2018届高三数学一轮复习: 第2章 第11节 课时分层训练14

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2018届高三数学一轮复习: 第2章 第11节 课时分层训练14

课时分层训练(十四) 导数与函数的单调性 A组 基础达标 ‎(建议用时:30分钟)‎ 一、选择题 ‎1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是(  )‎ A.(-∞,2)      B.(0,3)‎ C.(1,4) D.(2,+∞)‎ D [因为f(x)=(x-3)ex,‎ 则f′(x)=ex(x-2),令f′(x)>0,得x>2,‎ 所以f(x)的单调递增区间为(2,+∞).]‎ 图2112‎ ‎2.已知定义在R上的函数f(x),其导函数f′(x)的大致图象如图2112所示,则下列叙述正确的是(  )‎ ‎【导学号:01772083】‎ A.f(b)>f(c)>f(d)‎ B.f(b)>f(a)>f(e)‎ C.f(c)>f(b)>f(a)‎ D.f(c)>f(e)>f(d)‎ C [依题意得,当x∈(-∞,c)时,f′(x)>0,因此,函数f(x)在(-∞,c)上是增函数,由a<b<c,所以f(c)>f(b)>f(a).因此C正确.]‎ ‎3.已知函数f(x)=x3+ax+4,则“a>‎0”‎是“f(x)在R上单调递增”的 ‎(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A [f′(x)=x2+a,当a≥0时,f′(x)≥0恒成立,故“a>‎0”‎是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.]‎ ‎4.若函数f(x)=2x3-3mx2+6x在区间(2,+∞)上为增函数,则实数m的取值范围为(  )‎ ‎【导学号:01772084】‎ A.(-∞,2) B.(-∞,2]‎ C. D. D [∵f′(x)=6x2-6mx+6,‎ 当x∈(2,+∞)时,f′(x)≥0恒成立,‎ 即x2-mx+1≥0恒成立,∴m≤x+恒成立.‎ 令g(x)=x+,g′(x)=1-,‎ ‎∴当x>2时,g′(x)>0,即g(x)在(2,+∞)上单调递增,‎ ‎∴m≤2+=,故选D.]‎ ‎5.(2016·湖北枣阳第一中学3月模拟)函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为(  )‎ A.(-1,1) B.(-1,+∞)‎ C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞)‎ B [由f(x)>2x+4,得f(x)-2x-4>0,设F(x)=f(x)-2x-4,则F′(x)=f′(x)-2,因为f′(x)>2,所以F′(x)>0在R上恒成立,所以F(x)在R上单调递增,而F(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=2+2-4=0,故不等式f(x)-2x-4>0等价于F(x)>F(-1),所以x>-1,故选B.]‎ 二、填空题 ‎6.函数f(x)=1+x-sin x在(0,2π)上的单调情况是________. ‎ ‎【导学号:01772085】‎ 单调递增 [在(0,2π)上有f′(x)=1-cos x>0,所以f(x)在(0,2π)上单调递增.]‎ ‎7.函数f(x)=的单调递增区间是________.‎ ‎(0,e) [由f′(x)=′=>0(x>0),‎ 可得解得x∈(0,e).]‎ ‎8.已知函数f(x)=-2x2+ln x(a>0),若函数f(x)在[1,2]上为单调函数,则a的取值范围是________.‎ ∪[1,+∞) [f′(x)=-4x+,‎ 若函数f(x)在[1,2]上为单调函数,‎ 即f′(x)=-4x+≥0或f′(x)=-4x+≤0‎ 在[1,2]上恒成立,‎ 即≥4x-或≤4x-在[1,2]上恒成立.‎ 令h(x)=4x-,则h(x)在[1,2]上单调递增,‎ 所以≥h(2)或≤h(1),‎ 即≥或≤3,‎ 又a>0,所以0<a≤或a≥1.]‎ 三、解答题 ‎9.已知函数f(x)=(k为常数,e是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.‎ ‎(1)求k的值;‎ ‎(2)求f(x)的单调区间.‎ ‎[解] (1)由题意得f′(x)=,‎ 又f′(1)==0,故k=1. 5分 ‎(2)由(1)知,f′(x)=.‎ 设h(x)=-ln x-1(x>0),则h′(x)=--<0,‎ 即h(x)在(0,+∞)上是减函数. 8分 由h(1)=0知,当0<x<1时,h(x)>0,从而f′(x)>0;‎ 当x>1时,h(x)<0,从而f′(x)<0.‎ 综上可知,f(x)的单调递增区间是(0,1),‎ 单调递减区间是(1,+∞). 12分 ‎10.(2015·重庆高考)已知函数f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=-处取得极值.‎ ‎(1)确定a的值;‎ ‎(2)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性.‎ ‎[解] (1)对f(x)求导得f′(x)=3ax2+2x,2分 因为f(x)在x=-处取得极值,‎ 所以f′=0,‎ 即3a·+2·=-=0,解得a=.5分 ‎(2)由(1)得g(x)=ex,‎ 故g′(x)=ex+ex ‎=ex ‎=x(x+1)(x+4)ex.8分 令g′(x)=0,解得x=0或x=-1或x=-4.‎ 当x<-4时,g′(x)<0,故g(x)为减函数;‎ 当-40,故g(x)为增函数;‎ 当-10时,g′(x)>0,故g(x)为增函数.‎ 综上知,g(x)在(-∞,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+∞)内为增函数.12分 B组 能力提升 ‎(建议用时:15分钟)‎ ‎1.函数f(x)在定义域R内可导,若f(x)=f(2-x),且当x∈(-∞,1)时,(x-1)f′(x)<0,设a=f(0),b=f,c=f(3),则(  ) ‎ ‎【导学号:01772086】‎ A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<c<a C [依题意得,当x<1时,f′(x)>0,f(x)为增函数;‎ 又f(3)=f(-1),且-1<0<<1,‎ 因此有f(-1)<f(0)<f,‎ 即有f(3)<f(0)<f,c<a<b.]‎ ‎2.(2017·石家庄质检(二))设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-2)=0,当x>0时,xf′(x)-f(x)>0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是________.‎ ‎(-2,0)∪(2,+∞) [令g(x)=,则g′(x)=>0,x∈(0,+∞),所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增.又g(-x)====g(x),则g(x)是偶函数,g(-2)=0=g(2),则f(x)=xg(x)>0⇔或解得x>2或-2<x<0,故不等式f(x)>0的解集为(-2,0)∪(2,+∞).]‎ ‎3.已知函数f(x)=ln x,g(x)=ax+b.‎ ‎(1)若f(x)与g(x)在x=1处相切,求g(x)的表达式;‎ ‎(2)若φ(x)=-f(x)在[1,+∞)上是减函数,求实数m的取值范围.‎ ‎[解] (1)由已知得f′(x)=,∴f′(1)=1=a,a=2.‎ 又∵g(1)=0=a+b,∴b=-1,∴g(x)=x-1. 5分 ‎(2)∵φ(x)=-f(x)=-ln x在[1,+∞)上是减函数,‎ ‎∴φ′(x)=≤0在[1,+∞)上恒成立,‎ 即x2-(2m-2)x+1≥0在[1,+∞)上恒成立,‎ 则2m-2≤x+,x∈[1,+∞). 9分 ‎∵x+∈[2,+∞),∴2m-2≤2,m≤2.‎ 故实数m的取值范围是(-∞,2]. 12分
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