2018-2019学年四川省顶级名校高二上学期入学考试数学（文）试题（Word版）

2018-2019学年四川省顶级名校高二上学期入学考试数学（文）试题（Word版）

‎2018-2019学年四川省顶级名校高二上学期入学考试数学试卷（文科）‎ 考试时间:120分钟满分:150分 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案集中填写在答题卷上．）‎ ‎1． sin 390°的值为(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎2．直线在轴上的截距是(　　)‎ A.2 B‎.3 C.-2 D.-3‎ ‎3．点关于直线的对称点的坐标是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知数列的首项，且，则(　　)‎ ‎ ‎ ‎5．下列说法中正确的是(　　)‎ 斜三棱柱的侧面展开图一定是平行四边形 水平放置的正方形的直观图有可能是梯形 一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形，则该直四棱柱就是长方体 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台 ‎6．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是(　　)‎ A. 2 B. ‎4 C. 6 D. 8‎ ‎7．两个公比均不为的等比数列，其前项的乘积分别为，若，则(　　)‎ ‎8．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题．《张丘建算经》（成书约公元世纪）卷上二十二“织女问题”：今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？其意思为：有一个女子很会织布，一天比一天织得快，而且每天比前一天多织相同量的布．已知第一天织尺，经过一个月（按天计）后，共织布九匹三丈．问从第天起，每天比前一天多织布多少尺？（注：匹丈，丈尺）那么此问题的答案为(　　)‎ 尺尺尺尺 ‎9．函数的部分图象如图所示，‎ 要得到函数的图象，只需将函数的图象(　　)‎ 向右平移长度单位向左平移长度单位 向左平移长度单位向右平移长度单位 ‎10．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则A在点B的(　　)‎ A．北偏东15°　　　　　　 B．北偏西15°‎ C．北偏东10° D．北偏西10°‎ ‎11．已知等差数列中，若是方程的两根，单调递减数列通项公式为．则实数的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2asin A＝(2b＋c)sin B＋(‎2c＋b)sin C.‎ 且sin B＋sin C＝1，则△ABC是(　　)‎ A．等腰钝角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 二、填空题：（共4小题，每小题5分，满分20分．请把答案填写在答题卷上．）‎ ‎13．已知，则的最大值为___________．‎ ‎14．已知，则．‎ ‎15．在长方体ABCD—A1B‎1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=5，则直线AC1与平面ABCD所 成角的大小为．‎ ‎16．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________．‎ 三、解答题（共6题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请将解答过程写在答题卷的相应题号的下面．）‎ ‎17．在中，内角的对边分别为，已知向量与平行.‎ （1） 求的值；（2）若，周长为5，求的长．‎ ‎18．如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，且AB=AD，BC=DC．‎ ‎（1）求证：∥平面EFGH；‎ ‎（2）求证：四边形EFGH是矩形．‎ ‎19．已知直线在轴上截距相等,且到点的距离等于,求直线的方程. ‎ ‎20．已知等比数列中，，且成等差数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）当数列为正项数列时，若数列满足，‎ 记数列的前项和为，试比较与的大小．‎ ‎21请阅读下面材料：‎ 根据两角和与差的正弦公式，有 ‎…………①‎ ‎…………②‎ 由①+②得…………③‎ 令有 代入③得．‎ ‎（Ⅰ）试证明：；‎ ‎（Ⅱ）若的内角满足，试判断的形状．‎ ‎22．一块边长为的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形（每个四边形中有且只有一组对角为直角），然后用余下的部分加工制作成一个“无盖”的正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）形容器．‎ ‎（Ⅰ）请将加工制作出来的这个“无盖”的正三棱柱形容器的容积表示为关于的函数，并标明其定义域；‎ ‎（Ⅱ）若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”．‎ ‎（1）请指出此时的值（不用说明理由），并求出这个封闭的正三棱柱形容器的侧面积；‎ ‎（2）若还需要在该正三棱柱形容器中放入一个金属球体，试求该金属球体的最大体积．‎ 高2020届高二上期入学考试（文科）参考答案 一、选择题：‎ ‎1～5：6～10：11～12：‎ 部分解析：‎ ‎10．解:B　如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，‎ 而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴点A在点B的北偏西15°.‎ ‎11．解:是的两根，∴．（或两根为）∵等差，∴，∴．∵递减，∴对恒成立，，∴对恒成立．∵，∴．∴选B.‎ ‎12、解:　由已知，根据正弦定理得‎2a2＝(2b＋c)b＋(‎2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.‎ 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，故cos A＝－，A＝120°.‎ 方法一　由(1)得sin‎2A＝sin2B＋sin‎2C＋sin Bsin C，‎ 又A＝120°，∴sin2B＋sin‎2C＋sin Bsin C＝，∵sin B＋sin C＝1，∴sin C＝1－sin B.‎ ‎∴sin2B＋(1－sin B)2＋sin B(1－sin B)＝，‎ 即sin2B－sin B＋＝0.解得sin B＝.故sin C＝.‎ ‎∴B＝C＝30°.所以，△ABC是等腰的钝角三角形．‎ 方法二　A＝120°，∴B＋C＝60°，则C＝60°－B，‎ ‎∴sin B＋sin C＝sin B＋sin(60°－B)＝sin B＋cos B－sin B ‎＝sin B＋cos B＝sin(B＋60°)＝1，‎ ‎∴B＝30°，C＝30°.‎ ‎∴△ABC是等腰的钝角三角形．‎ 二、填空题：‎ ‎13．414．15．‎ ‎16、解：不妨设三角形三边为a，b，c且a＝6，b＝c＝12，‎ 由余弦定理得：cos A＝＝＝，‎ ‎∴sin A＝＝.‎ 由(a＋b＋c)·r＝bcsin A得r＝.∴S内切圆＝πr2＝.‎ 三、解答题：‎ ‎17．解：（1）由已知得,‎ 由正弦定理，可设 则,‎ 即 , ……3分 化简可得，又，所以，‎ 因此. ……5分 （2） ‎……7分 由（1）知，……9分 由周长. ……10分 ‎18．证明：（1）∵E，H分别为AB， DA的中点．‎ ‎∴EH∥BD，又平面EFGH，平面EFGH,‎ ‎∥平面EFGH；……4分 ‎(2)取BD中点O，连结OA，OC．‎ ‎∵ AB=AD，BC=DC．∴AO⊥BD，CO⊥BD，‎ 又AO∩CO=O．∴BD⊥平面AOC．‎ ‎∴BD⊥AC．……7分 ‎∵E，F，G，H为AB，BC，CD，DA的中点．‎ ‎∴EH∥BD，且EH=BD；FG∥BD，且FG=BD，EF∥AC．‎ ‎∴EH∥FG，且EH=FG．‎ ‎∴四边形EFGH是平行四边形．……10分 由（2）可知AC⊥BD，又EF∥AC，EH∥BD．‎ ‎∴EF⊥EH．‎ ‎∴四边形EFGH为矩形．……12分 ‎19．解：当直线在轴上截距都等于0时，设直线的方程为 由已知得解得 所以直线的方程为………………6分 当直线在轴上截距不等于0时，设直线的方程为 由已知得解得或 所以直线的方程为……………11分 综上所述，直线的方程为或…12分 ‎20．解：（Ⅰ）记的公比为，由可得，解得或 又由，可得，即 那么（1）当时，可解得，此时有 ‎（2）当时，可解得，此时有 综上，数列的通项公式为或 …………………6分 ‎（Ⅱ）由已知，，则 从而 由，故．…………………12分 ‎21．解：（Ⅰ）因为，①‎ ‎，②‎ ‎①-②得. ③‎ 令有，‎ 代入③得． …………………6分 ‎（Ⅱ）解法一：由二倍角公式,可化为 ‎,‎ 即.‎ 设的三个内角A,B,C所对的边分别为，‎ 由正弦定理可得.‎ 根据勾股定理的逆定理知，为直角三角形．…………………………12分 解法二：利用（Ⅰ）中的结论和二倍角公式，可化为 ‎，‎ 因为A,B,C为的内角，所以，‎ 所以.‎ 又因为，所以,‎ 所以. 从而.‎ 又因为,所以，即.‎ 所以为直角三角形． ……………………………………………12分 ‎22．（结合人教版必修2教材37页复习参考题B组4题及练习手册课时作业1之13题改编）‎ 略解：（Ⅰ）结合平面图形数据及三棱柱直观图，易求得：‎ 三棱柱的高，其底面积 则三棱柱容器的容积 即所求函数关系式为．（注：未写定义域扣1分）……6分 ‎（Ⅱ）（1）此时，而相应棱柱的高，‎ 故（注：侧面积求法不唯一） ………9分 ‎（2）结合底面边长和棱柱的高的数据可得：‎ ‎①该正三棱柱的高为；②底面正三角形的内切圆半径为，‎ 由此易知球体体积最大时，其直径应与高相等，则球体半径，‎ 故球体最大体积 …………………12分