2019校一模理数答案

2019校一模理数答案

‎1．设集合，集合，则集合（ D ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2.下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（ C ）‎ ‎ 的共轭复数为 的虚部为 A. ‎ B. C. D. ‎ ‎3.下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是(　C 　)‎ ‎ A．y＝－ B． C． D．‎ ‎4.若，，，则( D )‎ A． B． C． D．‎ ‎5.在等比数列中，“，是方程的两根”是“”的（ A ）‎ ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ ，，则，，则等比数列中，则．在常数列或中，，不是所给方程的两根．则在等比数列中，“，是方程的两根”是“”的充分不必要条件．‎ ‎6.若的展开式中x3的系数为80，其中n为正整数，则的展开式中各项系数的绝对值之和为(　C　)‎ A．32 B．81 C．243 D．256‎ ‎7.若，则(　A 　)‎ A．　　　　B．　　　　C．1　　　　D． tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝＝＝＝ ‎8.已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可以是(　D 　)‎ ‎ ‎ A． f(x)＝ B． f(x)＝ C． f(x)＝－ D． f(x)＝‎ ‎9．若x，y满足且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为(　D 　)‎ ‎ A．2 B．－2 C. D．－ 作出可行域，平移直线y＝x，由z的最小值为－4求参数k的值．‎ 作出可行域，如图中阴影部分所示，直线kx－y＋2＝0与x轴的交点为A.∵z＝y－x的最小值为－4，∴＝－4，‎ 解得k＝－，‎ ‎10.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为(　C 　)‎ A. B. C. D．1‎ ‎　如图所示，设P(x0，y0)(y0>0)，则y＝2px0，‎ 即x0＝. 设M(x′，y′)，由＝2，‎ 得 化简可得 ‎∴直线OM的斜率为k＝＝＝≤＝(当且仅当y0＝p时取等号)．‎ ‎11.F E D1‎ C1‎ B1‎ A1‎ D C B A N M Q P G 已知点分别是正方的棱的中点，点分别在线段上. 以为顶点的三棱锥的俯视图不可能是（ C ）‎ ‎ ‎ D A. ‎ B. C. D.‎ 解析：当M与F重合、N与G重合、Q与E重合、P与 B1重合时，三棱锥P-MNQ 的俯视图为A；当M、N、Q、P是所在线段的中点时为B；当M、N、P是所在线段的非端点位置，而E与B重合时，三棱锥 P-MNQ的俯视图有选项D的可能. 故选C. ‎ ‎12.关于函数，下列说法正确的是（ B ）‎ ‎ （1）是的极大值点 ‎ （2）函数有且只有1个零点 ‎ （3）存在正实数，使得恒成立 ‎ （4）对任意两个正实数，且，若，则 ‎ A. (1)(2)(3)(4) B. (2)(4) C. (2)(3) D. (3)(4)‎ ‎13.已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为(　B 　)‎ A．60° B．90° C．120° D．150°‎ 因为〈a，b〉＝120°，|b|＝2|a|，a＋b＋c＝0，所以在△OBC中，BC与CO的夹角为90°，即a与c的夹角为90°.‎ ‎14. 曲线的一条渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率为（ A ）‎ ‎ A．2 B． C． D．‎ ‎ 因为双曲线的一条渐近线为，，所以，因为，，‎ 所以，，故选A．‎ ‎15.利用随机模拟方法可估计某无理数m的值，为此设计如图所示的程序框图，其中rand（）表示产生区间（0，1）上的随机数，P为s与n之比值，执行此程序框图，输出结果P是m的估计值，则m是（ D ）‎ ‎ ‎ A. B. C . D.‎ 16． 设锐角三个内角，，所对的边分别为，，，‎ ‎ 若，，则的取值范围为__________．‎ 解：由及余弦定理得，∴，∴．‎ 又为锐角三角形，∴．‎ 由正弦定理得，∴．由得，‎ ‎∴，∴．∴的取值范围为．‎ ‎17.已知数列满足 ‎(Ⅰ)求数列的通项公式； (Ⅱ)若数列，求数列的前项和.‎ 解：(Ⅰ) ……①，‎ ‎∴当时， ②‎ ‎①②得，∴.‎ 又∵当时， ，∴，∴.‎ ‎(Ⅱ)， ‎ ‎18.质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的12个零件质量进行检测．甲、乙两个车间的零件质量(单位：克)分布的茎叶图如图所示．零件质量不超过20克的为合格．‎ ‎(1)从甲、乙两车间分别随机抽取2个零件，求甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率；‎ ‎(2)质检部门从甲车间8个零件中随机抽取3个零件进行检测，已知三件中有两件是合格品的条件下，另外一件是不合格品的概率.‎ ‎(3)若从甲、乙两车间12个零件中随机抽取2个零件，用X表示乙车间的零件个数，求X的分布列与数学期望．‎ ‎[解]　(1)由题意得甲车间的合格零件数为4，乙车间的合格零件数为2，‎ 故所求概率为P＝＝.‎ 即甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率为.‎ ‎（2）‎ ‎(3)由题意可得X的所有可能取值为0,1,2.‎ P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝.‎ ‎∴ 随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝.‎ ‎19．如图，四棱锥P－ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，‎ ‎∠BAD＝，M为BC上一点，且BM＝， MP⊥AP.‎ ‎(1)求PO的长；(2)求二面角A－PM－C的余弦值．‎ 解　(1)如图，连接AC，BD，因ABCD为菱形，‎ 则AC∩BD＝O，且AC⊥BD.‎ 以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O－xyz.‎ 因∠BAD＝，故OA＝AB·cos＝，‎ OB＝AB·sin＝1，‎ 所以O(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，C(－，0,0)，＝(0,1,0)，＝(－，－1,0)．‎ 由BM＝，BC＝2知，＝＝，‎ 从而＝＋＝， 即M.设P(0,0，a)，a>0，‎ 则＝(－，0，a)，＝. 因为MP⊥AP，故·＝0，‎ 即－＋a2＝0，所以a＝，a＝－(舍去)，即PO＝.‎ ‎(2)由(1)知，＝，＝，＝.‎ 设平面APM的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 平面PMC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，‎ 由n1·＝0，n1·＝0，得 故可取n1＝，‎ 由n2·＝0，n2·＝0，得 故可取n2＝(1，－，－2)，‎ 从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为cos〈n1，n2〉＝＝－，‎ 故所求二面角A－PM－C的余弦值为－.‎ ‎20.已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为4，直线与椭圆相交于、两点，关于直线的对称点(0,b)．斜率为的直线与线段相交于点，与椭圆相交于、两点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形面积的取值范围．‎ 解析:（1）椭圆方程为．‎ ‎（2）设直线方程：，、，‎ 由，得，所以，‎ 由（1）知直线：，代入椭圆得，，得，由直线与线段相交于点，得，满足.‎ ‎，‎ 而与，知，，‎ 由，得，所以，‎ 四边形面积的取值范围．‎ ‎21.已知函数，其导函数为．‎ ‎（1）当时，若函数在上有且只有一个零点，求实数的取值范围；‎ ‎ (2)当时，若，，求的最大值。‎ 解：（1）当时，，，，，‎ 由题意得，即，‎ 令，则，解得，‎ 当时，，单调递减；当时，，单调递增，‎ ‎， 当时，，当时，，‎ 则或时，在上有且只有一个零点．‎ ‎（2）（参考2012年高考题答案）‎ 由已知条件得ex-(m+1)x≥b.①‎ ‎(i)若m+1<0,则对任意常数b,当x<0,且x<时,可得ex-(m+1)x0,设g(x)=ex-(m+1)x, 则g'(x)=ex-(m+1).‎ 当x∈(-∞,ln(m+1))时,g'(x)<0;当x∈(ln(m+1),+∞)时,g'(x)>0.‎ 从而g(x)在(-∞,ln(m+1))上单调递减,在(ln(m+1),+∞)上单调递增.‎ 故g(x)有最小值g(ln(m+1))=m+1-(m+1)ln(m+1).‎ 所以原不等式等价于b≤m+1-(m+1)ln(m+1).②‎ 因此(m+1)b≤(m+1)2-(m+1)2ln(m+1).‎ 设h(m)=(m+1)2-(m+1)2ln(m+1), 则h'(m)=(m+1)[1-2ln(m+1)].‎ 所以h(m)在上单调递增,在上单调递减,故h(m)在处取得最大值. 从而h(m)≤,即(m+1)b≤‎ 当a=,b=时,②式成立,故当时，.‎ 综合得,(m+1)b的最大值为.‎ ‎22．已知直线l：(t为参数)，曲线C1：(θ为参数)．‎ ‎(1)设直线l与曲线C1相交于A，B两点，求劣弧AB的弧长；‎ ‎(2)若把曲线C1上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求点P到直线l的距离的最小值,及点P坐标。‎ ‎[解]　(1)直线l的普通方程为y＝(x－1)，曲线C1的普通方程为x2＋y2＝1.‎ 联立得得交点为(1,0)，，则|AB|＝1，劣弧AB的弧长=‎ ‎(2)曲线C2的参数方程为(θ为参数)，‎ 设点P的坐标是，从而点P到直线l的距离为d＝ ‎＝，当sin＝－1时，d取得最小值，且最小值为.‎ P（）‎ ‎23.已知函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|.‎ ‎(1)当a<2时，函数f(x)的最小值为3，求实数a的值．‎ ‎(2)若不等式f(x)≤2－|x－1|有解，求实数a的取值范围；‎ ‎[解]　(1)函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|的零点为和1，当a<2时知<1，‎ ‎∴f(x)＝ 由图可知f(x)在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴f(x)min＝f＝－＋1＝3， 得a＝－4<2(合题意)，即a＝－4.‎ ‎(2)由题意f(x)≤2－|x－1|，即为＋|x－1|≤1.而由绝对值的几何意义知＋|x－1|≥，‎ 由不等式f(x)≤2－|x－1|有解，‎ ‎∴≤1，即0≤a≤4.‎ ‎∴实数a的取值范围是[0,4]．‎