高考数学一轮复习练案12第二章函数导数及其应用第九讲函数与方程含解析
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[练案 12]第九讲 函数与方程
A 组基础巩固
一、单选题
1．设函数 f(x)＝3x＋x，则函数 f(x)存在零点的区间是( C )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(－1,0) D．(－2，－1)
[解析] 函数 f(x)为增函数，因为 f(－1)＝3－1－1＝－
2
3，f(0)＝1＋0＝1，所以函数 f(x)
的零点所在的区间为(－1，0)．故选 C.
2．二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c，若 f(1)>0，f(2)<0，则 f(x)在(1,2)上零点的个数为
( C )
A．至多有一个 B．有一个或两个
C．有且仅有一个 D．—个也没有
[解析] 因为 f(1)>0，f(2)<0，所以 f(x)在(1,2)上必有零点，又因为函数为二次函数，
所以有且仅有一个零点．故选 C.
3．(2020·山东青岛模拟)已知 a 是函数 f(x)＝2x－log
1
2
x 的零点，若 0
0
C．f(x0)<0 D．f(x0)≤0
[解析] 在同一坐标系中作出函数 y＝2x，y＝log
1
2
x 的图象，由图象可知，当 00，a≠1)的两个零点是 m，
n，则( C )
A．mn＝1 B．mn>1
C．mn<1 D．mn>
1
2
[解析] 令 f(x)＝0，得|logax|＝3－x，易知 y＝|logax|与 y＝3－x 的图象有 2 个交点．不
妨设 m1，作出两个函数的图象，如图所示，∴3－m>3－n，即－logam>logan，∴logam＋
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logan<0，即 loga(mn)<0，∴mn<1.故选 C.
二、多选题
8．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递减的是( AD )
A．y＝log
1
2
(x＋1) B．y＝2x－1
C．y＝x2－
1
2 D．y＝－x3
[解析] 函数 y＝log
1
2
(x＋1)在定义域上单调递减，且 x＝0 时 y＝0，y＝x2－
1
2在(－1,1)
上不是单调函数，y＝－x3 在定义域上单调递减，且 x＝0 时 y＝0.对于 y＝2x－1，当 x＝0∈
(－1,1)时，y＝0 且 y＝2x－1 在 R 上单调递增．故选 A、D.
9．若函数 f(x)＝ax＋b 的零点是 2，则函数 g(x)＝bx2－ax 的零点可以是( AC )
A．0 B．
1
2
C．－
1
2 D．2
[解析] 2a＋b＝0，∴g(x)＝－2ax2－ax＝0，得 x＝0 或－
1
2，故选 A、C.
10．设函数 f(x)的零点为 x1，g(x)＝4x＋2x－2 的零点为 x2，若|x1－x2|≤0.25，则 f(x)
可以是( AD )
A．f(x)＝(2x－1)2 B．f(x)＝ex－1
C．f(x)＝ln(x－
1
2)2 D．f(x)＝4x－1
[解析] 选项 A，x1＝
1
2；选项 B，x1＝0；选项 C，x1＝
3
2或－
1
2；选项 D，x1＝
1
4.因为 g(1)＝
4＋2－2>0，g(
1
2)＝2＋1－2>0，g(
1
4)＝ 2＋
1
2－2<0，g(0)＝1－2<0，则 x2∈(
1
4，
1
2)．选项中，
x1＝
1
2和 x1＝
1
4时，满足|x1－x2|≤0.25.故选 A、D.
三、填空题
11．已知函数 f(x)＝
2
3x＋1＋a 的零点为 1，则实数 a 的值为 －
1
2 .
[解析] 由已知得 f(1)＝0，即
2
31＋1＋a＝0，解得 a＝－
1
2.
12．(2020·河北武邑中学调研)函数f(x)＝3x－7＋lnx 的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)
内，则 n＝__2__.
[解析] 因为 f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且 f(2)＝－1＋ln2<0，f(3)＝2＋ln3>0，
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所以函数 f(x)的零点位于区间(2,3)内，故 n＝2.
13．(2020·江苏淮安联考)函数 f(x)对一切实数 x 都满足 f(
1
2＋x)＝f(
1
2－x)，并且方程
f(x)＝0 有三个实根，则这三个实根的和为
3
2 .
[解析] 因为函数 f(x)的图象关于直线 x＝
1
2对称，所以方程 f(x)＝0 有三个实根时，一
定有一个根是
1
2，另外两个根的和为 1，故方程 f(x)＝0 的三个实根的和为
3
2.
14．(2020·广东阳江调研)已知函数 f(x)＝Error!若关于 x 的方程 f(x)＝k 有三个不同
的实根，则实数 k 的取值范围是__(－1,0)__.
[解析] 关于 x 的方程 f(x)＝k 有三个不同的实根，等价于函数 f(x)与函数 y＝k 的图象
有三个不同的交点，作出函数 f(x)的图象如图所示，由图可知实数 k 的取值范围是(－
1,0)．
B 组能力提升
1．y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，相应的 x 值与 y 的值如下表：
x 1 2 3 4 5 6
y 0.5 －3 －2 3 4 －4
则 y＝f(x)在区间(1,6)上零点个数为( D )
A．3 个 B．奇数
C．偶数 D．至少 3 个
[解析] 由表可知，在(1,2)，(3,4)，(5,6)三个区间内，y＝f(x)各至少有一个零点，
故在(1,6)内至少有 3 个零点．
2．(2020·安徽宣城第二次调研测试)已知a，b，c，d 都是常数，a>b，c>d.若 f(x)＝2019
＋(x－a)(x－b)的零点为 c，d，则下列不等式正确的是( A )
A．a>c>d>b B．a>d>c>b
C．c>d>a>b D．c>a>b>d
[解析]
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由题意设 g(x)＝(x－a)·(x－b)，则 f(x)＝2 019＋g(x)，所以 g(x)＝0 的两个根是 a，
b，由题意知 f(x)＝0 的两根 c，d 就是 g(x)＝－2 019 的两根，画出 g(x)(开口向上)以及直
线 y＝－2019 的大致图象，如图所示，则 g(x)的图象与直线 y＝－2019 的交点的横坐标就是
c，d，g(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标就是 a，b.又 a>b，c>d，且 c，d 在区间(b，a)内，
所以由图得，a>c>d>b，故选 A.
3．(2020·河南郑州质检)已知函数 f(x)＝(
1
2)x－cosx，则 f(x)在[0,2π]上的零点个数
为( C )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 如图，作出 g(x)＝(
1
2)x 与 h＝cosx 的图象，可知其在[0,2π]上的交点个数为
3，所以函数 f(x)在[0,2π]上的零点个数为 3，故选 C.
4．(多选题)(2020·河南新乡模拟改编)若函数 f(x)＝log2(x＋a)与 g(x)＝x2－(a＋1)x
－4(a＋5)存在相同的零点，则 a 的值为( BD )
A．－
5
2 B．－2
C．4 D．5
[解析] g(x)＝x2－(a＋1)x－4(a＋5)＝(x＋4)[x－(a＋5)]，令 g(x)＝0，得 x＝－4 或
x＝a＋5，则 f(－4)＝log2(－4＋a)＝0 或 f(a＋5)＝log2(2a＋5)＝0，解得 a＝5 或 a＝－2.
故选 B、D.
5．(2020·天津部分区质量调查)已知函数 f(x)＝Error!若关于 x 的方程 f(x)＝m(m∈R)
恰有三个不同的实数根 a，b，c，则 a＋b＋c 的取值范围是( D )
A．(
1
2，1) B．(
3
4，1)
C．(
3
4，2) D．(
3
2，2)
[解析] 假设 a
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