广东省深圳市2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题 含解析

广东省深圳市2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题 含解析

广东省深圳市2019年高一下学期数学期末考试试卷 一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分。‎ ‎1.若集合A={-2，1，2，3}，B={x|x=2n，n∈N}，则A∩B=（   ） ‎ A. {-2}                                      B. {2}                                      C. {-2，2}                                      D. ∅‎ ‎【答案】 B ‎ ‎【考点】交集及其运算 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵ ∴ 故答案为：B ‎ ‎【分析】通过集合B中,用列举法表示出集合B,再利用交集的定义求出。‎ ‎2.连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上与反面向上各一次的概率是（   ） ‎ A.                                          B.                                          C.                                          D. ‎ ‎【答案】 C ‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式 ‎ ‎【解析】【解答】解：出现正面向上与反面向上各一次的概率为： 故答案为：C ‎ ‎【分析】本题考查古典概型，利用古典概型的定义即可求出。‎ ‎3.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，+∞)上单调递减的是（   ） ‎ A. y=x3                                   B. y=|x|                                  C. y=sinx                                  D. y= ‎ ‎【答案】 D ‎ ‎【考点】奇偶性与单调性的综合 ‎ ‎【解析】【解答】解：由于函数是奇函数，不是偶函数，故排除A； ‎ ‎ 由于函数是偶函数,但它在区间 (0，+∞) 上单调递增，故排除B； 由于函数是奇函数,不是偶函数，故排除C； 由于函数是偶函数,且满足在区间(0，+∞) 上单调递减，故满足条件。 故答案为：D ‎ ‎【分析】利用函数的奇偶性和单调性，逐一判断各个选项中的函数的奇偶性和单调性，进而得出结论。‎ ‎4.如图，扇形OAB的圆心角为90°，半径为1，则该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为（   ） ‎ A.                                        B. 2π                                       C. 3π                                       D. 4π ‎【答案】 C ‎ ‎【考点】球的体积和表面积 ‎ ‎【解析】【解答】解：由已知可得：以OB所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球， 半球的半径为1， 故半球的表面积为： 故答案为：C ‎ ‎【分析】以OB所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球，利用球面的表面积公式及圆的表面积公式即可求得。‎ ‎5.已知函数f(x)=cosx，下列结论不正确的是（   ） ‎ A. 函数y=f(x)的最小正周期为2π B. 函数y=f(x)在区间(0，π)内单调递减 C. 函数y=f(x)的图象关于y轴对称 D. 把函数y=f(x)的图象向左平移 个单位长度可得到y=sinx的图象 ‎【答案】 D ‎ ‎【考点】余弦函数的奇偶性，余弦函数的单调性，余弦函数的对称性 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵函数其最小正周期为2π，故选项A正确； 函数在上为减函数，故选项B正确； ‎ ‎ 函数为偶函数，关于轴对称，故选项C正确； 把函数的图象向左平移 个单位长度可得， 故选项D不正确。 故答案为：D ‎ ‎【分析】利用余弦函数的性质对A、B、C三个选项逐一判断，再利用平移“左+右-”及诱导公式得出进而得出答案。‎ ‎6.已知直线l是平面a的斜线，则a内不存在与l（   ） ‎ A. 相交的直线                       B. 平行的直线                       C. 异面的直线                       D. 垂直的直线 ‎【答案】 B ‎ ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵ 直线是平面的斜线，由斜线的定义可知与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线。 ∴在平面内肯定不存在与直线平行的直线。 故答案为：B ‎【分析】本题考查平面的斜线与平面内的直线的位置关系。‎ ‎7.若a>0，且a≠1，则“a= ”是“函数f(x)=logax-x有零点”的（   ） ‎ A. 充分不必要条件             B. 必要不充分条件             C. 充要条件             D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】 A ‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 ‎ ‎【解析】【解答】解：当时,,函数与有交点，故 函数有零点； 当有零点时，不一定取， 只要满足都符合题意。 所以“”是“函数有零点”的充分不必要条件。 故答案为：A ‎ ‎【分析】结合函数零点的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断，即可得出答案。‎ ‎8.如图，△ABC中，E，F分别是BC，AC边的中点，AE与BF相交于点G，则  =（   ） ‎ A.                  B.                  C.                  D. ‎ ‎【答案】 C ‎ ‎【考点】向量加减混合运算及其几何意义 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵E，F分别是BC，AC边的中点，AE与BF相交于点G， ∴G是的重心 ∴ 又∵ ∴ 故答案为：C ‎ ‎【分析】本题考查向量的加减法的法则，利用G是的重心，进而得出， 再利用向量的加减法的法则，即可得出答案。‎ ‎9.英国数学家布鲁克泰勒( Taylor Brook，1685~1731)建立了如下正、余弦公式（   ） ‎ sinx=x- ‎ cosx-1= ‎ 其中x∈R，n∈N*，n!=1×2×3×4x…xn，例如:1!=1，2!=2，3!=6。试用上述公式估计cos0．2的近似值为(精确到0．01)‎ A. 0．99                                 B. 0．98                                 C. 0．97                                 D. 0．96‎ ‎【答案】 B ‎ ‎【考点】微积分基本定理 ‎ ‎【解析】【解答】解：由题中的余弦公式得 故答案为：B ‎ ‎【分析】利用题中给出的公式即可估算出答案。‎ ‎10.已知函数f(x)=m·2x+x+m2-2，若存在实数x，满足f(-x)=-f(x)，则实数m的取值范围为（   ） ‎ A. (-∞，-2]U(0，1)          B. [-2，0)U(0，1]          C. [-2，0)U[1，+∞)          D. (-∞，-2]U[1，+∞)‎ ‎【答案】 A ‎ ‎【考点】奇偶性与单调性的综合 ‎ ‎【解析】【解答】解：由题意知,方程有解， 则， 化简得,， ‎ ‎ 即。 ∵， ∴ 当时，化简得， 解得; 当时，化简得， 解得 综上所述的取值范围为 故答案为：A ‎ ‎【分析】根据题意可知方程有解即可，代入解析式化简后，利用基本不等式得出， 再利用分类讨论思想即可求出实数的取值范围。‎ 二、填空题:本大题共6小题，共32分，其中第11-14题，每小题5分，第15、16小题，每小题都有两个空、每个空3分．‎ ‎11.设i为虚数单位，复数z=i(4+3i)的模为________。 ‎ ‎【答案】 5 ‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算，复数求模 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵ ∴复数的模为 故答案为：5 ‎ ‎【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，然后代入复数模的公式，即可求得答案。‎ ‎12.已知 =(2，4)， =(1，3)，则 =________． ‎ ‎【答案】 -6 ‎ ‎【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵  =(2，4)，  =(1，3) ∴， ∴ 故答案为：-6 ‎ ‎【分析】利用向量内积的坐标运算以及向量模的坐标表示即可求得。‎ ‎13.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0．8，乙的中靶概率为0．7，现两人各自独立射击一次，均中靶的概率为 ________ ． ‎ ‎【答案】0.56 ‎ ‎【考点】相互独立事件的概率乘法公式 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵ 甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.7， ∴ 两人均中靶的概率为 故答案为：0.56‎ ‎【分析】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，在一次射击中，甲、乙同时射中目标的概率为单独射中目标时的概率之积计算。  ‎ ‎14.某学校高一年级举行选课培训活动，共有1024名学生、家长、老师参加，其中家长256人．学校按学生、家长、老师分层抽样，从中抽取64人，进行某问卷调查，则抽到的家长有________人 ‎ ‎【答案】 16  ‎ ‎【考点】分层抽样方法 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵共有1024名学生、家长、老师参加，其中家长256人， 通过分层抽样从中抽取64人，进行某问卷调查， ∴抽到的家长人数为： 故答案为：16  ‎ ‎【分析】利用分层抽样的性质直接可以求出答案。‎ ‎15.函数f(x)=Asin( x+ )的部分图象如图，其中A>0， >0，0<<．则 =________ ; tan = ________ ． ‎ ‎【答案】 2  ； ‎ ‎【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵ ∴ ∵ ∴ 由图可知： 又， 解得 ∵ ∴ ∴ 故答案为：2 ；‎ ‎【分析】本题考查由 f(x)=Asin(  x+  )的部分图象确定其解析式，由图可知， 由求出， 再由图象过点求出， 进而求出。‎ ‎16.棱长均为‎1m的正三棱柱透明封闭容器盛有am3水，当侧面AA1B1B水平放置时，液面高为hm(如图1); 当转动容器至截面A1BC水平放置时，盛水恰好充满三棱锥A-A1BC(如图2)，则a=________ ;h=________ ． ‎ ‎【答案】 ； ‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵正三棱柱的棱长均为‎1m， ∴， ∴由题意可得 由得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 在等边中，边上的高为 ∵ ∴ 故答案为：； 【分析】本题利用体积相等得出， 进而算出,， 进而得出， 通过面积的比值得出对应边长的比值，进而求出即可。‎ 三、解答题:本大题共5小题，第17题12分，其余每小题14分，共68分．‎ ‎17.已知△BC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，a>c，且2csinA= a． ‎ ‎（1）求角C的大小; ‎ ‎（2）若c=4，△ABC的面积为 ，求△ABC的周长 ‎ ‎【答案】 （1）解：∵ 2csinA=  a 由正弦定理得， 得 ∵ a>c ∴ ‎ ‎∴ （2）∵ 解得 又∵ 解得即 ∴ ∴的周长为 ‎ ‎【考点】正弦定理的应用，余弦定理的应用 ‎ ‎【解析】【分析】本题考查正余弦定理的应用以及正余弦定理的变形式，（1）通过正弦定理得， 进而求出， 再根据a>c 得出， 进而得出；（2）由正弦定理中的三角形面积公式求出， 再根据余弦定理求出， 最后求得的周长。‎ ‎18.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为单位圆与x轴正半轴的交点，点P为单位圆上的一点，且∠AOP= ，点P沿单位圆按逆时针方向旋转角θ后到点Q(a，b) ‎ ‎（1）当θ= 时，求ab的值 ‎ ‎（2）设θ∈[ ， ]，求b-a的取值范围 ‎ ‎【答案】 （1）解：有题意可得， 当时， 即 ∴‎ ‎ （2）∵ ∴， ∴ ∵ θ∈[   ，   ] ∴ 即的取值范围为 ‎ ‎【考点】任意角的三角函数的定义 ‎ ‎【解析】【分析】本题考查任意角的三角函数的定义。（1）有题意得出， ， 再通过当时，， 进而求出的值；（2）利用配角公式化简得， 由θ∈[   ，   ]得出， 进而得到的取值范围。‎ ‎19.某科研课题组通过一款手机APP软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量(简称“周跑量”)，得到如下的频数分布表 周跑量(km/周)‎ ‎[10，15 )‎ ‎[15，20 )‎ ‎[20，25 )‎ ‎[25，30 )‎ ‎[30，35 )‎ ‎[35，40 )‎ ‎[40，45 )‎ ‎[45，50 )‎ ‎[50，55 )‎ 人数 ‎100‎ ‎120‎ ‎130‎ ‎180‎ ‎220‎ ‎150‎ ‎60‎ ‎30‎ ‎10‎ ‎（1）在答题卡上补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图:‎ 注:请先用铅笔画，确定后再用黑色水笔描黑 ‎（2）根据以上图表数据计算得样本的平均数为‎28.5km，试求样本的中位数(保留一位小数)，并用平均数、中位数等数字特征估计该市跑步爱好者周跑量的分布特点 ‎ ‎（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如下表: ‎ 周跑量 小于20公里 ‎20公里到40公里 不小于40公里 类别 休闲跑者 核心跑者 精英跑者 装备价格（单位：元）‎ ‎2500‎ ‎4000‎ ‎4500‎ 根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元?‎ ‎【答案】 （1） （2）中位数的估计值： ∵ ∴中位数位于区间中， 设中位数为， ∴ 解得 ∵ （3）依题意可知，休闲跑者共有人，核心跑者人，精英跑者人 该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要元 ‎ ‎【考点】频率分布直方图，众数、中位数、平均数 ‎ ‎【解析】【分析】（1）根据频数和频率之间的关系计算即可；（2）根据频率分布直方图利用中位数两边频率相等，列方程求出中位数的值，进而得出结论；（3）根据频率分布直方图求出休闲跑者，核心跑者，精英跑者分别人数，进而求出平均值。  ‎ ‎20.如图长方体ABCD-A1B‎1C1D1中，AB= AD，E，F分别为棱AB，A1D1的中点 ‎（1）求证:平面EFC⊥平面BB1D; ‎ ‎（2）请在答题卡图形中画出直线DB1与平面EFC的交点O(保留必要的辅助线)，写出画法并计算 的值(不必写出计算过程) ‎ ‎【答案】 （1）证明：在长方体ABCD-A1B‎1C1D1中，AB=  AD，E，F分别为棱AB，A1D1的中点 ∴平面 ∴ 在中， 在中， ∴ ∵在中， ∴ ∴ ∵ ∴平面 ‎ ‎∵平面 ∴平面平面 （2）【解答】在平面内过点M作的平行线，连接交于点， ‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定 ‎ ‎【解析】【分析】（1）利用面面垂直的判定定理，通过平面得出， 再根据得出进而得出得出进而证出平面， 最后证得平面平面。（2）利用面面垂直的性质定理即可画出。‎ ‎21.已知函数f(x)= ，其中a∈R． ‎ ‎（1）当a=1时，求f(x)的最小值; ‎ ‎（2）设函数f(x)恰有两个零点x1 ， x2 ， 且x2-x1>2，求a的取值范围 ‎ ‎【答案】 （1）解：当a=1时， ∵当时，， 函数在上为增函数，函数值; 当时，， 函数在上为减函数，在上为增函数，， 当时，函数值取最小值为-14； 故当a=1时，最小值为-14。 （2）∵，函数恰有两个零点x1， x2 （i）当时，函数有一个零点，令得, ∵ ∴ 此时函数也恰有一个零点，即（不合题意舍去） ‎ ‎（ii）函数恰有两个零点x1， x2 ，即或 ， ∵ ∴ 即 解得 当时，结合上述无解 当时，结合上述可得 ∴a的取值范围为： ‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值 ‎ ‎【解析】【分析】(1)当a=1时，直接代入函数求导，从而得到函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，即可求得的最小值为-14； （2）利用零点定理结合一元二次不等式根与系数的关系即可求出a的范围。‎