专题02 数列（核心考点）-备战2018年高考之数学（文）解答题高分宝典
专题02数列
核心考点一等差数列、等比数列的综合问题
解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用.
【经典示例】已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝Sn－，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.
答题模板
第一步，设量：等差数列、等比数列的运算往往先设出基本量（首项、公差或公比、项数等）.
第二步，列式：利用等差数列、等比数列的通项公式、前项和公式及中项等确定等量关系.
第三步，求解：化简等量关系求得结果.
第四步，反思：反思回顾，查看关键点、易错点，对结果进行估算，检查规范性.
【满分答案】(1)设等比数列{an}的公比为q，
因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，
所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，
于是q2＝＝.
又{an}不是递减数列且a1＝，
所以q＝－.
故等比数列{an}的通项公式为an＝×
＝(－1)n－1·.
(2)由(1)得Sn＝1－＝
当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，
所以1
Sn－≥S2－＝－＝－.
综上，对于n∈N*，
总有－≤Sn－≤.
所以数列{Tn}最大项的值为，最小项的值为－.
【解题技巧】解决等差数列与等比数列的综合问题，既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善于根据具体问题情境具体分析，寻找解题的突破口.
模拟训练
1.已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和.
又a1＝b1＝1，a14＝b4＝34－1＝27，
∴1＋(14－1)d＝27，解得d＝2.
∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n＝1，2，3，…).
(2)由(1)知an＝2n－1，bn＝3n－1，因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1.
从而数列{cn}的前n项和
Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1
＝＋＝n2＋.
核心考点二数列的通项与求和
数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问题，常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法.常考求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.
【经典示例】设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.
(1) 求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2) 当d>1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
答题模板
用错位相减法解决数列求和的模板：
第一步，判断结构：若数列是由等差数列与等比数列（公比为）的对应项之积构成的，则可用此法求和；
第二步，乘公比：设的前项和为，然后两边同乘以；
第三步，错位相减：乘以公比后，向后错开一位，是含有（）的项对齐，然后两边同时作差；
第四步，求和：将作差后的结果求和，从而表示出.
【满分答案】(1)由题意有
即
解得或
故或
(2)由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，
故cn＝，
于是Tn＝1＋＋＋＋＋…＋，①
Tn＝＋＋＋＋＋…＋.②
①－②可得
Tn＝2＋＋＋…＋－
＝3－，
故Tn＝6－.
【解题技巧】(1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解；
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式.
模拟训练
2.已知数列的首项，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）．
所以，所以．
（2）由（1）知，，
，①
，②
①-②有，
解得：．
核心考点三数列的综合应用
数列是特殊的函数，以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，因而一直是高考命题者的首选.
【经典示例】已知数列中，（为非零常数），其前项和满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，且，求的值；
（3）是否存在实数，使得对任意正整数，数列中满足的最大项恰为第项？若存在，分别求出与的取值范围；若不存在，请说明理由．
答题模板
利用与的关系求通项的解题模板：
第一步，求初始项：令为初始值，求出初始项；
第二步，仿写：将所给表达式中的换成或，等到新的等式；
第三步，作差：将两等式作差，化简得到表达式；
第四步，验证初始项是否满足上一步的表达式，确定通项公式.
【满分答案】（1）由已知，得，∴，
则有，∴，
即，，
两式相加，得，
即，
故数列是等差数列，
又，∴
（3）由，得，
若，则，不合题意，舍去；
若，则．
∵不等式成立的最大正整数解为，
∴，
即对任意正整数都成立，
∴，解得，
此时，，解得，
故存在实数满足条件，与的取值范围是，
【解题技巧】已知Sn求时，一定要对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．
模拟训练
3.在等差数列{an}中，a2＝6，a3＋a6＝27.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记数列{an}的前n项和为Sn，且Tn＝，若对于一切正整数n，总有Tn≤m成立，求实数m的取值范围.
【解析】(1)设公差为d，由题意得：
解得∴an＝3n.
∴Tn＋1－Tn＝－＝，
∴当n≥3时，Tn>Tn＋1，且T1＝1
查看更多
