数学文卷·2018届福建省福州教育学院附中高三12月月考（2017

数学文卷·2018届福建省福州教育学院附中高三12月月考（2017

‎2017年福州教院附中高三第三次月考数学（文科）试题 班级： 座号： 姓名：‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ 1. 若集合，则 A. ‎ B. ‎ C.‎ D. ‎ 2. 在中，角所对的边分别为，那么是的条件．‎ A. 充分且必要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 不充分且不必要 3. 若复数在复平面内对应的点关于x轴对称，且，则 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ 4. 函数图象的一个对称中心为 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ 5. 双曲线的两条渐近线夹角是 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ 6. 设是等差数列，，则这个数列的前8项和等于 A. 12‎ B. 24‎ C. 36‎ D. 48‎ 7. 设，则的大小关系是 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ 8. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ‎ A. B. C. D. 2  ‎ 9. 函数的大致图象是 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ 10. 在中，分别为三个内角A、B、C所对的，若，则的面积为 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ 1. 椭圆的中心在原点，分别为左、右焦点，分别是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率等于 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ 2. 已知函数在上是增函数，则实数a的取值范围是 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ 3. 已知向量与的夹角为，且，则______ ．‎ 4. 设变量满足条件，则目标函数的最小值为______ ．‎ 5. 已知圆C的圆心是直线与x轴的交点，且圆C被直线所截得的弦长为4，则圆C的标准方程为__________________ ．‎ 6. 底面为正方形，顶点在底面的投影为底面中心的棱锥的五个顶点在同一球面上，若该棱锥的底面边长为4，侧棱长为，则这个球的表面积为__________ ．‎ 三、解答题（本大题共7小题，共70分） ‎ 7. 设三角形的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且其中角B为锐角． 求B的大小； 求的取值范围． ‎ 8. 已知数列是等差数列，数列是公比大于零的等比数列，且 求数列和的通项公式 求前n项和 ‎ 1. 在四棱锥中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点底面为BE的中点． Ⅰ求证：平面ACF； Ⅱ求证：； Ⅲ若，求三棱锥的体积． ‎ 2. 已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C的一个焦点F在抛物线的准线上，且椭圆C过点，直线与椭圆C交于两个不同点． 求椭圆C的方程； 若直线的斜率为，且不过点P，设直线的斜率分别为，求证：为定值． ‎ 3. 已知函数． Ⅰ若函数的最小值为0，求a的值； Ⅱ设，求函数的单调区间； Ⅲ设函数与函数的图象的一个公共点为P，若过点P有且仅有一条公切线，求点P的坐标及实数a的值． ‎ 请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．‎ 1. 在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为与C交于A、B两点．Ⅰ求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程； Ⅱ设点，求的值． ‎ 2. 已知函数 Ⅰ当时，解关于x的不等式 Ⅱ若函数存在零点，求实数a的取值范围． ‎ ‎（稿纸）‎ ‎【答案】‎ ‎1. C    2. A   3. B    4. C    5. B    6. D    7. B    8. C    9. D    10. B    11. D    12. A    ‎ ‎13. ‎ ‎14. ‎ ‎15. ‎ ‎16. ‎ ‎17. 解：由根据正弦定理，得，故． 因为角B为锐角，故分 分 ， 故． 故的取值范围是分 ‎18. 解：， ， ， 又， ；分 ， ， ；分 19. 证明：Ⅰ连接由ABCD是正方形可知，点O为BD中点． 又F为BE的中点，‎ ‎． 又面面ACF， 平面分 由底面底面ABCD， ， 由ABCD是正方形可知，， 又、平面ACE， 平面ACE， 又平面ACE， 分 解：取BC中G，连结FG， 在四棱锥中，底面ABCD， 是的中位线，底面ABCD， ， 三棱锥的体积．分 ‎20. 解：抛物线的准线方程为，由题意知． 故设椭圆C的方程为． 则由题意可得，解得． 故椭圆C的方程为．分 证明：直线的斜率为，且不过点，可设直线． 联立方程组，消y得又设， 故有， 所以 ，所以为定值0．分 ‎21. 解：Ⅰ ‎， ， 时，，函数在递增，无最小值， 时，，令，解得：，令，解得：， 函数在递减，在递增， 故函数在处取得最小值， ，解得：；分 Ⅱ ， ， 当时，，定义域内递增； 当时， 令或， 当时，定义域内递增； 当时，当时，函数的增区间为，减区间为；  当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，定义域内递增．分 Ⅲ符合题意，理由如下：此时 设函数与上公共点， 依题意有， 即得到，构造函数 ，可得函数在递增，在递减，而 方程有唯一解，即分 ‎22. 解：Ⅰ曲线C的参数方程为为参数，普通方程为C：； 直线l的极坐标方程为，即：          分 Ⅱ点在l上，l的参数方程为为参数 代入整理得，， 由题意可得                分 ‎23. 解：Ⅰ当时，不等式可化为 或或分 解得或， 不等式的解集为或分 Ⅱ若函数存在零点，则 ， ，解得．分 ‎【解析】‎ ‎1. 解：由A中不等式变形得：， 解得：，即， ， ， 故选：C． 求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的并集即可． 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．‎ ‎2. 解：在三角形中，若，由正弦定理，得． 若，则正弦定理，得， 所以，是的充要条件． 故选：A 在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，利用正弦定理确定边角关系，是解决本题的关键．‎ ‎3. 解：，又复数在复平面内对应的点关于x轴对称， ， 则． 故选：B． 由已知求得，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．‎ ‎4. 解：令，可得对称中心为， ，对称中心为， 故选：C． 由题意，令，可得对称中心为，即可得出结论． 本题考查正弦函数的对称中心，体现了转化的数学思想，比较基础．‎ ‎5. 解：双曲线的两条渐近线的方程为：， 所对应的直线的倾斜角分别为， 双曲线的两条渐近线的夹角为， 故选B ‎． 由双曲线方程，求得其渐近线方程，求得直线的夹角，即可求得两条渐近线夹角． 本题考查双曲线的几何性质，考查直线的倾斜角的应用，属于基础题．‎ ‎6. 解：是等差数列，， ，解得， 又， ， 则这个数列的前8项和． 故选：D． 利用等差数列的性质、求和公式即可得出． 本题考查了等差数列的性质、求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎7. 解：由于， 故有， 故选B． 根据，从而得到的大小关系． 本题主要考查不等式与不等关系，不等式性质的应用，属于基础题．‎ ‎8. 解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体， 也可以看成是一个半圆柱与三棱柱的组合体， 其底面面积， 高， 故几何体的体积， 故选：C 由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，代入柱体体积公式，可得答案． 本题考查的知识点是圆柱的体积和表面积，棱柱的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度不大，属于基础题．‎ ‎9. 解：由题意，，排除B， ，排除A， ，排除C， 故选D ‎． 利用排除法，即可得出结论． 本题考查函数的图象，考查排除法的运用，比较基础．‎ ‎10. 解：在中由正弦定理可知：， 由，则， ， 由余弦定理可知：，即， 解得， 的面积， 故选：B． 由题意和正余弦定理可得的值，由同角三角函数的基本关系可得，代入三角形的面积公式计算可得． 本题考查三角形的面积，涉及正余弦定理的应用，属基础题．‎ ‎11. 解：如图所示，把代入椭圆方程，可得， 又， ， ，化为：． ，即． 故选：D 由已知可得，又，由，得，化为，即可求解． 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、平行线与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎12. 解：函数在上是增函数， 可得：，解得：． 故选：A． 利用函数的单调性，列出不等式组，求解即可． 本题考查分段函数的应用，函数的单调性的应用，考查计算能力．‎ ‎13. ‎ 解：； 又； ． 故答案为：． 可先求出，从而根据即可求出数量积的值． 考查根据向量坐标求向量长度的方法，以及数量积的计算公式．‎ ‎14. 解：由得 作出不等式组，对应的平面区域如图阴影部分： 平移直线， 由图象可知当直线，过点A时，直线的截距最大，此时z最小， 由，解得． 代入目标函数， 得， 目标函数的最小值是， 故答案为：． 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可． 本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．‎ ‎15. 解：令得，所以直线，与x轴的交点为 所以圆心到直线的距离等于， 因为圆C被直线所截得的弦长为4， 所以 所以圆C的方程为； 故答案为：． 欲求圆的方程则先求出圆心和半径，根据圆C的圆心是直线与x轴的交点，求出圆心；圆C被直线所截得的弦长为4，求出半径，即可求出圆C的方程． 本题主要考查直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程等基础知识，属于容易题．‎ ‎16. 解：正四棱锥的外接球的球心在它的高上， 记为，或此时O在的延长线上， 在中，得球的表面积 故答案为：． 画出图形，正四棱锥的外接球的球心在它的高上，记为O ‎，求出，解出球的半径，求出球的表面积． 本题考查球的表面积，球的内接体问题，考查计算能力，是基础题．‎ ‎17. 由根据正弦定理，得，进而得出． 利用和差公式、三角函数的单调性即可得出． 本题考查了正弦定理、和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎18. 根据等差数列与等比数列的概念即可分别求出公差与公比，从而求出通项公式； ，利用错位相减即可求出前n项和；本题考察了等差数列与等比数列的概念，以及利用错位相减求特殊数列的前n项和，属于中档题．‎ ‎19. Ⅰ利用线面平行的判定定理证明平面ACF； Ⅱ利用线面垂直的判定定理先证明平面ACE，然后利用线面垂直的性质证明； Ⅲ取BC中G，连结FG，推导出底面ABCD，由此能求出三棱锥的体积． 本题主要考查了空间直线和平面垂直的判定定理和性质定理的应用，要求熟练掌握相应的定理，是中档题．‎ ‎20. 求出抛物线的准线方程为，推出，故设椭圆C的方程为点在椭圆上，列出方程组求解可得椭圆C的方程． 直线的斜率为，且不过点，设直线联立方程组，消y，设，利用判别式以及韦达定理，表示，推出定值． 本题考查抛物线以及椭圆的位置关系的综合应用，直线与椭圆的位置关系的应用，定值问题的处理方法，考查计算能力．‎ ‎21. Ⅰ函数整理为，求导，由题意可知，函数的最小值应在极值点处取得，令，代入求解即可； Ⅱ函数整理为，求导得，对参数a进行分类讨论，逐一求出单调区间； Ⅲ设出公共点坐标的坐标，求出坐标间的关系，得到，通过讨论函数的单调性解方程即可． 本题考查了利用导函数求函数的单调性问题，难点是对导函数中参数的讨论问题．‎ ‎22. Ⅰ利用三种方程互化方法，曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程； Ⅱ点在l上，l的参数方程为为为参数，代入整理得，，即可求的值． 本题考查三种方程互化，考查参数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎23. Ⅰ当时，不等式等价变形，可得结论； Ⅱ利用，即可求实数a的取值范围． 本题考查绝对值不等式，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．‎