2018届高三数学一轮复习： 第2章 第11节 课时分层训练14

2018届高三数学一轮复习： 第2章 第11节 课时分层训练14

课时分层训练(十四)　导数与函数的单调性 A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)‎ A．(－∞，2)　　　　　 B.(0,3)‎ C．(1,4) D.(2，＋∞)‎ D　[因为f(x)＝(x－3)ex，‎ 则f′(x)＝ex(x－2)，令f′(x)＞0，得x＞2，‎ 所以f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．]‎ 图2112‎ ‎2．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图2112所示，则下列叙述正确的是(　　)‎ ‎【导学号：01772083】‎ A．f(b)＞f(c)＞f(d)‎ B．f(b)＞f(a)＞f(e)‎ C．f(c)＞f(b)＞f(a)‎ D．f(c)＞f(e)＞f(d)‎ C　[依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)＞0，因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，由a＜b＜c，所以f(c)＞f(b)＞f(a)．因此C正确．]‎ ‎3．已知函数f(x)＝x3＋ax＋4，则“a＞‎0”‎是“f(x)在R上单调递增”的 ‎(　　)‎ A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C．充要条件 D.既不充分也不必要条件 A　[f′(x)＝x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a＞‎0”‎是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．]‎ ‎4．若函数f(x)＝2x3－3mx2＋6x在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m的取值范围为(　　)‎ ‎【导学号：01772084】‎ A．(－∞，2) B.(－∞，2]‎ C. D. D　[∵f′(x)＝6x2－6mx＋6，‎ 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立，‎ 即x2－mx＋1≥0恒成立，∴m≤x＋恒成立．‎ 令g(x)＝x＋，g′(x)＝1－，‎ ‎∴当x＞2时，g′(x)＞0，即g(x)在(2，＋∞)上单调递增，‎ ‎∴m≤2＋＝，故选D.]‎ ‎5．(2016·湖北枣阳第一中学3月模拟)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为(　　)‎ A．(－1,1) B.(－1，＋∞)‎ C．(－∞，－1) D.(－∞，＋∞)‎ B　[由f(x)＞2x＋4，得f(x)－2x－4＞0，设F(x)＝f(x)－2x－4，则F′(x)＝f′(x)－2，因为f′(x)＞2，所以F′(x)＞0在R上恒成立，所以F(x)在R上单调递增，而F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f(x)－2x－4＞0等价于F(x)＞F(－1)，所以x＞－1，故选B.]‎ 二、填空题 ‎6．函数f(x)＝1＋x－sin x在(0,2π)上的单调情况是________. ‎ ‎【导学号：01772085】‎ 单调递增　[在(0,2π)上有f′(x)＝1－cos x＞0，所以f(x)在(0,2π)上单调递增．]‎ ‎7．函数f(x)＝的单调递增区间是________．‎ ‎(0，e)　[由f′(x)＝′＝＞0(x＞0)，‎ 可得解得x∈(0，e)．]‎ ‎8．已知函数f(x)＝－2x2＋ln x(a＞0)，若函数f(x)在[1,2]上为单调函数，则a的取值范围是________．‎ ∪[1，＋∞)　[f′(x)＝－4x＋，‎ 若函数f(x)在[1,2]上为单调函数，‎ 即f′(x)＝－4x＋≥0或f′(x)＝－4x＋≤0‎ 在[1,2]上恒成立，‎ 即≥4x－或≤4x－在[1,2]上恒成立．‎ 令h(x)＝4x－，则h(x)在[1,2]上单调递增，‎ 所以≥h(2)或≤h(1)，‎ 即≥或≤3，‎ 又a＞0，所以0＜a≤或a≥1.]‎ 三、解答题 ‎9．已知函数f(x)＝(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．‎ ‎(1)求k的值；‎ ‎(2)求f(x)的单调区间．‎ ‎[解]　(1)由题意得f′(x)＝，‎ 又f′(1)＝＝0，故k＝1. 5分 ‎(2)由(1)知，f′(x)＝.‎ 设h(x)＝－ln x－1(x＞0)，则h′(x)＝－－＜0，‎ 即h(x)在(0，＋∞)上是减函数. 8分 由h(1)＝0知，当0＜x＜1时，h(x)＞0，从而f′(x)＞0；‎ 当x＞1时，h(x)＜0，从而f′(x)＜0.‎ 综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，‎ 单调递减区间是(1，＋∞). 12分 ‎10．(2015·重庆高考)已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－处取得极值．‎ ‎(1)确定a的值；‎ ‎(2)若g(x)＝f(x)ex，讨论g(x)的单调性．‎ ‎[解]　(1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x，2分 因为f(x)在x＝－处取得极值，‎ 所以f′＝0，‎ 即3a·＋2·＝－＝0，解得a＝.5分 ‎(2)由(1)得g(x)＝ex，‎ 故g′(x)＝ex＋ex ‎＝ex ‎＝x(x＋1)(x＋4)ex.8分 令g′(x)＝0，解得x＝0或x＝－1或x＝－4.‎ 当x<－4时，g′(x)<0，故g(x)为减函数；‎ 当－40，故g(x)为增函数；‎ 当－10时，g′(x)>0，故g(x)为增函数．‎ 综上知，g(x)在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数.12分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)＜0，设a＝f(0)，b＝f，c＝f(3)，则(　　) ‎ ‎【导学号：01772086】‎ A．a＜b＜c B.c＜b＜a C．c＜a＜b D.b＜c＜a C　[依题意得，当x＜1时，f′(x)＞0，f(x)为增函数；‎ 又f(3)＝f(－1)，且－1＜0＜＜1，‎ 因此有f(－1)＜f(0)＜f，‎ 即有f(3)＜f(0)＜f，c＜a＜b.]‎ ‎2．(2017·石家庄质检(二))设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－2)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＞0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是________．‎ ‎(－2,0)∪(2，＋∞)　[令g(x)＝，则g′(x)＝＞0，x∈(0，＋∞)，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又g(－x)＝＝＝＝g(x)，则g(x)是偶函数，g(－2)＝0＝g(2)，则f(x)＝xg(x)＞0⇔或解得x＞2或－2＜x＜0，故不等式f(x)＞0的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)．]‎ ‎3．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋b.‎ ‎(1)若f(x)与g(x)在x＝1处相切，求g(x)的表达式；‎ ‎(2)若φ(x)＝－f(x)在[1，＋∞)上是减函数，求实数m的取值范围．‎ ‎[解]　(1)由已知得f′(x)＝，∴f′(1)＝1＝a，a＝2.‎ 又∵g(1)＝0＝a＋b，∴b＝－1，∴g(x)＝x－1. 5分 ‎(2)∵φ(x)＝－f(x)＝－ln x在[1，＋∞)上是减函数，‎ ‎∴φ′(x)＝≤0在[1，＋∞)上恒成立，‎ 即x2－(2m－2)x＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，‎ 则2m－2≤x＋，x∈[1，＋∞). 9分 ‎∵x＋∈[2，＋∞)，∴2m－2≤2，m≤2.‎ 故实数m的取值范围是(－∞，2]. 12分