2017-2018学年天津市静海县第一中学高二上学期期末终结性检测数学（理）试题（Word版）

2017-2018学年天津市静海县第一中学高二上学期期末终结性检测数学（理）试题（Word版）

静海一中2017-2018第一学期高二理科数学 ‎ 期末终结性检测试卷 ‎ 考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷基础题（134分）和第Ⅱ卷提高题（16 分）两部分，共150分，考试时间为120分钟。‎ ‎2. 试卷书写规范工整，卷面整洁清楚，酌情减3-5分，并计入总分。‎ 知 识 技 能 学习能力 习惯养成 总分 内容 逻辑 立体几何 圆锥曲线 卷面整洁 ‎150‎ 分数 ‎27‎ ‎41[]‎ ‎87[]‎ ‎3-5分 第Ⅰ卷 基础题（共134分）‎ 一、选择题: （每小题5分，共40分） ‎ ‎1.设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（    ）‎ A．若，则      B．若，则 C．若，则        D．若，则 ‎2.已知方程表示椭圆，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．   B．‎ C．  D．‎ ‎3.设为实数，直线，，则“” 是“”的（  ）   ‎ A.充分不必要条件   B.必要不充分条件 C.充要条件         D.既不充分也不必要条件 ‎4.如图所示，在直三棱柱中，，，点分别是棱的中点，当二面角为时，直线和所成的角为（    ）‎ A.     B.      C.     D. ‎ ‎5.已知是抛物线上一动点，则点到直线和轴的距离之和的最小值是(    )‎ A.    B.     C．2   D. ‎ ‎6．已知为双曲线的左、右焦点，P(3，1)为双曲线内一点，点在双曲线上，则的最小值为(　　)‎ A.＋4 B.－4 C.－2 D.＋2 ‎7．若椭圆与双曲线有相同的焦点，若且，则椭圆的离心率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．已知F为抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧， (其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　)‎ A．2 B . C．3 D. ‎ 二、填空题：（每小题5分，共30分）‎ ‎9．命题的否定是 .‎ ‎10．若某几何体的三视图如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是 .‎ ‎11. 有下列四个命题：‎ ‎①命题“面积相等的三角形全等”的否命题；‎ ‎②“若，则互为倒数”的逆命题；‎ ‎③命题“若，则”的逆否命题；‎ ‎④命题“若则有实根”的逆否命题.‎ 其中是真命题的是                （填上你认为正确的命题的序号）‎ ‎12. 已知直线过点且与圆 交于两点，如果，那么直线的方程为         ． ‎ ‎13. 方程有两个不等实根，则实数的取值范围是         ．‎ ‎14．设分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线某条渐近线于两点，且满足，则该双曲线的离心率为          ．‎ 三、解答题（本大题共6题，共80分）‎ ‎15. （12分）已知命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得成立．‎ ‎(1)若p为真命题，求m的取值范围；‎ ‎(2)当，若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围．‎ ‎16. （12分）如图，已知圆C与y轴相切于点T(0,2)，与x轴的正半轴交于两点 (点在点的左侧)，且.‎ ‎(1)求圆C的方程；(2)过点任作一直线与圆O：相交于两点，连接，求证：定值．‎ ‎17．（13分）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，是棱PD的中点，且，．‎ ‎（I）求证：； （Ⅱ）求二面角的大小；‎ ‎（Ⅲ）若是上一点，且直线与平面成角的正弦值为，求的值．‎ ‎18. （14分）设椭圆C：的一个顶点与抛物线的焦点重合，分别是椭圆的左、右焦点，且离心率，过椭圆右焦点的直线l与椭圆C交于两点．‎ ‎(1)求椭圆C的方程； (2)若，求直线l的方程；‎ ‎(3)若是椭圆C经过原点O的弦，，求证：为定值．‎ ‎19. （13分）已知△ABC为等腰直角三角形，，，分别是边和的中点，现将沿 折起，使平面，分别是边和的中点，平面与，分别交于，两点．‎ ‎(1)求证：；‎ ‎(2)求二面角的余弦值； (3)求的长．‎ 第Ⅱ卷 提高题（共16分）‎ ‎20. （16分）设椭圆：的左、右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且，若过，，三点的圆恰好与直线相切．过定点的直线与椭圆交于，两点（点在点，之间）．‎ ‎   （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若实数满足，求的取值范围．‎ 静海一中2017-2018第一学期高二理科数学 ‎ 期末终结性检测试卷答题纸 得分框 知识与技能 学法题 习惯养成（卷面）‎ 总分 第Ⅰ卷基础题（共134分）‎ 二、填空题（每题5分，共30分）‎ ‎ 9.______ _ 10._____ _ ‎ ‎ 11._______ 12. _ _____ _ ‎ ‎13. 14. ‎ 三、解答题（本大题共6题，共80分） ‎ ‎15. （12分）‎ ‎16.（12分）‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎17.（13分）‎ ‎18．（14分）‎ ‎19．（13分）‎ ‎(1)‎ ‎(2)‎ ‎(3)‎ 第Ⅱ卷 提高题（共16分）‎ ‎20. （16分）‎ 高二数学理答案 选择题: （每小题5分，共40分） ‎ ‎1.设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（ B ）‎ A．若， ，则      B．若，，则 C．若，，则        D．若，，则 ‎2.已知方程表示椭圆，则实数m的取值范围是（D　）‎ A．（﹣∞，﹣1）     B．（﹣2，+∞）‎ C．（﹣∞，﹣）∪（﹣1，+∞）   D．（﹣2，﹣）∪（﹣，﹣1）‎ ‎3.设为实数，直线：，，则“”是“”的（A）   ‎ A.充分不必要条件          B.必要不充分条件 C.充要条件                  D.既不充分也不必要条件 ‎4.如图所示，在直三棱柱中，，，点分别是棱的中点，当二面角为时，直线和所成的角为（  B  ）‎ A.     B.     C.     D. ‎ ‎5.已知P是抛物线上一动点，则点到直线和y轴的距离之和的最小值是(    D )‎ A.           B.            C．2            D. ‎ ‎6．已知为双曲线的左、右焦点，P(3，1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则的最小值为(C　)‎ A.＋4 B.－‎4 C.－2 D.＋2 ‎7 ．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，若且，则椭圆的离心率是(　B)‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．已知F为抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(C　)‎ A．2 B . C．3 D. ‎ 二、填空题：（每小题6分，共30分）‎ ‎9．命题的否定是 .‎ ‎10．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是  cm3 .‎ ‎11. 有下列四个命题：①命题“面积相等的三角形全等”的否命题命题；②“若，则，互为倒数”的逆命题；③命题“若，则”的逆否命题；④命题“若，则有实根”的逆否命题.其中是真命题的是                （填上你认为正确的命题的序号）‎ ① ‎②‎ ‎12. 已知直线l过点(－4,0)且与圆 交于A、B两点，如果|AB|＝8，那么直线l的方程为         ．‎ ‎13. 方程有两个不等实根，则实数k的取值范围是         ．‎ ‎14．设分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线某条渐近线于两点，且满足，则该双曲线的离心率为          ．‎ 三、解答题（本大题共4题，共50分）‎ ‎15.已知命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得成立．‎ ‎(1)若p为真命题，求m的取值范围；‎ ‎(2)当，若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围．‎ 解　(1)∵对任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－‎3m恒成立，‎ ‎∴(2x－2)min≥m2－‎3m.即m2－‎3m≤－2.‎ 解得1≤m≤2.‎ 因此，若p为真命题时，m的取值范围是[1,2]．‎ ‎(2)∵a＝1，且存在x∈[－1,1]，使得m≤ax成立，‎ ‎∴m≤x，命题q为真时，m≤1.‎ ‎∵p且q为假，p或q为真，‎ ‎∴p，q中一个是真命题，一个是假命题．‎ 当p真q假时，则解得10)，‎ 则圆C的半径为m，又|MN|＝3，所以m2＝4＋2＝，解得m＝，所以圆C的方程为2＋(y－2)2＝.‎ ‎(2)由(1)知M(1,0)，N(4,0)，当直线AB的斜率为0时，易知kAN＝kBN＝0，即kAN＋kBN＝0.‎ 当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝1＋ty，将x＝1＋ty代入x2＋y2－4＝0，并整理得，(t2＋1)y2＋2ty－3＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 所以 则kAN＋kBN＝＋＝＋＝＝＝0.‎ 综上可知，kAN＋kBN为定值．‎ ‎17．如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，是棱PD的中点，且，．‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小；‎ ‎（Ⅲ）如果N是棱AB上一点，且直线CN与平面MAB所成角的正弦值为，求的值．‎ 证明：(I)连结AC．因为为在中，‎ ‎，，‎ 所以，所以．‎ 因为AB//CD，所以．‎ 又因为地面ABCD，所以．因为，‎ 所以平面PAC．‎ ‎ (II)如图建立空间直角坐标系，则．‎ 因为M是棱PD的中点，所以．‎ 所以，． 设为平面MAB的法向量，‎ 所以，即，令，则，‎ 所以平面MAB的法向量．因为平面ABCD，‎ 所以是平面ABC的一个法向量．‎ 所以．因为二面角为锐二面角，‎ 所以二面角的大小为．‎ ‎(III)因为N是棱AB上一点，所以设，．‎ 设直线CN与平面MAB所成角为，‎ 因为平面MAB的法向量，‎ 所以．‎ 解得，即，，所以．‎ ‎18. 设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点与抛物线C：x2＝4y的焦点重合，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e＝，过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M，N两点．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若·＝－2，求直线l的方程；‎ ‎(3)若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求证：为定值．‎ ‎(1)椭圆的顶点为(0，)，即b＝，e＝＝，∴a＝2，∴椭圆的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)由题可知，直线l与椭圆必相交．‎ ‎①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．‎ ‎②当斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，‎ 且M(x1，y1)，N(x2，y2)．‎ 由得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，x1＋x2＝，x1x2＝，‎ ·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]‎ ‎＝＋k2 ‎＝＝－2，解得k＝±，‎ 故直线l的方程为y＝(x－1)或y＝－(x－1)．‎ ‎(3)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，‎ 由(2)可得|MN|＝|x1－x2|‎ ‎＝ ‎＝ ‎＝，‎ 由消去y并整理得x2＝，‎ ‎|AB|＝|x3－x4|＝4，‎ ‎∴＝＝4，为定值．‎ ‎19. 已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，D，E分别是边AC和AB的中点，现将△ADE沿DE折起，使平面ADE⊥平面DEBC，H，F分别是边AD和BE的中点，平面BCH与AE，AF分别交于I，G两点．‎ ‎(1)求证：IH∥BC；‎ ‎(2)求二面角A－GI－C的余弦值；‎ ‎(3)求AG的长．‎ ‎(1)证明：因为D，E分别是边AC和AB的中点，所以ED∥BC.‎ 因为BC⊂平面BCH，ED⊄平面BCH，所以ED∥平面BCH.‎ 因为ED⊄平面BCH，ED⊂平面AED，平面BCH∩平面AED＝HI，所以ED∥HI.‎ 又因为ED∥BC，所以IH∥BC.‎ ‎(2)如图，建立空间直角坐标系，由题意得，D(0,0,0)，E(2，0,0)，A(0,0,2)，F(3,1,0)，C(0,2,0)，H(0,0,1)，B(4,2,0)，＝(－2,0,2)，＝(1,1,0)， ‎＝(0，－2，1)，＝＝(1,0,0)．‎ 设平面AGI的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，‎ 则 令z1＝1，解得x1＝1，y1＝－1，则n1＝(1，－1,1)．‎ 设平面CIG的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，‎ 则 令z2＝2，解得y2＝1，则n2＝(0,1,2)．‎ 所以cos〈n1，n2〉＝＝，所以二面角A－GI－C的余弦值为.‎ ‎(3)由(2)知，＝(3,1，－2)，‎ 设＝λ＝(3λ，λ，－2λ)，0<λ<1，‎ 则＝－＝(0,0，－1)－(3λ，λ，－2λ)＝(－3λ，－λ，2λ－1)，由·n2＝0，解得λ＝，‎ 故AG＝AF＝ ＝.‎ 第Ⅱ卷 提高题（共15分）‎ ‎20. 设椭圆：的左、右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且，若过，，三点的圆恰好与直线：相切．过定点的直线与椭圆交于，两点（点在点，之间）．‎ ‎   （Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎   （Ⅱ）若实数满足，求的取值范围．‎ 解析】（Ⅰ）因为，所以为的中点.设的坐标为，‎ 因为，所以，，‎ 且过三点的圆的圆心为，半径为.  因为该圆与直线相切，所以.‎ 解得，所以，.‎ ‎       故所求椭圆方程为.  ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分 ‎（Ⅱ）①当直线斜率存在时，‎ 设直线方程为，代入椭圆方程 得.‎ 由，得.       设，，‎ 则，.   ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7分 又，所以. 所以.‎ 所以，.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8分 所以.  所以.‎ 整理得. 因为，所以，即. 所以.‎ 解得且.‎ 又，所以.   ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10分 ‎②又当直线斜率不存在时，直线的方程为，‎ 此时，，，，‎ ‎，所以.‎ 所以，即所求的取值范围是.┈┈┈┈┈┈┈┈12分 静海一中2017-2018第一学期高二理科数学（附加题）‎ ‎ 期末终结性检测试卷 ‎1．（15分）椭圆中心为坐标原点O,对称轴为坐标轴,且过M（2，） ，N(,1)两点， ‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。‎ ‎2．（15分）在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.‎ ‎（Ⅰ）求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若，‎ （i） 求证：直线过定点；‎ ‎（ii）试问点能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由. ‎ 小卷1、椭圆过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。[][]‎ 答案：略 ‎2）在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.‎ ‎（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若∙，（i）求证：直线过定点；‎ ‎（ii）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意:设直线,‎ 由消y得:,设A、B,AB的中点E,则由韦达定理得: =,即,,所以中点E的坐标为E,因为O、E、D三点在同一直线上，所以，即，解得 ‎，所以=,当且仅当时取等号,即的最小值为2.‎ ‎（Ⅱ）（i）证明:由题意知:n>0,因为直线OD的方程为,所以由得交点G的纵坐标为,又因为,,且∙，所以,又由（Ⅰ）知: ,所以解得,所以直线的方程为,即有,令得,y=0,与实数k无关,所以直线过定点(-1,0).‎ ‎（ii）假设点，关于轴对称,则有的外接圆的圆心在x轴上,又在线段AB的中垂线上,‎ 由（i）知点G(,所以点B(,又因为直线过定点(-1,0),所以直线的斜率为，又因为，所以解得或6，又因为,所以舍去,即，此时k=1，m=1，E，AB的中垂线为2x+2y+1=0，圆心坐标为，G(,圆半径为，圆的方程为.综上所述, 点，关于轴对称,此时的外接圆的方程为