数学卷·2018届江苏省宝应中学高三上学期第一次月考（2017

数学卷·2018届江苏省宝应中学高三上学期第一次月考（2017

江苏省宝应中学17-18学年第一学期高三年级月考测试 ‎ ‎(数学)‎ 一、 填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。‎ ‎1．， ，则__________．‎ ‎2．设复数，若，则实数a=_________． ‎ ‎3．设函数，那么____________．‎ ‎4．若实数x，y满足约束条件，则的最小值为_ _．‎ ‎5．已知方程的根，则________.‎ ‎6．设△的内角 , ,所对的边长分别为,若,则 的值为____.‎ ‎7．设为所在平面内一点， ，若，则__________．‎ ‎8．若一个圆的圆心是抛物线的焦点，且该圆与直线相切，则该 ‎ 圆的标准方程是____________.‎ ‎9．若，则__________．‎ ‎10．以双曲线的两焦点为直径作圆，且该圆在轴上方交双曲线于，两点；再以线段为直径作圆，且该圆恰好经过双曲线的两个顶点，则双曲线的离心率为__________．‎ ‎11．如图，等腰梯形的底边长分别为8和6，高为7，圆为等腰梯形的外接圆，对于平面内两点， （），若圆上存在点，使得，则正实数的取值范围是__________．‎ ‎12．‎ 在平面直角坐标系中，分别过点，的直线，满足：，且，被圆：截得的弦长相等，则直线的斜率的取值集合为_________.‎ ‎13．设， 为实数，若，则的最大值__________．‎ ‎14．已知函数，若对任意恒成立，则实数 取值范围是___．‎ 二、解答题 （本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎15．已知命题p：方程有两个不相等的实数根；命题q：． ‎ ‎（1）若p为真命题，求实数m的取值范围； ‎ ‎（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎16．已知向量，设函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的最大值及此时的取值集合；‎ ‎（Ⅱ）在中，角所对的边长分别为，已知，且的面积为3， ，求的外接圆半径的大小.‎ ‎17．已知圆，直线过定点， 为坐标原点.‎ ‎（1）若圆截直线的弦长为，求直线的方程；‎ ‎（2）若直线的斜率为，直线与圆的两个交点为，且，求斜率的取值范围. ‎ ‎18．在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为（米/单位时间），每单位时间的用氧量为（升），在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9（升），返回水面的平均速度为（米/单位时间），每单位时间用氧量为1.5（升），记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为（升）.‎ ‎（1）求关于的函数关系式；‎ ‎（2）若 ，求当下潜速度取什么值时，总用氧量最少.‎ ‎19．椭圆（）的上下左右四个顶点分别为，，，，轴正半轴上的某点满足，.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程以及点的坐标；‎ ‎（2）过点作倾斜角为锐角的直线交椭圆于点，过点作直线交椭圆于点，，且，是否存在这样的直线，使得，，的面积相等？若存在，请求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.‎ ‎20．已知函数在单调递增，其中．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，当时，试比较与的大小关系（其中是的导函数），请写出详细的推理过程；‎ ‎（3）当时， 恒成立，求的取值范围．‎ 江苏省宝应中学17-18学年第一学期高三年级月考测试 ‎ ‎(数学理科附加题)‎ ‎21．已知矩阵A= ，B=.‎ ‎1)求AB;‎ ‎2)若曲线C1; 在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2 ，求C2的方程.‎ 22． 平面直角坐标系中，倾斜角为的直线过点，以原点为极点，‎ ‎ 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)写出直线的参数方程(为常数)和曲线的直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线与交于、两点，且，求倾斜角的值.‎ ‎23．如图，在多面体中，四边形是正方形，在等腰梯形中，，，，平面平面.‎ ‎(1)证明：；‎ ‎(2)求二面角的余弦值. ‎ ‎24．甲、乙两人想参加《中国诗词大会》比赛，筹办方要从10首诗词中分别抽出3首让甲、乙背诵，规定至少背出其中2首才算合格； 在这10首诗词中，甲只能背出其中的7首，乙只能背出其中的8首 ‎（1）求抽到甲能背诵的诗词的数量的分布列及数学期望；‎ ‎（2）求甲、乙两人中至少且有一人能合格的概率.‎ 江苏省宝应中学17-18学年第一学期高三年级月考测试 ‎ 数学参考答案及评分标准 ‎1．；2．；3．27；4．；5．2；6．4；7．-3；8．；‎ ‎9．；10.；11．；12．；3．；14．‎ ‎15．解：（1）若为真命题，则应有，解得； ----5分 ‎（2）若为真命题，则有，即， ----7分 因为为真命题，为假命题， 则，应一真一假。---9分 ‎①当真假时，有，得； ----11分 ‎②当假真时，有，无解， ----13分 综上，的取值范围是． ----14分 ‎16．解：‎ ‎（Ⅰ）由题意 ‎ .---3分 令，得，‎ ‎∴，此时的集合为. ----6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴. ----9分 ‎∵,∴.‎ 由余弦定理得 ‎ ‎， ----12分 由正弦定理得，‎ ‎∴的外接圆半径. -----14分 ‎17．解：(1) 圆的标准方程为 ‎ 圆心为,半径 ‎ 由弦长为，得弦心距 ‎ 当斜率不存在时，直线为符合题意； ---- 2分 ‎ 当斜率存在时，设直线为即 则 化简得 ‎ 直线方程为 ----7分 ‎ 故直线方程为或 ----8分 ‎ ‎(2) 设直线为即， ，则 联立方程得 ‎，且恒成立 ‎ ‎ ‎ 即 ‎ ‎ -----15分 ‎ ‎18．解：（1）由题意，下潜用时（单位时间），用氧量为（升），‎ 水底作业时的用氧量为（升），‎ 返回水面用时（单位时间），用氧量为（升），‎ ‎∴总用氧量. ----------6分 ‎（2），‎ 令得，‎ 在时，，函数单调递减，‎ 在时，，函数单调递增，------10分 ‎∴当时，函数在上递减，在上递增，‎ ‎∴此时，时总用氧量最少， -----------12分 当时，在上递增，‎ ‎∴此时时，总用氧量最少. ------------14分 答：当时，时总用氧量最少；‎ 当时，时，总用氧量最少. ------15分 ‎19．解：（1）设点的坐标为（），易知，，‎ ‎，.‎ 因此椭圆标准方程为，点坐标为. ----------5分 （2） 设直线的斜率为，，，，‎ 则：，：‎ ‎、的面积相等，则点，到直线的距离相等.‎ 所以，解之得或（舍）. ---8分 当时，直线的方程可化为：，代入椭圆方程并整理得：‎ ‎，所以 所以；‎ 所以的面积为. ---12分 当时，直线的方程可化为：，代入椭圆方程并整理得：‎ ‎，解之得或（舍）‎ 所以的面积为. ------15分 所以，满足题意. -------16分 ‎20．解：（1）∵在单调递增，‎ ‎∴ 在上恒成立，即（）恒成立，‎ ‎∵当时， ， ‎ ‎∴，又，∴，‎ ‎∴，∴．-------4分 ‎（2）由（1）可知，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，‎ 令， ，‎ ‎∴， ，‎ ‎∴在上单调递增，∴，-----6分 令，则在单调递减，‎ ‎∵， ，‎ ‎∴，使得在单调递增，在单调递减，‎ ‎∵， ，‎ ‎∴， ----8分 ‎∴，‎ 又两个函数的最小值不同时取得，‎ ‎∴，即． -----9分 ‎（3）∵恒成立，即恒成立，‎ 令，则，‎ 由（1）得，即（），∴（），‎ 即（），∴， ----10分 ‎∴，‎ 当时，∵，∴，‎ ‎∴单调递减，∴，符合题意；----12分 当时， 在上单调递增，‎ ‎∴，‎ ‎∴单调递增，∴符合题意， ----14分 当时， ，∴在上单调递增，‎ 又，且， ，‎ ‎∴在存在唯一零点，‎ 在单调递减，在单调递增，‎ ‎∴当时， ，‎ ‎∴在单调递减，∴，不合题意．‎ 综上， ． ------------16分 附加卷答案 ‎21．解：解：（1）因为A=， B=，‎ 所以AB== . ----5分 ‎（2）设为曲线上的任意一点，‎ 它在矩阵AB对应的变换作用下变为,‎ 则，即，所以.‎ 因为在曲线上，所以，‎ 从而，即.‎ 因此曲线在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线 .---------10分 ‎22．解:(1)直线的参数方程为 (为参数)，‎ 曲线的直角坐标方程： . --------5分 ‎(2)把直线的参数方程代入，得，‎ ‎， ，‎ 根据直线参数的几何意义， ，‎ 得或.‎ 又因为，‎ 所以. ---------10分 ‎23． (1)证明：如图，取的中点，连接，因为，，‎ 所以四边形为平行四边形，‎ 又，所以四边形为菱形，从而.‎ 同理可证，因此.‎ 由于四边形为正方形，且平面平面，平面平面，‎ 故平面，从而，‎ 又，故平面，即. ------4分 ‎(2)解：由(1)知可建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 则，，，，.‎ 故，，设为平面的一个法向量，‎ 故，即，故可取.‎ 又，，设为平面的一个法向量，‎ 故，即，故可取.‎ 故.‎ 易知二面角为锐角，则二面角的余弦值为.-------10分 ‎24．解：（1）依题意，甲答对试题数ξ的可能取值为 ‎ 其概率分别如下： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ξ的概率分布如下：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎--------4分 ‎ ‎ 甲答对试题数ξ的数学期望 ‎-----6分 ‎ ‎（2）设甲、乙两人考试合格的事件分别为，则 ‎ ‎ ‎ ‎ 因为事件相互独立，故甲、乙两人考试均不合格的概率为 -----------8分 ‎ 所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为. ----------10分 ‎ ‎