北京市西城区2018届高三一模文科数学试题Word含答案

北京市西城区2018届高三一模文科数学试题Word含答案

‎ 西城区高三统一测试 数学（文科）2018.4‎ 第Ⅰ卷（选择题 共40分）‎ 一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项．‎ ‎1．若集合，，则 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎2．若复数的实部与虚部相等，则实数 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎3．执行如图所示的程序框图，输出的值为 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎4．若函数是奇函数，则 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎5．正三棱柱的三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是 ‎（A）（B）‎ ‎（C）（D）‎ ‎6．已知二次函数．则“”是“恒成立”的 ‎（A）充分而不必要条件 ‎（B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 ‎（D）既不充分也不必要条件 ‎7．已知是正方形的中心．若，其中，，则 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎8．如图，在长方体中，，‎ ‎，点在侧面上．满足到直线和 的距离相等的点 ‎（A）不存在 ‎（B）恰有1个 ‎（C）恰有2个 ‎（D）有无数个 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9．函数的定义域是____．‎ ‎10．已知，满足条件则的最小值为____．‎ ‎11．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则____；‎ 双曲线的渐近线方程是____．‎ ‎12．在△中，，，，则____．‎ ‎13．能够说明“存在不相等的正数，，使得”是真命题的一组，的值为____．‎ ‎14．某班共有学生40名，在乒乓球、篮球、排球三项运动中每人至少会其中的一项，有些人会其中的两项，没有人三项均会．若该班18人不会打乒乓球，24人不会打篮球，16人不会打排球，则该班会其中两项运动的学生人数是____．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分13分）‎ 设等差数列的公差不为0，，且，，成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列的前项和为，求使成立的的最小值．‎ ‎16．（本小题满分13分）‎ 函数的部分图象如图所示．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ 某企业2017年招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：‎ 岗位 男性应聘人数 男性录用人数 男性录用比例 女性应聘人数 女性录用人数 女性录用比例 A ‎269‎ ‎167‎ ‎62%‎ ‎40‎ ‎24‎ ‎60%‎ B ‎40‎ ‎12‎ ‎30%‎ ‎202‎ ‎62‎ ‎31%‎ C ‎177‎ ‎57‎ ‎32%‎ ‎184‎ ‎59‎ ‎32%‎ D ‎44‎ ‎26‎ ‎59%‎ ‎38‎ ‎22‎ ‎58%‎ E ‎3‎ ‎2‎ ‎67%‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎67%‎ 总计 ‎533‎ ‎264‎ ‎50%‎ ‎467‎ ‎169‎ ‎36%‎ ‎（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；‎ ‎（Ⅱ）从应聘E岗位的6人中随机选择1名男性和1名女性，求这2人均被录用的概率；‎ ‎（Ⅲ）表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）‎ ‎18．（本小题满分14分）‎ 如图1，在△中，，分别为，的中点，为的中点，，．将△沿折起到△的位置，使得平面平面，为的中点，如图2．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅲ）线段上是否存在点，使得平面？说明理由．‎ 图1 图2‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 已知椭圆的离心率为，以椭圆的任意三个顶点为顶点的三角形的面积是．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设是椭圆的右顶点，点在轴上．若椭圆上存在点，使得，求点横坐标的取值范围．‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ 已知函数，其中．‎ ‎（Ⅰ）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；‎ ‎（Ⅱ）记的导函数为．当时，证明：存在极小值点，且．‎ 西城区高三统一测试 数学（文科）参考答案及评分标准 ‎2018.4‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.‎ ‎1．D 2．B 3．C 4．A ‎5．D6．B 7．A8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. ‎ ‎9．10．11．，‎ ‎12．13．（答案不唯一）14．22‎ 注：第11题第一空3分，第二空2分. ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. ‎ ‎15．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，．‎ 因为，，成等比数列，所以．[ 2分]‎ 即，[ 4分]‎ 解得，或（舍去）．[ 6分]‎ 所以的通项公式为．[ 8分]‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以．[10分]‎ 依题意有，‎ 解得．[12分]‎ 使成立的的最小值为8．[13分]‎ ‎16．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）依题意，有，[ 2分]‎ 所以 ，‎ 解得 ．[ 4分]‎ ‎（Ⅱ）因为 ‎[ 6分]‎ ‎[ 9分]‎ ‎．[10分]‎ 所以的最小正周期．[11分]‎ 所以 ．[13分]‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）因为表中所有应聘人员总数为，‎ 被该企业录用的人数为．‎ 所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为．‎ ‎[3分]‎ ‎（Ⅱ）记应聘E岗位的男性为，，，被录用者为，；应聘E岗位的女性为，，，被录用者为，．[4分]‎ 从应聘E岗位的6人中随机选择1名男性和1名女性，共9种情况，即：．[7分]‎ 这2人均被录用的情况有4种，即：．[8分]‎ 记“从应聘E岗位的6人中随机选择1名男性和1名女性，这2人均被录用”为事件，‎ 则．[10分]‎ ‎（Ⅲ）这四种岗位是：B、C、D、E．[13分]‎ ‎18．（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）取线段的中点，连接，．[1分]‎ 因为在△中，，分别为，的中点，‎ ‎ 所以 ，．‎ 因为 ，分别为，的中点，‎ ‎ 所以 ，， ‎ 所以 ，，‎ 所以 四边形为平行四边形，[3分]‎ 所以 ．[ 4分]‎ ‎ 因为 平面， 平面，‎ ‎ 所以 平面．[ 5分]‎ ‎（Ⅱ）因为在△中，，分别为，的中点，‎ ‎ 所以 ．‎ 所以，又为的中点，‎ 所以 ．[ 6分]‎ 因为平面平面，且平面，‎ ‎ 所以 平面，[ 7分]‎ ‎ 所以 ．[ 8分]‎ 在△中，，易知 ，‎ 所以 ，‎ 所以 平面，[ 9分]‎ 所以 平面平面．[10分]‎ ‎（Ⅲ）线段上不存在点，使得平面．[11分]‎ 否则，假设线段上存在点，使得平面，‎ ‎ 连接 ，，‎ 则必有 ，且．‎ 在△中，由为的中点，，‎ 得为的中点．[12分]‎ 在△中，因为，‎ 所以，‎ 这显然与，矛盾！‎ 所以线段上不存在点，使得平面．[14分]‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为．依题意，得 ‎，，且．[ 3分]‎ 解得，．‎ 所以椭圆的方程为．[ 5分]‎ ‎（Ⅱ）“椭圆上存在点，使得”等价于“存在不是椭圆左、右顶点的点，使得成立”．[ 6分]‎ 依题意，．设，，则，[ 7分]‎ 且，‎ 即．[ 9分]‎ 将代入上式，‎ 得 ．[10分]‎ 因为，‎ 所以，‎ 即．[12分]‎ 所以，‎ 解得，‎ 所以 点横坐标的取值范围是．[14分]‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）．[ 2分]‎ ‎ 依题意，有 ，[ 3分]‎ 解得．[ 4分]‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，‎ 所以．[6分]‎ 因为，所以与同号．‎ 设，[7分]‎ 则 ．‎ 所以对任意，有，故在单调递增．[8分]‎ 因为，所以，，‎ 故存在，使得．[10分]‎ 与在区间上的情况如下：‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．‎ 所以若，存在，使得是的极小值点．[11分]‎ 令，得，‎ 所以．[13分]‎