2012高考真题分类汇编：立体几何

2012高考真题分类汇编：立体几何

‎2012高考真题分类汇编：立体几何 一、选择题 ‎1、【2012高考真题北京理7】某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ）‎ A. 28+6 B. 30+‎‎6 C. 56+ 12 D. 60+12‎ ‎ ‎ ‎2、【2012高考真题浙江理10】已知矩形ABCD，AB=1，BC=。将△沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中。‎ A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直.‎ B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直.‎ C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直.‎ D.对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直 ‎ ‎ ‎3、【2012高考真题新课标理7】如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的 是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）‎ ‎ ‎ ‎4、【2012高考真题新课标理11】已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为（ ）‎ ‎ ‎ ‎5、【2012高考真题全国卷理4】已知正四棱柱ABCD- A1B‎1C1D1中 ，AB=2，CC1= E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为 A 2 B C D 1‎ ‎6、【2012高考真题重庆理9】设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和，且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎ ‎ ‎7、【2012高考真题福建理4】一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是 A.球 B.三棱柱 C.正方形 D.圆柱 ‎8、【2012高考真题广东理6】某几何体的三视图如图所示，它的体积为 A．12π B.45π C.57π D.81π ‎9、【2012高考真题湖北理4】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎10、【2012高考真题湖南理3】某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是 ‎11、【2012高考真题陕西理5】如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12、【2012高考真题四川理10】如图，半径为的半球的底面圆在平面内，过点作平面的垂线交半球面于点，过圆的直径作平面成角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为，该交线上的一点满足，则、两点间的球面距离为（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎13、【2012高考真题四川理6】下列命题正确的是（ ）‎ A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 ‎ ‎ 二、填空题 ‎14、【2012高考真题安徽理12】某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是．‎ ‎15、【2012高考真题四川理14】如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是____________。‎ ‎16、【2012高考真题辽宁理13】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______________。‎ ‎17、【2012高考真题山东理14】如图，正方体的棱长为1，分别为线段上的点，则三棱锥的体积为 ‎____________.‎ ‎18、【2012高考真题辽宁理16】已知正三棱锥ABC，点P，A，B，C都在半径为的求面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________。‎ ‎19、【2012高考真题上海理8】若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 。‎ ‎20、【2012高考真题浙江理11】已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积等于________cm3.‎ ‎21、【2012高考真题天津理10】一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_________m3. ‎ ‎22、【2012高考真题全国卷理16】三菱柱ABC-A1B‎1C1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=60°则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________.‎ ‎23、【2012高考江苏7】如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为 ▲ cm3．‎ ‎24、【2012高考真题上海理14】如图，与是四面体中互相垂直的棱，，若，且，其中、为常数，则四面体的体积的最 大值是 。‎ 三、解答题 ‎25、【2012高考真题四川理19】‎ ‎ 如图，在三棱锥中，，，，平面平面。‎ ‎（Ⅰ）求直线与平面所成角的大小；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小。‎ ‎26、【2012高考真题湖南理18】‎ ‎ 如图5，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；‎ ‎（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.‎ ‎27、【2012高考真题山东理18】‎ 在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，∥，平面.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值.‎ ‎28、【2012高考真题全国卷理18】如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC.‎ ‎（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；‎ ‎（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小.‎ ‎29、【2012高考真题上海理19】如图，在四棱锥中，底面是矩形，‎ 底面，是的中点，已知，，，求：‎ ‎（1）三角形的面积；‎ ‎（2）异面直线与所成的角的大小。‎ ‎30、【2012高考真题安徽理18】‎ 平面图形如图4所示，其中是矩形，，，。现将该平面图形分别沿和折叠，使与所在平面都与平面垂直，再分别连接,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题。‎ ‎（Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求的长；‎ ‎（Ⅲ）求二面角的余弦值。‎ ‎31、【2012高考真题江西理20】‎ 在三棱柱ABC-A1B‎1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O。‎ ‎（1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB‎1C1C，并求出AE的长；‎ ‎（2）求平面A1B‎1C与平面BB‎1C1C夹角的余弦值。‎ ‎32、【2012高考真题重庆理19】 如图，在直三棱柱 中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点 ‎（Ⅰ）求点C到平面的距离;‎ ‎（Ⅱ）若求二面角 的平面角的余弦值.‎ ‎33、【2012高考真题浙江理20】如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝，M，N分别为PB，PD的中点．‎ ‎(Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD；‎ ‎(Ⅱ) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．‎ ‎34、【2012高考真题福建理18】如图，在长方体ABCD-A1B‎1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：B1E⊥AD1；‎ ‎（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的行；若存在，求AP的长；若不存在，说明理由. ‎ ‎（Ⅲ）若二面角A-B1EA1的大小为30°，求AB的长.‎ ‎35、【2012高考江苏16】 如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点 不同于点），且为的中点．‎ 求证：（1）平面平面；‎ ‎ （2）直线平面．‎ ‎36、【2012高考真题新课标理19】‎ 如图，直三棱柱中，，‎ 是棱的中点，‎ ‎（1）证明：‎ ‎（2）求二面角的大小.‎ ‎37、【2012高考真题湖北理19】‎ 如图1，，，过动点A作，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿将△折起，使（如图2所示）． ‎ ‎（Ⅰ）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；‎ ‎（Ⅱ）当三棱锥的体积最大时，设点，分别为棱，的中点，试在 棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小．‎ D A B C A C D B 图2‎ 图1‎ M E ‎.‎ ‎·‎ 第19题图 ‎38、【2012高考真题辽宁理18】‎ ‎ 如图，直三棱柱，，‎ 点M，N分别为和的中点。‎ ‎ (Ⅰ)证明：∥平面;‎ ‎ (Ⅱ)若二面角为直二面角，求的值。‎ ‎39、【2012高考真题广东理18】‎ 如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点 E在线段PC上，PC⊥平面BDE．‎ ‎（1） 证明：BD⊥平面PAC；‎ ‎（2） 若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值；‎ ‎40、【2012高考真题天津理17】‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.‎ ‎（Ⅰ）证明PC⊥AD；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长. ‎ ‎41、【2012高考真题北京理16】‎ ‎ 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A‎1C⊥CD,如图2.‎ ‎(I)求证：A‎1C⊥平面BCDE；‎ ‎(II)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；‎ ‎(III)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由 以下是答案 一、选择题 ‎1、 B ‎2、 C ‎3、 B ‎4、 A ‎5、 D ‎6、 A ‎7、 D ‎8、 C ‎9、 B ‎10、 D ‎11、 A ‎12、 A ‎13、 C 二、填空题 ‎14、 92‎ ‎15、 ‎ ‎16、 38‎ ‎17、 ‎ ‎18、 ‎ ‎19、 ‎ ‎20、 1‎ ‎21、 ‎ ‎22、 ‎ ‎23、 6‎ ‎24、 。‎ 三、解答题 ‎25、 ‎ ‎26、 解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC，由AB=4，，‎ Ｅ是ＣＤ的中点，所以 所以 而内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.‎ ‎（Ⅱ）过点Ｂ作 由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE.于是为直线ＰＢ与平面PAE 所成的角，且.‎ 由知，为直线与平面所成的角.‎ 由题意，知 因为所以 由所以四边形是平行四边形，故于是 在中，所以 ‎　　　　　　　‎ 于是 又梯形的面积为所以四棱锥的体积为 ‎　　　　　　　　　‎ 解法2：如图（2），以A为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系.设则相关的各点坐标为：‎ ‎（Ⅰ）易知因为 所以而是平面内的两条相交直线，所以 ‎(Ⅱ)由题设和（Ⅰ）知，分别是，的法向量，而PB与 所成的角和PB与所成的角相等，所以 由（Ⅰ）知，由故 解得.‎ 又梯形ABCD的面积为，所以四棱锥的体积为 ‎ .‎ ‎27、 ‎ ‎28、 ‎ ‎29、 【解析】（1）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，‎ 又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，‎ ‎∴CD⊥PD，‎ 又∵，CD=2，‎ ‎∴△PCD的面积为。‎ ‎（2）解法一：取PB的中点F，连接EF,AF, ‎ 则EF∥BC，∴∠AEF(或其补角)是异面直线 BC与AE所成的角。‎ 在△ADF中，EF=、AF=,AE=2，‎ ‎∴△AEF是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠AEF=，‎ ‎∴异面直线BC与AE所成的角大小为。‎ 解法二：如图所示，建立空间直角坐标系，‎ 则B(2,0,0),C(2，,0),E(1，,1)， ∴=(1，,1)，=(0,,0),‎ 设与的夹角为，则 ‎=,,‎ 又∵0＜≤，∴=。‎ ‎【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．‎ ‎30、 【解析】(综合法)‎ ‎（I）取的中点为点，连接，‎ ‎ 则，面面面，‎ 同理：面 得：共面，‎ 又面。‎ ‎（Ⅱ）延长到，使 ，得：，‎ ‎，面面面面，‎ ‎。‎ ‎（Ⅲ）是二面角的平面角。‎ 在中，，‎ 在中，，‎ 得：二面角的余弦值为。‎ ‎31、 ‎ ‎32、 ‎ ‎33、 ‎ ‎(Ⅰ)如图连接BD．‎ ‎∵M，N分别为PB，PD的中点，‎ ‎∴在PBD中，MN∥BD．‎ 又MN平面ABCD，‎ ‎∴MN∥平面ABCD；‎ ‎(Ⅱ)如图建系：‎ A(0，0，0)，P(0，0，)，M(，，0)，‎ N(，0，0)，C(，3，0)．‎ 设Q(x，y，z)，则．‎ ‎∵，∴．‎ 由，得：． ‎ 即：．‎ 对于平面AMN：设其法向量为．‎ ‎∵．‎ 则． ‎ ‎∴．‎ 同理对于平面AMN得其法向量为．‎ 记所求二面角A—MN—Q的平面角大小为，‎ 则．‎ ‎∴所求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值为．‎ ‎34、 ‎ ‎35、 证明：（1）∵是直三棱柱，∴平面。‎ ‎ 又∵平面，∴。‎ ‎ 又∵平面，∴平面。‎ ‎ 又∵平面，∴平面平面。‎ ‎ （2）∵，为的中点，∴。‎ ‎ 又∵平面，且平面，∴。‎ ‎ 又∵平面，，∴平面。‎ ‎ 由（1）知，平面，∴∥。‎ ‎ 又∵平面平面，∴直线平面 ‎【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。‎ ‎【解析】（1）要证平面平面，只要证平面上的平面即可。它可由已知是直三棱柱和证得。‎ ‎ （2）要证直线平面，只要证∥平面上的即可。‎ ‎36、 （1）在中，‎ ‎ 得：‎ ‎ 同理：‎ ‎ 得：面 ‎ （2）面 ‎ 取的中点，过点作于点，连接 ‎ ，面面面 ‎ 得：点与点重合 ‎ 且是二面角的平面角 ‎ 设，则，‎ ‎ 既二面角的大小为 ‎37、 （Ⅰ）解法1：在如图1所示的△中，设，则．‎ 由，知，△为等腰直角三角形，所以.‎ 由折起前知，折起后（如图2），，，且，‎ 所以平面．又，所以．于是 ‎ ‎ ‎，‎ 当且仅当，即时，等号成立，‎ 故当，即时, 三棱锥的体积最大． ‎ 解法2：‎ 同解法1，得． ‎ 令，由，且，解得．‎ 当时，；当时，． ‎ 所以当时，取得最大值．‎ 故当时, 三棱锥的体积最大． ‎ ‎（Ⅱ）解法1：以为原点，建立如图a所示的空间直角坐标系．‎ 由（Ⅰ）知，当三棱锥的体积最大时，，．‎ 于是可得，，，，，，‎ 且．‎ 设，则. 因为等价于，即 ‎，故，.‎ 所以当（即是的靠近点的一个四等分点）时，． ‎ 设平面的一个法向量为，由 及，‎ 得 可取． ‎ 设与平面所成角的大小为，则由，，可得 ‎，即．‎ C A D B 图a E M x y z 图b C A D B E F M N ‎ 图c B D P C F N E B G M N E H 图d 第19题解答图 N ‎ 故与平面所成角的大小为 ‎ 解法2：由（Ⅰ）知，当三棱锥的体积最大时，，．‎ 如图b，取的中点，连结，，，则∥.‎ 由（Ⅰ）知平面，所以平面.‎ 如图c，延长至P点使得，连，，则四边形为正方形，‎ 所以. 取的中点，连结，又为的中点，则∥，‎ 所以. 因为平面，又面，所以. ‎ 又，所以面. 又面，所以.‎ 因为当且仅当，而点F是唯一的，所以点是唯一的.‎ 即当（即是的靠近点的一个四等分点），． ‎ 连接，，由计算得，‎ 所以△与△是两个共底边的全等的等腰三角形，‎ 如图d所示，取的中点，连接，，‎ 则平面．在平面中，过点作于，‎ 则平面．故是与平面所成的角． ‎ 在△中，易得，所以△是正三角形，‎ 故，即与平面所成角的大小为 ‎ ‎38、 ‎ ‎39、 ‎ ‎40、 ‎ ‎41、 ‎ ‎【答案】解：（1），‎ 平面，‎ 又平面，‎ 又，‎ 平面。‎ ‎（2）如图建系，则，，，‎ ‎∴,‎ 设平面法向量为 则 ∴ ∴‎ ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴与平面所成角的大小。‎ ‎（3）设线段上存在点，设点坐标为，则 则，‎ 设平面法向量为，‎ 则 ∴‎ ‎∴。‎ 假设平面与平面垂直，‎ 则，∴，，，‎ ‎∵，∴不存在线段上存在点，使平面与平面垂直。‎