数学理卷·2018届贵州省遵义四中高二下学期第一次月考（2017-03）

数学理卷·2018届贵州省遵义四中高二下学期第一次月考（2017-03）

遵义四中2016-2017学年度第二学期第一次月考 理数试题 第I卷（选择题）‎ 一、选择题 ‎1．设，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．已知复数（为虚数单位），那么的共轭复数为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．已知，下列不等关系中正确的是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．已知是两条不重合的直线，是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：‎ ‎①若，，则；②若，，则；‎ ‎③若，，，则；④若是异面直线，，，，则．‎ 其中真命题是（）‎ A. ①和④ B. ①和③ C. ③和④ D. ①和②‎ ‎5．在区间上随机地取一个数,则事件“”发生的概率为（）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．设等差数列的前项和为，且，则当取最小值时，等于（ ）‎ A. 6 B. 7 C. 8 D. 9‎ ‎7．设实数满足约束条件，则目标函数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.若点是曲线上任一点，则点到直线的最小距离是（）‎ A. B. C. D.‎ ‎9．函数，则（）‎ A. 为函数的极大值点 B. 为函数的极小值点 C. 为函数的极大值点 D. 为函数的极小值点 ‎ ‎ ‎10．已知函数满足，则的单调减区间是（）‎ A. B. C. D.‎ ‎11．已知椭圆，是椭圆的右焦点，为左顶点，点在椭圆上，轴，若，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎12.已知函数，若存在使得成立，则实数的值为（）‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 第II卷（非选择题）‎ 二、填空题 ‎13．已知 则___________.‎ ‎14．函数的图像在处的切线方程为__________．‎ ‎15．以曲线为曲边的曲边形（如下图阴影部分）面积为．‎ ‎16.已知函数为定义在上的连续可导函数，且，则不等式的解集是__________.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎17．已知函数.‎ ‎（1）求在处的切线方程；‎ ‎（2）求的极值点.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18．已知函数，曲线在点处的切线方程为.‎ ‎(1)求的值.‎ ‎(2)求函数的单调区间.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19．小明同学在寒假社会实践活动中，对白天平均气温与某家奶茶店的品牌饮料销量之间的关系进行了分析研究，他分别记录了‎1月11日至‎1月15日的白天气温与该奶茶店的品牌饮料销量（杯），得到如下表数据：‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）若先从这五组数据中抽出2组，求抽出的2组书记恰好是相邻2天数据的概率；‎ ‎（Ⅱ）请根据所给五组书记，求出关于的线性回归方程式.‎ ‎（Ⅲ）根据（Ⅱ）所得的线性回归方程，若天气预报1月16号的白天平均气温为7（℃），请预测该奶茶店这种饮料的销量.‎ ‎（参考公式：，）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20．如图，侧棱垂直于底面的三棱柱中，分别是的中点，．‎ ‎ ‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21．已知椭圆,过点作直线交椭圆于两点, 是坐标原点； ‎ ‎（Ⅰ）求中点的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）求的面积的最大值,并求此时直线的方程．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎22．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若，恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）当时，讨论函数的单调性．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 参考答案 ‎1．C ‎【解析】因为，所以，故选C．‎ ‎2．B ‎【解析】因为，故的共轭复数为.‎ 故本题正确答案为 ‎3．D ‎【解析】选项A中不等式两边同乘以负数，不等式方向没有改变，错误，选项B中，考查幂函数，因为，所以函数在上是减函数，错误，选项D中做差，所以正确，选D．‎ 点睛：比较大小可以利用做差法，函数增减等来处理问题．利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．‎ ‎4．A ‎【解析】由线面角的定义可知答案①中的直线，，则平面是正确的；因为答案②中的两个平面也可能相交，故不正确；答案③中的两个平面，可以推出两个平面相交，故也不正确；对于答案④，可将直线平移到到平面内，借助异面直线平移后不相交的结论及面面平行的判定定理可知，是正确命题，所以应选答案A。‎ ‎5．B ‎【解析】∵，∴由得， 则事件“”发生的概率，故选B.‎ ‎6．A ‎【解析】解析：由题设可得，结合可得，所以，则当时，的值最小，应选答案A。‎ ‎7．D ‎【解析】‎ 如上图，表示不等式组的平面区域，可看成过可行域上的点与的直线的斜率，故过点直线斜率有最大值，过点时有最小值。故选D。‎ 点睛：线性规划求解中注意的事项：(1)线性规划问题中，正确画出不等式组表示的平面区域是解题的基础。(2)目标函数的意义，有的可以用直线在轴上的截距来表示，还有的可以用两点连线的斜率、两点间的距离或点到直线的距离来表示。‎ ‎8. A ‎9．A ‎【解析】，故当时函数单调递增，当时，函数单调递减，故为函数的极大值点.‎ ‎10．A ‎11．A ‎【解析】解析：因为点在椭圆上，且轴，所以代入椭圆方程可得，又因为且若，所以，即，则，应选答案A。‎ ‎12．D ‎13．7‎ ‎【解析】因，又，故，应填答案。‎ ‎14．‎ ‎【解析】由知，，所以由点斜式得：，故填．‎ ‎15．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由定积分的几何意义知曲边形）面积为 ‎,故答案为．‎ 考点：定积分的几何意义及其应用．‎ ‎16.‎ ‎17．(1);(2)极大值点为，极小值点为．‎ ‎【解析】试题分析：(1)求出函数的导数，可得，，根据导数的几何意义：切线的斜率，利用点斜式即可得出切线方程；(2)令，解出，在函数的定义域内列表，根据极值的定义进行判定极值即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由知，‎ ‎，所以函数在处的切线的斜率为-4，‎ 又，‎ 故切线方程为，即．‎ ‎（2）令得或.‎ 当变化时，，变化情况如下表：‎ ‎-1‎ ‎3‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 ‎ ‎ 由表知，的极大值点为，极小值点为．‎ ‎18．(1)(2)增区间，减区间 ‎19．（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）大约为 杯.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由“选取的组数据恰好是相邻天的数据”为事件，得出基本事件的总数，利用古典概型，即可求解事件的概率；‎ ‎（2）由数据求解，求由公式，求得，即可求得回归直线方程；‎ ‎（3）当，代入回归直线方程，即可作出预测的结论。‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）设“选取的组数据恰好是相邻天的数据”为事件，所有基本事件（其中，为月份的日期数）有种，事件包括的基本事件有，，，‎ 共种．所以．‎ ‎（Ⅱ）由数据，求得，．‎ 由公式，求得，，所以关于的线性回归方程为．‎ ‎（Ⅲ）当时，．所以该奶茶店这种饮料的销量大约为杯．‎ ‎20.（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：(1) 连接与交于点，连接,根据三角形的中位线定理,可得∥,由线面平行的判定定理证明成立;(2) 以点为坐标原点建立空间坐标系,写出各点坐标,利用两个平面的法向量所成余弦值,求出二面角的余弦值.‎ 试题解析：‎ 解: （1）连接与交于点，连接 因为为平行四边形，‎ 所以为的中点，又为的中点，‎ 所以∥，‎ 因为平面，平面 所以∥平面 ‎（2），‎ 所以 所以 又因为底面，‎ 所以以点为坐标原点建立空间坐标系如图所示 ‎ ‎ 设，则 所以 设平面的法向量是，‎ ‎，‎ 由 令，得，‎ 所以 设平面的法向量是，‎ ‎，‎ 由 令，得，‎ 所以 设二面角的平面角为，则 ‎ ‎ 所以二面角的余弦值为 ‎21．（Ⅰ）;(Ⅱ)此时,.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）利用点差法，结合中点坐标公式，即可求中点的轨迹方程； （Ⅱ）令代入，利用韦达定理，表示出面积，利用函数的单调性，即可求面积的最大值，及此时直线的方程．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）法一:‎ 设,,‎ 直线的方程为: ‎ 则 ‎①②得：‎ 所以,‎ 即：,‎ 所以 所以代入 所以即为所求 法二：‎ 设,,‎ 则 ‎①-②得：‎ 即：‎ 即：‎ 所以即为所求 ‎(Ⅱ)令 联立 得：‎ 因为 所以 所以 令 则在上单调递减，‎ 当，即时,‎ 此时, ‎ 点睛：圆锥曲线中弦的中点问题通常可以用“点差法”：设两个交点为中点为，则有，，两式作差可得，整理得：，再根据具体题目代入数值即可.‎ ‎22．（I）；（II）；（III）详见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）求出当的函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程，即可得到所求切线方程；（Ⅱ）对进行变形，得在恒成立，再构造（），再对进行求导，即可求出，即可得到实数的取值范围；（Ⅲ）求出函数的导数，求出的零点或，分别对两个零点的大小关系作为分类讨论，即可得到函数的单调性.‎ 试题解析：‎ 解：（Ⅰ）当时，，∴切线的斜率，‎ 又，在点处的切线方程为，‎ 即．‎ ‎（Ⅱ）∵对，恒成立，∴在恒成立，‎ 令（），，‎ 当时，，当时，，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴，故实数的取值范围为．‎ ‎（Ⅲ）．‎ 令，得或，‎ ‎①当时，恒成立，∴在上单调递增；‎ ‎②当时，，‎ 由，得或；由，得．‎ ‎∴单调递增区间为，；单调减区间为．‎ ‎③当时，，‎ 由，得或；由，得．‎ ‎∴单调增区间为，，单调减区间为．‎ 综上所述：当时，在上单调递增；‎ 当时，单调增区间为，，单调减区间为；‎ 当时，单调增区间为，，单调减区间为．‎ ‎【点睛】本题考查了导数的运用，求切线方程和单调区间，不等式恒成立问题，参变分离，构造函数求最值，分类讨论思想的应用，属于中档题，（Ⅱ）中是不等式恒成立问题求参数，一般这类题目常规解法就是参变分离，因此在恒成立，再构造函数求最小值即可，（Ⅲ）中单调性的讨论，一般的解法就是先求出导函数的零点，再分别对两零点的大小进行比较讨论，因此掌握分类讨论的思想方法是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎