数学理卷·2018届山西省实验中学高三上学期学业质量监测(2018

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数学理卷·2018届山西省实验中学高三上学期学业质量监测(2018

山西省实验中学2018届高三年级学业质量监测 数学(理科)‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择題)和第Ⅱ卷(非选择题 > 两部分.考试时间120分钟,满分150分.考生应首 先阅读答题卡上的文字信息,然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡.‎ 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 若复数满足(为虚数单位),则的共轭复数为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 命题“”的否定是( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎4. 《张丘建算经》卷上第22题为:“今有女善织,日益功疾,且从第2天起,每天比前一天多织相同量的布,若第一天织5尺布,现在一月(按30天计),共织390尺布”,则该女最后一天织多少尺布?( )‎ A. 18 B. 20 C. 21 D.25 ‎ ‎5. 我们可以用随机数法估计的值,下面程序框图表示其基本步骤(函数是产生随机数的函数,它能随机产生内的任何一个实数).若输出的结果为521,则由此可估计的近似值为( )‎ A.3.119 B.3.124 C. 3.132 D.3.151‎ ‎6. 某几何体的三视图如图所示,则其体积为( )‎ A. 80 B. 160 C. 240 D.480 ‎ ‎7. 设,则的展开式中常数项是( )‎ A.-160 B.160 C. -20 D.20 ‎ ‎8. 函数的图象大致为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知数列 满足,且对任意都有,则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 设正实数是满足,不等式恒成立,则的最大值为( )‎ A. B. C. 8 D.16 ‎ ‎11. 已知直线双曲线相切于点,与双曲线两条渐近线交于,两点,则的值为( )‎ A.3 B. 4 C. 5 D.与的位置有关 ‎ ‎12. 已知函数,若,且对任意的恒成立,则的最大值为( )‎ A. 2 B. 3 C. 4 D.5‎ 二、填空题:本大题共4题,每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上.‎ ‎13. 在平面直角坐标系中,已知角的顶点和点重合,始边与轴的非负半轴重合, 终边上一点坐标为,则 .‎ ‎14. 己知实数,满足不等式组 则的最小值为 .‎ ‎15. 过抛物线的焦点作一条倾斜角为的直线交抛物线于两点,则 .‎ ‎16. 若函数满足、都有,且,则 .‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17. 己知外接圆直径为,角所对的边分别为.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)设,求的面积.‎ ‎18. 如图,在四棱锥中,底面梯形,,平面平面,‎ 是等边三角形,已知,.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面平面;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的余弦值.‎ ‎19. 北京时间3月15日下午,谷歌围棋人工智能与韩国棋手李世石进行最后一轮较量, 获得本场比赛胜利,最终人机大战总比分定格.人机大战也引发全民对围棋的关注,某学校社团为调查学生学习围棋的情况,随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图(如图所示),将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”.‎ ‎(Ⅰ)根据已知条件完成下面的列联表,并据此资料你是否有的把握认为“围棋迷”与性别有关?‎ 非围棋迷 围棋迷 合计 男 女 ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率,现在从该地区大量学生中,采用随机抽样方法每次抽取1名学生,抽取3次,记被抽取的3名淡定生中的“围棋迷”人数为 ‎。若每次抽取的结果是相互独立的,求的分布列,期望和方差.‎ 附:,其中.‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎20. 已知圆与直线相切,设点为圆上一动点,轴于,且动点满足,设动点的轨迹为曲线.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的方程;‎ ‎(Ⅱ)直线与直线垂直且与曲线交于两点,求面积的最大值.‎ ‎21. 设函数.‎ ‎(Ⅰ)若当时,函数的图像恒在直线上方,求实数的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)求证:.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线是圆心为,半径为1的圆.‎ ‎(Ⅰ)求曲线,的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)设为曲线上的点,为曲线上的点,求的取值范围.‎ ‎23.选修4-5:不等式选讲 已知,,函数的最小值为4.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)求的最小值.‎ 数学(理科)参考答案 一、选择题 ‎1-5: BDACB 6-10: BACDC 11、12:AB 二、填空题 ‎13. ; 14. -13; 15. ; 16. 4033.‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.解:(Ⅰ)由正弦定理可得:,‎ 所以,,.‎ ‎.‎ ‎(Ⅱ)由,得,‎ 由余弦定理得,即,‎ 又,所以,解得或(舍去).‎ 所以.‎ ‎18.(Ⅰ)证明:在中,由于,‎ ‎∴,故.‎ 又平面平面,平面平面.‎ 平面,∴平面,‎ 又平面,故平面平面.‎ ‎(2)如图建立空间直角坐标系,,,‎ ‎,,,,‎ ‎,‎ 设平面的法向量,‎ 由 ‎ 令,则,,∴.‎ 设平面的法向量,‎ 由,令,∴.‎ ‎,∴二面角的余弦值为.‎ ‎19.解:(Ⅰ)由频率分布直方图可知,在抽取的100人中,“围棋迷”有25人,从而 列联表如下 非围棋迷 围棋迷 合计 男 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 女 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ 将列联表中的数据代入公式计算,得 因为,所以没有理由认为“围棋迷”与性别有关.‎ ‎(Ⅱ)由频率分布直方图知抽到“围棋迷”的频率为0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“围棋迷”的概率为.由题意,从而的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎..‎ ‎20. 解:(Ⅰ)设动点,,因为轴于,所以,‎ 设圆的方程为,‎ 由题意得,‎ 所以圆的程为.‎ 由题意,,所以,所以,即 将代入圆,得动点的轨迹方程,‎ ‎(Ⅱ)由题意设直线,设直线与椭圆交于,‎ ‎,联立方程得,‎ ‎,解得,‎ ‎,‎ 又因为点到直线的距离,,‎ ‎.‎ 面积的最大值为1‎ ‎21.解:(Ⅰ)令,则,‎ ‎,,‎ ① 当时,由于,有,‎ 于是在上单调递增,从而,因此在上单调递增,即;‎ ② 当时,由于,有,‎ 于是在上单调递减,从而,‎ 因此在上单调递减,即不符;‎ ③ 当时,令,当时,‎ ‎,于是在上单调递减,‎ 从而,因此在上单调递减 即而且仅有不符.‎ 综上可知,所求实数的取值范围是 ‎(Ⅱ)对要证明的不等式等价变形如下:‎ 对于任意的正整数,不等式恒成立,等价变形 相当于(2)中,的情形,‎ 在上单调递减,即;‎ 取,得:都有成立;‎ 令得证.‎ ‎22. 选修4—4,坐标系与参数方程 解:(Ⅰ)消去参数可得的直角坐标方程为.‎ 曲线的圆心的直角坐标为,‎ ‎∴的直角坐标方程为.‎ ‎(2)设,‎ 则 ‎ ‎.‎ ‎∵,∴,.‎ 根据题意可得,,‎ 即的取值范围是.‎ ‎23. 选修4—5:不等式选讲 解:(Ⅰ)因为,,‎ 所以,当且仅当时,等号成立,又,,‎ 所以,所以的最小值为,所以.‎ ‎(Ⅱ)由(1)知,.‎ ‎ ‎ 当且仅当,时,的最小值为.‎
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