数学卷·2018届福建省南安市侨光中学高二上学期第一次阶段考试理数试题（解析版）

数学卷·2018届福建省南安市侨光中学高二上学期第一次阶段考试理数试题（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！‎ 第Ⅰ卷（共70分）‎ 一、选择题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若角的终边上有一点，则的值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由三角函数定义可知 考点：三角函数定义 ‎2.等差数列 中，， ，则（ ）‎ A．64　　 B．31　　 C．16　　 D．15‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由等差数列性质可知 考点：等差数列性质 ‎3.已知是的边上的中点，若，，则等于（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 考点：平面向量基本定理 ‎4.在中,,,，则的面积为（ ）‎ A． B． C．　 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由得 考点：解三角形 ‎5.等比数列中，已知前4项和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比为（ ）‎ A．2 B．－2 C．2或－1 D．2或－2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可知 考点：等比数列求和公式及性质 ‎6.等差数列前项和为，且，则下列结论正确的是（ ） A．是中的最大值 C．=0‎ B．是中的最小值 D．=0 ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：设等差数列的公差为d，①若d=0，可排除A，B；②d≠0，可设Sn=pn2+qn（p≠0），‎ ‎∵，∴400p+20q=1600p+40q，q=-60p，‎ ‎∴S60=3600p-3600p=0‎ 考点：等差数列的性质 ‎7.在中，，，则此三角形一定是（ ）‎ A．直角三角形 B．钝角三角形 ‎ C．等腰直角三角形 D．等边三角形【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac，‎ 又b2=ac，‎ ‎∴a2+c2-ac=ac，‎ ‎∴（a-c）2=0，‎ ‎∴a=c，‎ ‎∴A=B=C=60°，‎ ‎∴△ABC的形状是等边三角形 考点：余弦定理 ‎8.数列满足并且.则数列的第100项为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：为等差数列，首项为，第二项为 ‎ ‎ 考点：数列求通项公式 ‎9.在中，角、、的对边分别为、、，若，则角的值为（ ）‎ A． B． C．或　 D．或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：或 考点：余弦定理解三角形 ‎10.若角的终边落在直线上，则的值等于（ ）‎ A． B． C． D．或 ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：角的终边落在直线上或，分别代入可得其值为0‎ 考点：三角函数定义及求值 ‎11.函数的图象如图所示，则y的表达式为（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由图像可知最大值为2，所以A=2，周期，代入点 得，所以函数式为 考点：三角函数图像及性质 ‎12.函数，其中为实数，若对 恒成立，‎ 且，则的单调递增区间是（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：若对x∈R恒成立，‎ 则f（）等于函数的最大值或最小值 即2×+φ=kπ+，k∈Z 则φ=kπ+，k∈Z 又f()＞f(π)‎ 即sinφ＜0‎ 令k=-1，此时φ=−，满足条件 令2x−∈，k∈Z 解得x∈(k∈Z)‎ 考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 ‎13. 一个大型喷水池的中央有一个竖直地面喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱顶端离地面的高度，某人（身高1.8米）在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为，沿点向北偏东前进100米到达点，在点测得水柱顶端的仰角为，则水柱顶端离地面的高度约是（ ）‎ A．100米 B．101.8米 C．50米 D．51.8米 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：设水珠顶点为S，底部为O，设 ,在中 ，水柱顶端离地面的高度约是51.8米 考点：解三角形的实际应用 ‎14.对于任意实数,符号表示“不超过的最大整数”，如，，定义函数．给出下列四个结论：‎ ‎① 函数的值域是；‎ ‎② 函数是奇函数；‎ ‎③ 函数是周期函数，且最小正周期为4；‎ ‎④ 函数的图像与直线有三个不同的公共点．‎ 其中错误结论的个数为（ ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：∵函数．‎ ‎∴f（-）=sin（-）=-1；‎ f（）=sin（0）=0．‎ 故①函数y=f（x）是奇函数，错误；‎ 函数y=f（x）的值域是{-1，0，1}，故②错误；‎ 函数y=f（x）是周期函数，且最小正周期为4，故③正确；‎ 函数y=f（x）的图象与直线y=x-1有无公共点，故④错误．‎ 故真命题的个数为1个 考点：命题的真假判断与应用；进行简单的合情推理 第Ⅱ卷（共80分）‎ 二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）‎ ‎15.计算 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 考点：两角差的余弦公式 ‎16.在中，，，当的面积等于时， . ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，由余弦定理可知，，由得 考点：正余弦定理解三角形 ‎17.已知数列的前项和，则= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：时，当时，所以通项公式为 考点：数列求通项公式 ‎18.已知外接圆半径是2，，则边长为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析： ‎ 考点：解三角形 ‎19.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升 ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题设知，‎ 解得，‎ ‎∴‎ 考点：数列的应用 ‎20.平面凸四边形，，则此四边形的最大面积为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：连接BD，在△ABD和△BCD中分别应用余弦定理，‎ 可得：BD2=AB2+AD2-2AB•AD•cosA=BC2+CD2-2BC•CD•cosC，‎ 整理有：5cosA-6cosC=1…①，‎ 四边形ABCD的面积：S＝S△ABD+S△BCD＝AB•AD•sinA+ BC•CD•sinC＝5sinA+6sinC，…②‚‎ ‎①式②‚式平方相加得：S2+1=25-60cos（A+C）+36，‎ 可得：S2=60-60cos（A+C）≤120，‎ 当A+C=π时，四边形ABCD的面积S取到最大值为 考点：余弦定理 三、解答题 （本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎21.(本题满分12分）设点,,为坐标原点，点满足=+，（为实数）；‎ ‎（1）当点在轴上时，求实数的值； ‎ ‎（2）四边形能否是平行四边形？若是,求实数的值；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）四边形OABP不是平行四边形 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设点P（x，0），由=+得（x，0）=（2，2）+t（3，2 ），解出t值．（2），设点P（x，y），假设四边形OABP是平行四边形，根据向量平行得出坐标间的关系，由=+，推出矛盾，故假设是错误的 试题解析：（1）设点P（x，0）， =(3,2), ‎ ‎∵=+，∴ (x,0)=(2,2)+t(3,2), ‎ ‎ ∴ ‎ ‎(2)设点P（x,y），假设四边形OABP是平行四边形，‎ 则有∥, Þ y=x―1, ∥ Þ2y=3x ……①, ‎ 又由=+，Þ (x,y) =(2,2)+ t(3,2),得 ∴ …… ②, ‎ 由①代入②得：， 矛盾，∴假设是错误的， ‎ ‎∴四边形OABP不是平行四边形。 ‎ 考点：平面向量的坐标运算；平行向量与共线向量 ‎22.(本题满分12分）等比数列的前项和，已知，且 , , 成等差数列. ‎ ‎（1）求数列的公比和通项； ‎ ‎（2）若是递增数列，令，求.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 考点：数列的求和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和 ‎23.(本题满分12分）如图中，已知点在边上，且，，，．‎ ‎（1）求的长；（2）求．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 考点：余弦定理；正弦定理的应用 ‎24.(本题满分14分）‎ 已知数列中，‎ ‎（1）令，求证数列是等比数列；‎ ‎（2）求数列的通项；‎ ‎（3）设分别为数列的前项和，是否存在实数，使得数列 为等差数列？若存在，试求出. 若不存在, 则说明理由.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）（3）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由已知得，从而，，．由此能证明是以为首项，以为公比的等比数列．（2）由，利用累加法能求出（3）首先求得的表达式，代入可得其通项公式，将代入，依据前3项的关系可得到的值 试题解析：（1）由已知得  ‎ ‎ 又 是以为首项，以为公比的等比数列.　‎ ‎（2）由（1）知， ‎ 将以上各式相加得：‎ ‎　　 　‎ ‎ ‎ ‎（3） 假设存在实数，使得数列为等差数列 由（1）、（2）知， ‎ ‎ ‎ 当时，为等差数列 当且仅当时，数列是等差数列.‎ 考点：等差数列与等比数列的综合 ‎ ‎