数学文卷·2018届河北省辛集中学高三上学期第三次月考（2017

数学文卷·2018届河北省辛集中学高三上学期第三次月考（2017

河北辛集中学2018届高三年级上学期第三次月考 高三数学文科 一、选择题（共12个小题，每小题5分）‎ ‎1．设i是虚数单位，复数，则｜z｜＝（ ）‎ A.1 B. C. D. 2‎ ‎2．设集合A={2，lnx}，B={x，y}，若A∩B={0}，则y的值为（　　）‎ A．0 B．1 C．e D．‎ ‎3．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m,n的比值＝（ ）‎ A.1 B. C. D. ‎ ‎4．将函数f （x） = cosx－sinx（xR）的图象向左平移a（a>0）个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则a的最小值是（ ）‎ A. B. C. D、‎ ‎5．已知向量，，若向量满足与的夹角为120°，，则=（　　）‎ A.1 B. C.2 D. ‎ ‎6. 已知f（x）=|lgx|，则、f（）、f（2）的大小关系是（　　）‎ A．f（2）＞f（）＞ B．＞f（）＞f（2） ‎ C．f（2）＞＞f（） D．f（）＞＞f（2‎ ‎7．已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且 ‎，则角B的大小为（ ）‎ A. 300 B. 450 C. 600 D、 1200‎ ‎8．已知函数f（x）=xa的图象过点（4，2），令（n∈N），记数列{an}的前n项和为Sn，则S2017=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.若f（x）=lg（x2﹣2ax+1+a）在区间（﹣∞，1]上递减，则a的取值范围为（　　）‎ A．[1，2） B．[1，2] C．[1，+∞） D．[2，+∞） ‎ ‎10．已知两点A（1，0），B（1，），O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC=120°，设=﹣2，（λ∈R），则λ等于（　　）‎ A．﹣1 B．2 C．1 D．﹣2‎ ‎11．已知函数f（x）＝，函数恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）‎ A.［一1，1） B.［0, 2］ C.［一2，2） D.［一1，2）‎ ‎12．设集合A=[0，1），B=[1，2]，函数f（x）=，x0∈A，且f[f（x0）]∈A，则x0 的取值范围是（　　）‎ A．（，1） B．[0，] C．（log2，1） D．（log32，1） ‎ 二、填空题（共4个小题，每小题5分）‎ ‎13．设等比数列｛｝的前n项和为，若，则＝ ．‎ ‎14．如图，y=f（x）是可导函数，直线l: y=kx+2是曲线y= f（x）在x=3处的切线，令g（x）=xf（x），其中是g（x）的导函数，则＝ ．‎ ‎15．若满足约束条件，则的取值范围为； ‎ ‎16．给出下列四个命题：‎ ‎①若a＜b，则a2＞b2；‎ ‎②若a≥b＞﹣1，则；‎ ‎③若正整数m和n满足；m＜n，则；‎ ‎④若x＞0，且x≠1，则lnx+；‎ 其中真命题的序号是　 　（请把真命题的序号都填上）．‎ 三、解答题（共6个小题，共70分）‎ ‎17．（ 12分）已知数列｛｝的前n项和为，且.‎ ‎（Ⅰ）求数列｛｝的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求使对任意恒成立的实数k的取值范围．‎ ‎18．（ 12分）最新高考改革方案已在上海和江苏开始实施，某教育机构为了解我省广大师生对新高考改革方案的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下：‎ 在全体师生中随机抽取1名“赞成改革”的人是学生的概率为0.3，且z=2y.‎ ‎（Ⅰ）现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不 赞成改革”的教师和学生人数各是多少？‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）中所抽取的“不赞成改革”的人中，随机选出三人进行座谈，求至少有一名教师被选出的概率。‎ ‎19．在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD， ∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．‎ ‎（1）求证：BC⊥平面PBD；‎ ‎（2）设Q为侧棱PC的中点，求三棱锥Q﹣PBD的体积；‎ ‎20．（ 12分）已知椭圆（a＞b＞0）和直线l：y＝bx＋2，椭圆的离心率e＝，坐标原点到直线l的距离为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆相交于C，D两点，使得,求k的值．‎ ‎21．（ 12分）已知函数f（x）＝ax－l＋lnx，其中a为常数．‎ ‎（Ⅰ）当时，若f（x）在区间（0，e）上的最大值为一4，求a的值；‎ ‎（Ⅱ）当时，若函数存在零点，求实数b的取值范围．‎ 选做题（本小题满分10分）‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。‎ ‎22．过点P（）作倾斜角为α的直线与曲线x2+2y2=1交于点M，N．‎ ‎（1）写出直线的一个参数方程；‎ ‎（2）求|PM|•|PN|的最小值及相应的α值．‎ ‎23. 设f（x）=|ax﹣1|+|x+2|，（a＞0）．‎ ‎（I）若a=1，时，解不等式 f（x）≤5；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）≥2，求a的最小值．‎ ‎　‎ 高三数学文科第三次阶段测试答案 ‎1．B 2．A 3.C 4．B 5.D 6．B．7．A 8．B 9．A 10．C 11．D 12．C ‎13．28 14．0 15． 16．②③.‎ ‎12.解：令t=f（x0），由f（t）∈A得或，‎ 即或，解得＜t＜2，‎ 即有即为，‎ 即有log2＜x0＜1．‎ 故选C．‎ ‎16．解：①若a=0，b=1，则a2＜b2；所以①不成立．‎ ‎②=，因为若a≥b＞﹣1，所以1+a＞0，1+b＞0，a﹣b＞0，‎ 所以，所以，所以②正确．‎ ‎③因为正整数m和n满足；m＜n，所以由基本不等式可得，所以③正确．‎ 因为当0＜x＜1，时，lnx＜0，不满足基本不等式的条件，所以④错误．‎ 故答案为：②③．‎ ‎17.试题解析：（1）由可得， 因为，‎ 所以，当时，， 即：.‎ 数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以，（）. 6分 ‎（2）.‎ 由对任意恒成立，即实数对恒成立；‎ 设，则当或时，取得最小值为，所以.‎ ‎18．试题解析：（Ⅰ）由题意，所以，因为，所以则应抽取教师人数应抽取学生人数 5分 ‎（Ⅱ）所抽取的“不赞成改革”的2名教师记为，4名学生记为1,2,3,4，随机选出三人的不同选法有 ‎，‎ ‎，共20种，9分 至少有一名教师的选法有 ‎，‎ 共16种，‎ 至少有一名教师被选出的概率 12分 ‎19．（1）证明：∵面PCD⊥底面ABCD，‎ 面PCD∩底面ABCD=CD，PD⊂面PCD，且PD⊥CD，‎ ‎∴PD⊥面ABCD，又BC⊂面ABCD，∴BC⊥PD，①‎ 取CD中点E，连结BE，则BE⊥CD，且BE=1，‎ 在Rt△ABD中，BD=，在Rt△BCE中，BC=，‎ ‎∵BD2+BC2=（）2+（）2=22=CD2，∴BC⊥BD，②‎ ‎∵PD∩BD=D ‎∴BC⊥面PBD ‎（2）解：∵Q为侧棱PC的中点，取BC中点N，连结QN，‎ 则QN∥PB，BC⊥面PBD，‎ ‎∴三棱锥Q﹣PBD的高BN=，‎ ‎∵PD⊥CD，AB=AD=PD=1，CD=2，‎ ‎∴=，‎ ‎∴三棱锥Q﹣PBD的体积V===‎ ‎20. （1）直线l：y=bx+2，坐标原点到直线l的距离为．‎ ‎∴∴b=1∵椭圆的离心率e=，∴‎ ‎∴a2=3∴所求椭圆的方程是；‎ ‎（2）直线y=kx+2代入椭圆方程，消去y可得：（1+3k2）x2+12kx+9=0‎ ‎∴△=36k2﹣36＞0，∴k＞1或k＜﹣1‎ 设C（x1，y1），D（x2，y2），则有x1+x2=，x1x2=‎ ‎∵=（x1+1，y1），=（x2+1，y2），‎ ‎∴（x1+1）（x2+1）+y1y2=0∴（1+k2）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0‎ ‎∴（1+k2）×+（2k+1）×（）+5=0‎ 解得k=＞1，∴当k=时，‎ ‎21．试题解析：（Ⅰ）由题意，令解得 因为，所以，由解得，由解得 从而的单调增区间为，减区间为 所以，， 解得，． ‎ ‎（Ⅱ）函数存在零点，即方程有实数根，‎ 由已知,函数的定义域为，当时，，所以，当时，；当时，，所以，的单调增区间为，减区间为,所以， 所以，≥1. 令，则. 当时，；当时， 从而在上单调递增，在 上单调递减，所以，， 要使方程有实数根，‎ 只需即可，则. 12分 ‎22.解：（1）直线的一个参数方程为（t为参数）．‎ ‎（2）把直线的参数方程代入椭圆方程x2+2y2=1，整理得+=0，‎ ‎∵直线与椭圆相交两点，∴≥0，解得sin2α≤，‎ ‎∵α∈[0，π），∴．‎ ‎∴|PM|•|PN|=|t1t2|=≥=．当且仅当，即α=或时取等号．‎ ‎∴当α=或时，|PM|•|PN|的最小值为．‎ ‎23. 解：（Ⅰ）若a=1，f（x）=，‎ 由f（x）的单调性及f（﹣3）=f（2）=5，得f（x）≤5 的解集为{x|﹣3≤x≤2}．‎ ‎（Ⅱ）f（x）=，‎ 当x∈（﹣∞，﹣2]时，f（x）单调递减；当x∈[，+∞）时，f（x）单调递增，‎ 又f（x）的图象连续不断，所以f（x）≥2，当且仅当f（﹣2）=2a+1≥2，且f（）=+2≥2，‎ 求得a≥，故a的最小值为．‎