2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第四章 第3讲 第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第 3 讲 简单的三角恒等变形
一、知识梳理
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos__β＋sin_αsin__β．
C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos__β－sin_αsin__β．
S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos__β＋cos_αsin__β．
S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos__β－cos_αsin__β．
T(α＋β)：tan(α＋β)＝
tan α＋tan β
1－tan αtan β
(α，β，α＋β ≠ π
2＋kπ，k ∈ Z).
T(α－β)：tan(α－β)＝
tan α－tan β
1＋tan αtan β
(α，β，α－β ≠ π
2＋kπ，k ∈ Z).
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
S2α：sin 2α＝2sin_αcos__α．
C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．
T2α：tan 2α＝ 2tan α
1－tan2α
(α ≠ π
4＋kπ
2 ，且α ≠ kπ＋π
2，k ∈ Z).
常用结论
记准四个必备结论
(1)降幂公式：cos2α＝1＋cos 2α
2 ，sin2α＝1－cos 2α
2 .
(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
(3)公式变形：tan α±tan β＝tan(a±β)(1∓tan αtan β)．
(4) 辅 助 角 公 式 ： asin x ＋ bcos x ＝ a2＋b2sin(x ＋ φ)( 其 中 sin φ ＝ b
a2＋b2， cos φ ＝
a
a2＋b2)．
二、教材衍化
1．若 cos α＝－4
5.α 是第三象限的角，则 sin(α＋π
4 )＝________．
解析：因为 α 是第三象限角，所以 sin α＝－ 1－cos2α＝－3
5，所以 sin(α＋π
4 )＝－3
5×
2
2 ＋(－4
5 )× 2
2 ＝－7 2
10 .
答案：－7 2
10
2． sin 347°cos 148°＋sin 77°·cos 58°＝________．
解析：sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°
＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°
＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°
＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°
＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝ 2
2 .
答案： 2
2
3． tan 20°＋tan 40°＋ 3tan 20°·tan 40°＝________．
解析：因为 tan 60°＝tan(20°＋40°)＝
tan 20°＋tan 40°
1－tan 20°tan 40°，
所以 tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)
＝ 3－ 3tan 20°tan 40°，
所以原式＝ 3－ 3tan 20°tan40°＋ 3tan 20°tan 40°＝ 3.
答案： 3
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在实数 α，β，使等式 sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )
(2)对任意角 α 都有 1＋sin α＝(sin
α
2 ＋cos
α
2 )2
.( )
(3)y＝3sin x＋4cos x 的最大值是 7.( )
(4)公式 tan(α＋β)＝
tan α＋tan β
1－tan αtan β可以变形为 tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan α
tan β)，且对任意角 α，β都成立． ( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×
二、易错纠偏
常见误区|Ｋ (1)不会逆用公式，找不到思路；
(2)不会合理配角出错；
(3)忽视角的范围用错公式．
1．化简：
sin 50°
sin 65°· 1－cos 50°＝________．
解析：原式＝
cos 40°
cos 25° 1－cos 50°
＝
cos 40°
cos 25°· 2sin 25°＝
cos 40°
2
2 sin 50°
＝ 2.
答案： 2
2．若 tan α＝3，tan(α－β)＝2，则 tan β＝________．
解析：tan β＝tan[α－(α－β)]
＝
tan α－tan（α－β）
1＋tan α·tan（α－β）
＝ 3－2
1＋3 × 2＝1
7.
答案：1
7
3．已知 θ∈(0，π
2 )，且 sin(θ－π
4 )＝ 2
10，则 tan 2θ＝________．
解析：法一：sin(θ－π
4 )＝ 2
10，
得 sin θ－cos θ＝1
5，①
θ∈(0，π
2 )，①平方得 2sin θcos θ＝24
25，
可求得 sin θ＋cos θ＝7
5，
所以 sin θ＝4
5，cos θ＝3
5，
所以 tan θ＝4
3，tan 2θ＝2tan θ
1－tan2θ＝－24
7 .
法二：因为 θ∈(0，π
2 )且 sin(θ－π
4 )＝ 2
10，
所以 cos(θ－π
4 )＝7 2
10 ，
所以 tan(θ－π
4 )＝1
7＝
tan θ－1
1＋tan θ，
所以 tan θ＝4
3.
故 tan 2θ＝ 2tan θ
1－tan2θ＝－24
7 .
答案：－24
7
第 1 课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
和差公式的直接应用(自主练透)
1．已知 sin α＝3
5，α∈(π
2，π )，tan(π－β)＝1
2，则 tan(α－β)的值为( )
A．－ 2
11 B． 2
11
C.11
2 D．－11
2
解析：选 A.因为 sin α＝3
5，α∈(π
2，π )，
所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－4
5，
所以 tan α＝
sin α
cos α＝－3
4.
因为 tan(π－β)＝1
2＝－tan β，所以 tan β＝－1
2，
则 tan(α－β)＝
tan α－tan β
1＋tan αtan β＝－ 2
11.
2．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知 α∈(0，π
2 )，2sin 2α＝cos 2α＋1，则 sin α＝( )
A.1
5 B． 5
5
C.
3
3 D．2 5
5
解析：选 B.由 2sin 2α＝cos 2α＋1，得 4sin αcos α＝1－2sin2α＋1，即 2sin αcos α＝
1－sin2α.因为 α∈(0，π
2 )，所以 cos α＝ 1－sin2 α，所以 2sin α 1－sin2 α＝1－sin2
α，解得 sin α＝ 5
5 ，故选 B.
3．已知 α∈(π
2，π )，sin α＝ 5
5 .
(1)求 sin (π
4＋α )的值；
(2)求 cos (5π
6 －2α)的值．
解：(1)因为 α∈(π
2，π )，sin α＝ 5
5 ，
所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－2 5
5 ，
故 sin(π
4＋α )＝sin π
4cos α＋cos π
4sin α
＝ 2
2 ×(－2 5
5 )＋ 2
2 × 5
5 ＝－ 10
10 .
(2)由(1)知 sin 2α＝2sin αcos α＝2× 5
5 ×(－2 5
5 )＝－4
5，cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×
( 5
5 )2
＝3
5，
所以 cos(5π
6 －2α)＝cos 5π
6 cos 2α＋sin 5π
6 sin 2α
＝(－ 3
2 )×3
5＋1
2×(－4
5 )
＝－4＋3 3
10 .
三角函数公式的应用策略
(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．
三角函数公式的逆用与变形用(多维探究)
角度一 公式的逆用
(1)化简
sin 10°
1－ 3tan 10°＝________．
(2)在△ABC 中，若 tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则 cos C＝________．
【 解 析 】 (1)
sin 10°
1－ 3tan 10°＝
sin 10°cos 10°
cos 10°－ 3sin 10°＝
2sin 10°cos 10°
4(1
2cos 10°－ 3
2 sin 10°)
＝
sin 20°
4sin（30°－10°）＝1
4.
(2)由 tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得
tan A＋tan B
1－tan Atan B＝－1，
即 tan(A＋B)＝－1，又 A＋B∈(0，π)，
所以 A＋B＝3π
4 ，则 C＝π
4，cos C＝ 2
2 .
【答案】 (1)1
4 (2)
2
2
角度二 公式的变形用
(1)化简
sin235°－1
2
cos 10°cos 80°＝________．
(2)化简 sin2(α－π
6 )＋sin2(α＋π
6 )－sin2α的结果是________．
【解析】 (1)
sin235°－1
2
cos 10°cos 80°＝
1－cos 70°
2 －1
2
cos 10°sin 10°＝
－1
2cos 70°
1
2sin 20°
＝－1.
(2)原式＝
1－cos(2α－π
3)
2 ＋
1－cos(2α＋π
3)
2 －sin2α
＝1－1
2[cos(2α－π
3)＋cos(2α＋π
3)]－sin2α
＝1－cos 2α·cos π
3－sin2α
＝1－
cos 2α
2 －1－cos 2α
2 ＝1
2.
【答案】 (1)－1 (2)1
2
(1)和差角公式的常见变形
①sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；
②cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；
③tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan αtan β)．
(2)二倍角正、余弦公式的常见变形方式
①配方变形：1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2；
②因式分解变形：cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin 2α＝cos2 α－sin2α＝(cos α＋sin
α)(cos α－sin α)；
③降幂扩角变形：cos2α＝1＋cos 2α
2 ，sin2α＝1－cos 2α
2 ；
④升幂缩角变形：1＋cos α＝2cos2α
2，
1－cos α＝2sin2α
2；
⑤公式变形：cos α＝
sin 2α
2sin α，sin α＝
sin 2α
2cos α.
1．(一题多解) 3cos 15°－4sin215°cos 15°＝( )
A.1
2 B． 2
2
C．1 D． 2
解析：选 D.法一： 3cos 15°－4sin215°cos 15°＝ 3cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos
15°＝ 3cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝ 3cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos
45°＝ 2.故选 D.
法二：因为 cos 15°＝ 6＋ 2
4 ，sin 15°＝ 6－ 2
4 ，所以 3cos 15°－4sin215°·cos 15
°＝ 3× 6＋ 2
4 －4×( 6－ 2
4 )2
× 6＋ 2
4 ＝ 6＋ 2
4 ×( 3－2＋ 3)＝ 6＋ 2
4 ×(2 3－2)＝ 2.
故选 D.
2．计算
sin 110°sin 20°
cos2 155°－sin 2155°的值为________．
解析：
sin 110°sin 20°
cos2155°－sin2155° ＝
sin 70°sin 20°
cos 310°
＝
cos 20°sin 20°
cos 50° ＝
1
2sin 40°
sin 40° ＝1
2.
答案：1
2
和差公式的灵活运用(多维探究)
角度一 变角问题
(1)设 α，β都是锐角，且 cos α＝ 5
5 ，sin(α＋β)＝3
5，则 cos β＝________．
(2)已知 cos(75°＋α)＝1
3，则 cos(30°－2α)的值为________．
【解析】 (1)依题意得 sin α＝ 1－cos2α＝2 5
5 ，
因为 sin(α＋β)＝3
5
α，
所以 α＋β∈(π
2，π )，所以 cos(α＋β)＝－4
5.
于是 cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－4
5× 5
5 ＋3
5×2 5
5 ＝2 5
25 .
(2)cos(75°＋α)＝sin(15°－α)＝1
3，
所以 cos(30°－2α)＝1－2sin2(15°－α)＝1－2
9＝7
9.
【答案】 (1)2 5
25 (2)7
9
角度二 变名问题
求值：1＋cos 20°
2sin 20° －sin 10°( 1
tan 5°－tan 5°).
【解】 原式＝ 2cos210°
2 × 2sin 10°cos 10°－sin 10°(cos 5°
sin 5°－sin 5°
cos 5°)
＝
cos 10°
2sin 10°－sin 10°·
cos25°－sin25°
sin 5°cos 5°
＝
cos 10°
2sin 10°－sin 10°·
cos 10°
1
2sin 10°
＝
cos 10°
2sin 10°－2cos 10°＝
cos 10°－2sin 20°
2sin 10°
＝
cos 10°－2sin（30°－10°）
2sin 10°
＝
cos 10°－2(1
2cos 10°－ 3
2 sin 10°)
2sin 10°
＝ 3sin 10°
2sin 10° ＝ 3
2 .
三角公式应用中变“角”与变“名”问题的解题思路
(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉
角的变换技巧及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋
β，40°＝60°－20°，(π
4＋α )＋(π
4－α )＝π
2，α
2＝2×α
4等．
(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把
正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．
[提醒] 转化思想是实施三角变形的主导思想，恒等变形前需清楚已知式中角的差异、
函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．
1．已知 sin 2α＝1
3，则 cos2(α－π
4 )＝________．
解析：cos2(α－π
4 )＝
1＋cos(2α－π
2)
2
＝1
2＋1
2sin 2α＝1
2＋1
2×1
3＝2
3.
答案：2
3
2.
cos 10°－ 3cos（－100°）
1－sin 10° ＝________．(用数字作答)
解 析 ：
cos 10°－ 3cos（－100°）
1－sin 10° ＝
cos 10°＋ 3cos 80°
1－cos 80° ＝
cos 10°＋ 3sin 10°
2·sin 40° ＝2sin（10°＋30°）
2·sin 40° ＝ 2.
答案： 2
[基础题组练]
1．(2020·新余一模)若 sin(π
2－2α)＝3
5，则 sin4α－cos4α的值为( )
A.4
5 B．3
5
C．－4
5 D．－3
5
解析：选 D.因为 sin(π
2－2α)＝3
5，所以 cos 2α＝3
5，因此 sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2
α)(sin2α－cos2α)＝1－2cos2α＝－cos 2α＝－3
5，选 D.
2．(2020·湖南长沙长郡中学一模)已知 sin(α＋2β)＝3
4，cos β＝1
3，α，β为锐角，则 sin(α
＋β)的值为( )
A.3 7－2 2
12 B．3－2 14
12
C.3 7＋2 2
12 D．3＋2 14
12
解析：选 D.因为 cos β＝1
3，0<β<π
2，所以 sin β＝2 2
3 ，cos 2β＝2cos2β－1＝2×(1
3 )
2
－1＝－7
9<0，
所以π
2<2β<π.
因为 sin(α＋2β)＝3
4，α为锐角，所以π
2<α＋2β<π，
所以 cos(α＋2β)＝－ 7
4 ，
所以 sin(α＋β)＝sin[(α＋2β)－β]
＝sin(α＋2β)cos β－cos(α＋2β)sin β
＝3
4×1
3－(－ 7
4 )×2 2
3 ＝3＋2 14
12 .故选 D.
3．已知 tan(α＋π
4 )＝1
2，且－π
2<α<0，则2sin2α＋sin 2α
cos(α－π
4)
＝( )
A．－2 5
5 B．－3 5
10
C．－3 10
10 D．2 5
5
解 析 ： 选 A. 因 为 tan(α＋π
4 )＝
tan α＋1
1－tan α＝1
2， 所 以 tan α＝ －1
3， 因 为 tan α＝
sin α
cos α，sin2α＋cos2α＝1，α∈(－π
2，0)，所以 sin α＝－ 10
10 .
所以2sin2α＋sin 2α
cos(α－π
4)
＝2sin α（sin α＋cos α）
cos(π
4－α )
＝
4sin α（sin α＋cos α）
2（sin α＋cos α） ＝2 2sin α＝2 2×(－ 10
10 )＝－2 5
5 .故选 A.
4．已知 cos(x－π
6 )＝1
4，则 cos x＋cos(x－π
3 )＝( )
A.
3
4 B．－ 3
4
C.1
4 D．± 3
4
解析：选 A.因为 cos(x－π
6 )＝1
4，
所以 cos x＋cos(x－π
3 )＝cos x＋1
2cos x＋ 3
2 sin x
＝ 3( 3
2 cos x＋1
2sin x)＝ 3cos (x－π
6 )＝ 3×1
4＝ 3
4 .
故选 A.
5.2cos 10°－sin 20°
sin 70° 的值是( )
A.1
2 B． 3
2
C. 3 D． 2
解析：选 C.原式＝2cos（30°－20°）－sin 20°
sin 70°
＝2（cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°）－sin 20°
sin 70°
＝ 3cos 20°
cos 20° ＝ 3.
6．sin 10°sin 50°sin 70°＝________．
解析：sin 10°sin 50°sin 70°＝sin 10°cos 40°cos 20°
＝
sin 10°cos 10°cos 20°cos 40°
cos 10° ＝
1
8sin 80°
cos 10° ＝1
8.
答案：1
8
7．(2020·洛阳模拟)已知 cos(α－π
6 )＋sin α＝4 3
5 ，则 sin(α＋7π
6 )＝________．
解析：由 cos(α－π
6 )＋sin α＝4 3
5 ，
可得 3
2 cos α＋1
2sin α＋sin α＝4 3
5 ，
即 3
2sin α＋ 3
2 cos α＝4 3
5 ，
所以 3sin(α＋π
6 )＝4 3
5 ，
即 sin(α＋π
6 )＝4
5，
所以 sin(α＋7π
6 )＝－sin(α＋π
6 )＝－4
5.
答案：－4
5
8．已知 tan α＝m
3，tan(α＋π
4 )＝2
m，则 m＝________．
解析：由题意，tan α＝m
3，tan(α＋π
4 )＝
tan α＋1
1－tan α＝2
m，则
m
3＋1
1－m
3
＝2
m，所以 m＝－6
或 1.
答案：－6 或 1
9．已知角 α 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P
(－3
5，－4
5).
(1)求 sin (α＋π )的值；
(2)若角 β 满足 sin(α＋β)＝ 5
13，求 cos β的值．
解：(1)由角 α 的终边过点 P (－3
5，－4
5)得 sin α＝－4
5，
所以 sin(α＋π)＝－sin α＝4
5.
(2)由角 α 的终边过点 P (－3
5，－4
5)得 cos α＝－3
5，
由 sin(α＋β)＝ 5
13得 cos(α＋β)＝±12
13.
由 β＝(α＋β)－α 得
cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，
所以 cos β＝－56
65或 cos β＝16
65.
10．已知 α，β为锐角，tan α＝4
3，cos(α＋β)＝－ 5
5 .
(1)求 cos 2α的值；
(2)求 tan(α－β)的值．
解：(1)因为 tan α＝4
3，tan α＝
sin α
cos α，
所以 sin α＝4
3cos α.
因为 sin2 α＋cos2 α＝1，
所以 cos2 α＝ 9
25，
因此 cos 2α＝2cos2 α－1＝－ 7
25.
(2)因为 α，β为锐角，所以 α＋β∈(0，π)．
又因为 cos(α＋β)＝－ 5
5 ，
所以 sin(α＋β)＝ 1－cos2（α＋β）＝2 5
5 ，
因此 tan(α＋β)＝－2.
因为 tan α＝4
3，所以 tan 2α＝ 2tan α
1－tan2 α＝－24
7 ，
所以 tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝
tan 2α－tan（α＋β）
1＋tan 2αtan（α＋β）＝－ 2
11.
[综合题组练]
1．(2020·河南九师联盟 2 月质量检测)若 α∈(0，π
2 )，且 cos 2α＝ 2
5 sin(α＋π
4 )，则 tan α
＝( )
A.3
4 B．3
5
C.4
3 D．5
3
解析：选 A.因为 α∈(0，π
2 )，所以 sin α＋cos α>0.
因为 cos 2α＝ 2
5 sin(α＋π
4 )，
所以(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝1
5(sin α＋cos α)，
所以 cos α－sin α＝1
5.
将 cos α－sin α＝1
5两边平方可得 1－2sin αcos α＝ 1
25，
所以 sin αcos α＝12
25.所以
sin αcos α
sin2 α＋cos2 α＝12
25.
分子、分母同除以 cos2 α可得
tan α
tan2 α＋1＝12
25，
解得 tan α＝3
4或4
3(舍)，即 tan α＝3
4.
2．(创新型)公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作
图，发现了黄金分割约为 0.618，这一数值也可以表示为 m＝2sin 18°，若 m 2＋n＝4，则
m n
2cos227°－1＝( )
A．8 B．4
C．2 D．1
解析：选 C.因为 m＝2sin 18°，m2＋n＝4，所以 n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°.
所 以 m n
2cos227°－1＝ 2sin 18° 4cos218°
2cos227°－1 ＝ 4sin 18°cos 18°
2cos227°－1 ＝ 2sin 36°
cos 54° ＝
2sin 36°
sin 36° ＝2.故选 C.
3 ． 已 知 0<α<π
2， 且 sin α ＝ 3
5， 则 tan(α＋5π
4 )＝ ________ ；
sin2α＋sin 2α
cos2α＋cos 2α＝
________．
解析：因为 0<α<π
2，且 sin α＝3
5，
所以 cos α＝ 1－sin2α＝4
5，
所以 tan α＝
sin α
cos α＝3
4，
则 tan(α＋5π
4 )＝tan(α＋π
4)＝
tan α＋1
1－tan α＝7.
sin2 α＋sin 2α
cos2α＋cos 2α ＝
sin2α＋2sin αcos α
2cos2α－sin2α ＝
tan2α＋2tan α
2－tan2α ＝
9
16＋6
4
2－ 9
16
＝33
23.
答案：7 33
23
4．设 α，β∈[0，π]，且满足 sin αcos β－cos αsin β＝1，则 sin(2α－β)＋sin(α－2β)
的取值范围为________．
解析：由 sin αcos β－cos αsin β＝1，
得 sin(α－β)＝1，
又 α，β∈[0，π]，所以 α－β＝π
2，
所以{0 ≤ α ≤ π，
0 ≤ β＝α－π
2 ≤ π，即π
2≤α≤π，
所以 sin(2α－β)＋sin(α－2β)
＝sin(2α－α＋π
2)＋sin(α－2α＋π)
＝cos α＋sin α＝ 2sin(α＋π
4 ).
因为π
2≤α≤π，
所以3π
4 ≤α＋π
4≤5π
4 ，
所以－1≤ 2sin(α＋π
4 )≤1，
即取值范围为[－1，1]．
答案：[－1，1]
5．已知 cos(π
6＋α)cos(π
3－α )＝－1
4，α∈(π
3，π
2 ).
(1)求 sin 2α的值；
(2)求 tan α－ 1
tan α的值．
解：(1)cos(π
6＋α )cos(π
3－α )
＝cos(π
6＋α )sin(π
6＋α )＝1
2sin(2α＋π
3)＝－1
4，即 sin(2α＋π
3)＝－1
2.
因为 α∈(π
3，π
2 )，
所以 2α＋π
3∈(π，
4π
3 )，
所以 cos(2α＋π
3)＝－ 3
2 ，
所以 sin 2α＝sin[(2α＋π
3)－π
3]
＝sin(2α＋π
3)cos π
3－cos(2α＋π
3)sin π
3＝－1
2×1
2－(－ 3
2 )× 3
2 ＝1
2.
(2)因为 α∈(π
3，π
2 )，所以 2α∈(2π
3 ，π)，
又由(1)知 sin 2α＝1
2，所以 cos 2α＝－ 3
2 .
所以 tan α－ 1
tan α＝ sin α
cos α－
cos α
sin α＝
sin2α－cos2α
sin αcos α
＝
－2cos 2α
sin 2α ＝－2×
－ 3
2
1
2
＝2 3.
6.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 x 轴正半轴为始边的锐角 α 与钝角 β 的终边与单
位圆分别交于 A，B 两点，x 轴正半轴与单位圆交于点 M，已知 S△OAM＝ 5
5 ，点 B 的纵坐标
是 2
10.
(1)求 cos(α－β)的值；
(2)求 2α－β 的值．
解：(1)由题意，OA＝OM＝1，
因为 S△OAM＝ 5
5 ，α为锐角，
所以 sin α＝2 5
5 ，cos α＝ 5
5 .
又点 B 的纵坐标是 2
10.
所以 sin β＝ 2
10，cos β＝－7 2
10 ，
所以 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝ 5
5 ×(－7 2
10 )＋2 5
5 × 2
10＝－ 10
10 .
(2)因为 cos 2α＝2cos2α－1＝2×( 5
5 )2
－1＝－3
5，
sin 2α＝2sin α·cos α＝2×2 5
5 × 5
5 ＝4
5，
所以 2α∈(π
2，π ).
因为 β∈(π
2，π )，
所以 2α－β∈(－π
2，π
2).
因为 sin(2α－β)＝sin 2α·cos β－cos 2α·sin β＝－ 2
2 ，
所以 2α－β＝－π
4.
