设 p ：方程 2 1 0x mx   有两个不等的实根， q ：方程 24 4( 2) 1 0x m x    无实根， 若 p 或 q 为真，p 且 q 为假，求 m 的取值范围． 17.解：若方程 2 1 0x mx   有两个不等的实根，则 2= 4 0, 2 2 2 2m m m m m        所以 或 ，即p： 或 若方程 24 4( 2) 1 0x m x    无实根，则 2=16 2) 16 0, 1 3 1 3m m m       （ 所以 ，即q： 因为 p q 为真，则 ,p q 至少一个为真，又 p q 为假，则 ,p q 至少一个为假． 所以 ,p q 一真一假，即“ p 真 q 假”或“ p 假 q 真”． 所以 2 22 2 1 3 1 3 mm m m m m             或 或 或 所以 2 1 2 3m m    或 故实数 m 的取值范围是 21] [2,3) （ ， 18. （本小题满分 12 分） 已知： 44,0,0  baba （1）求 ab 的最大值；（2）求 ba 41  的最小值 18 解：(1) 0, 0, 4 4 2 4a b a b a b      由基本不等式得： 11 =a+4b=4 2a b      a=4b，当且仅当 即a=2,b= 时“ ”成立 1a b  的最大值为 (2) 44 4 14 a ba b     ， 1 4 1 4 4 1 4 4 1 4 4 25( ) (1 16) (17 2 )4 4 4 4 a b b a b a a b a b a b a b              当且仅当 44 4= 5 =44 4 5 b a a a b a b b           即 时“ ”成立 1 4 a b   的最小值为 25 4 19 ．（ 本 题 满 分 12 分 ） 在 ABC 中 ， 已 知 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 , ,a b c ， 且 1tan tan 12cos cosA C A C   。 （1）求 B 的大小； （2）若 21 2BA BC b   ，试判断 ABC 的形状. 19.解：（1） CACA coscos21sinsin2  2 1)cos(2  CA 2 1cos  B 3  B （2） 21cos 2 2 bBA BC ac B ac     acb  2 又 2 2 2 2 22 cosb a c ac B a c ac      2 2 2a c ac   ca  又 3 B ABC 是等边三角形 20.（本小题满分 12 分） 某校高中一年级组织学生参加了环保知识竞赛，并抽取了 其中 20 名学生的成绩进行分析．右图是这 20 名学生竞赛成绩 ( 单 位 ： 分 ) 的 频 率 分 布 直 方 图 ， 其 分 组 为 [100 110)， ， [110 120)， ，…，[130 140)， ，[140 150]， ． ( Ⅰ ) 求 图 中 a 的 值 及 成 绩 分 别 落 在 [100 110)， 与 [110 120)， 中的学生人数； (Ⅱ) 学校决定从成绩在[100 120)， 的学生中任选 2 名进行 座谈，求这 2 人的成绩都在[110 120)， 的概率. 20．解析：(Ⅰ) 根据频率分布直方图知组距为 10， 由 (2 4 5 7 2 ) 10 1a a a a a      ， 解得 1 0.005200a   ；··············································································2 分 所以成绩落在[100,110) 中的人数为 2 0.005 10 20 2    ，······························· 4 分 成绩落在[110,120) 中的人数为 4 0.005 10 20 4    .······································· 6 分 (Ⅱ) 记 成 绩 落 在 [100,110) 中 的 2 人 为 1 2A A， ， 成 绩 落 在 [110,120) 中 的 4 人 为 1 2 3 4B B B B， ， ， ，则从成绩在[100 120)， 的学生中任选 2 人的基本事件共有 15 个：                               1 2 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , . A A A B A B A B A B A B A B A B A B B B B B B B B B B B B B 其中 2 人的成绩都在[110,120) 中的基本事件有 6 个：            1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4, , , , , , , , , , , ,B B B B B B B B B B B B 所以所求概率为 6 2 15 5P   .·································································12 分 21.（本题满分 12 分）如图，在已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点 P 在 平面 ABC 内的正投影为点 D,点 D 在平面 PAB 内的正投影为 E，连接 PE 并延长交 AB 于点 G. （I）证明 G 是 AB 的中点； （II）在答题卡第（21）题图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F（说明作法及理由），并求 四面体 PDEF 的体积． 【答案】（I）见解析（II）作图见解析，体积为 4 3 【解析】 试题分析：证明 .AB PG 由 PA PB 可得 G 是 AB 的中点. （II）在平面 PAB 内， 过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F ， F 即为 E 在平面 PAC 内的正投影.根据 正三棱锥 的侧面是直角三角形且 6PA ，可得 2, 2 2. DE PE 在等腰直角三角形 EFP 中，可 得 2. EF PF 四面体 PDEF 的体积 1 1 42 2 2 .3 2 3      V 试题解析：（I）因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D ，所以 .AB PD 因为 D 在平面 PAB 内的正投影为 E ，所以 .AB DE 所以 AB  平面 PED ，故 .AB PG 又由已知可得， PA PB ，从而G 是 AB 的中点. 考点：线面位置关系及几何体体积的结束 22.（本小题满分 12 分） 已知数列 }{ na 中， ).(3,1 * 11 Nna aaa n n n   (3) 求证： }2 11{  na 是等比数列，并求 }{ na 的通项公式； (4) 数 列 }{ nb 满 足 nn n n anb  2)13( ， 数 列 }{ nb 的 前 n 项 和 为 nT ， 若 不 等 式 12)1(  nn n nT 对一切 *Nn  恒成立，求  的取值范围. 22、解：由 * 1 1 31 3( ), =1+3 n n n n n n n a aa n Na a a a     可得 1 +1 1 1 1 1 1 1 1 3+ =3 + =1 + =2 2 2 2n n aa a a  （ ），又 ，则 1 1{ }2na   是首项为 3 2 ，公比为 3 的等比数列 11 1 3 2= 3 , =2 2 3 1 n n n n aa     故 （2） -1 0 1 2 2 1 1 2 3 1 (3 1) =2 2 1 1 1 1 11 2 3 ( 1)2 2 2 2 2 1 1 1 1 11 2 3 ( 1)2 2 2 2 2 2 n n nn n n n n n n n n nb a T n n T n n                                     两式相减得 0 1 2 3 1 -1 1 1 1 1 1 1 n+2+ - =2-2 2 2 2 2 2 2 2 n+2=4- 2 n n n n n n T n T          -1 -1 -1 2-1 4- ,2 24- 32 2- 4- - 2 22 3 n n n n                   （ ） 若n为偶数，则 ，所以 若n为奇数，则 ，所以 ， ， -2