高考数学复习 17-18版 附加题部分 第3章 第66课 抛物线的几何性质及直线与抛物线的位置关系

高考数学复习 17-18版 附加题部分 第3章 第66课 抛物线的几何性质及直线与抛物线的位置关系

第66课 抛物线的几何性质及直线与抛物线的位置关系 ‎[最新考纲]‎ 内容 要求 A B C 顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质 ‎√‎ ‎1．抛物线的几何性质 ‎(1)焦半径：‎ 抛物线上一点到焦点的距离称为焦半径．‎ y2＝2px(p>0)上的点M(x0，y0)的焦半径为r＝＋x0，‎ y2＝－2px(p>0)上的点M(x0，y0)的焦半径为r＝－x0，‎ x2＝2py(p>0)上的点M(x0，y0)的焦半径为r＝＋y0，‎ x2＝－2py(p>0)上的点M(x0，y0)的焦半径为r＝－y0.‎ ‎(2)焦点弦长：‎ 已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有以下性质：‎ ‎①AB＝x1＋x2＋p或AB＝(α为弦AB的倾斜角)；‎ ‎②y1y2＝－p2；‎ ‎③x1x2＝.‎ ‎2．直线与抛物线的位置关系 ‎(1)位置关系的判定：‎ 联立直线l：y＝kx＋m和抛物线y2＝2px(p>0)消y整理得：‎ k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.‎ 当k≠0时，‎ ‎①Δ>0⇔直线与抛物线相交，有两个不同公共交点；‎ ‎②Δ＝0⇔直线与抛物线相切，只有一个公共交点；‎ ‎③Δ<0⇔直线与抛物线相离，没有公共交点．‎ 当k＝0时，则直线是抛物线的对称轴或与对称轴平行的直线，此时直线与抛物线相交，只有一个公共交点．‎ ‎(2)弦长公式：‎ 若直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝.‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)直线与抛物线有且只有一个公共点，则直线与抛物线相切．(　　)‎ ‎(2)过点(0,1)且与抛物线y2＝x相切的直线有且只有一条．(　　)‎ ‎(3)过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦中最短弦的弦长是2p.(　　)‎ ‎(4)若抛物线上存在关于直线l对称的两点，则l与抛物线有两个交点．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×‎ ‎2．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则抛物线的方程为____________．‎ y2＝4x　[由题意可知过焦点的直线方程为y＝x－，由⇒x2－3px＋＝0，‎ 所以AB＝＝8⇒p＝2，‎ 所以抛物线的方程为y2＝4x.]‎ ‎3．如果双曲线－＝1的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率为____________．‎ 　[以双曲线的渐近线y＝x为例．若与抛物线y＝x2＋1相切，联立方程组得x＝x2＋1，即x2－x＋1＝0，令Δ＝0，得2＝4，所以e＝＝.]‎ ‎4．(教材改编)曲线－x＝0上一点P到直线y＝x＋3的最短距离为____________．‎ 　[设p(x，y)，由点到直线的距离公式得d＝＝＝，所以dmin＝.]‎ ‎5．(2017·南京模拟)已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A，B满足AF＝3FB，则弦AB的中点到准线的距离为____________．‎ 　[如图，设BF＝m，由抛物线的定义知AA1＝3m，BB1＝m，在△ABC中，AC＝2m，AB＝4m，kAB＝，‎ 则直线AB的方程为y＝(x－1)，‎ 与抛物线的方程联立消去y，得3x2－10x＋3＝0，‎ 所以AB的中点到准线的距离为＋1＝＋1＝.]‎ 直线与抛物线的位置关系 角度1　直线与抛物线的交点问题 ‎　(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON 并延长交C于点H.‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．‎ ‎[解]　(1)如图，由已知得M(0，t)，P.‎ 又N为M关于点P的对称点，‎ 故N，‎ 故直线ON的方程为y＝x，‎ 将其代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0, ‎ 解得x1＝0，x2＝.因此H.‎ 所以N为OH的中点，即＝2.‎ ‎(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点．理由如下：‎ 直线MH的方程为y－t＝x，即x＝(y－t)．‎ 代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，‎ 即直线MH与C只有一个公共点，‎ 所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点．‎ ‎[规律方法]　1.(1)本题求解的关键是求出点N，H的坐标．(2)第(2)问将直线MH的方程与抛物线C的方程联立，根据方程组的解的个数进行判断．‎ ‎2．(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧．‎ ‎[变式训练1]　(2016·江苏高考改编)如图661，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p>0)．‎ ‎(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；‎ ‎(2)当p＝1时，若抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求线段PQ的中点M的坐标．‎ 图661‎ ‎[解]　(1)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为.‎ 由点在直线l：x－y－2＝0上，‎ 得－0－2＝0，即p＝4.‎ 所以抛物线C的方程为y2＝8x.‎ ‎(2)当p＝1时，曲线C：y2＝2x.‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)．‎ 因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，‎ 于是直线PQ的斜率为－1，则可设其方程为y＝－x＋b.‎ 由消去x，得y2＋2y－2b＝0.(*)‎ 因为P和Q是抛物线l的两相异点，则y1≠y2.‎ 从而Δ＝4－4×1×(－2b)＝8b＋4>0.(**)‎ 因此y1＋y2＝－2，所以y0＝－1.‎ 又M(x0，y0)在直线l上，所以x0＝1.‎ 所以点M(1，－1)，此时b＝0满足(**)式．‎ 故线段PQ的中点M的坐标为(1，－1).‎ 与抛物线弦长或中点有关的问题 ‎　已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：y＝－x的一个交点的横坐标为8.‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段 AB的中点为P，且OP＝PB，求△FAB的面积. 【导学号：62172350】‎ ‎[解]　(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，‎ ‎∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，∴抛物线方程为y2＝8x.‎ ‎(2)直线l2与l1垂直，故可设直线l2：x＝y＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为M.‎ 由得y2－8y－8m＝0，‎ Δ＝64＋32m>0，∴m>－2.‎ y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，‎ ‎∴x1x2＝＝m2.‎ 由题意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，‎ ‎∴m＝8或m＝0(舍)，‎ ‎∴直线l2：x＝y＋8，M(8,0)．‎ 故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·FM·|y1－y2|‎ ‎＝3＝24.‎ ‎[规律方法]　1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式AB＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．‎ ‎2．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等方法．‎ ‎3．涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．‎ ‎[变式训练2]　已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10或说明中点在曲线内部．‎ ‎3．解决定值、定点问题，不要忘记特值法．‎ 课时分层训练(十)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ ‎1．抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为2，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．‎ ‎[解]　由题意，设抛物线方程为x2＝2ay(a≠0)．‎ 设公共弦MN交y轴于A，则MA＝AN，‎ 且AN＝.‎ ‎∵ON＝3，∴OA＝＝2，‎ ‎∴N(，±2)．‎ ‎∵N点在抛物线上，∴5＝2a·(±2)，即2a＝±，‎ 故抛物线的方程为x2＝y或x2＝－y.‎ 抛物线x2＝y的焦点坐标为，‎ 准线方程为y＝－.‎ 抛物线x2＝－y的焦点坐标为，‎ 准线方程为y＝.‎ ‎2．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点C(－2,0)的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，·＝12.‎ ‎(1)求抛物线的方程；‎ ‎(2)当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程．‎ ‎[解]　(1)设l：x＝my－2，代入y2＝2px中，‎ 得y2－2pmy＋4p＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，‎ 则x1x2＝＝4，‎ 因为·＝x1x2＋y1y2＝4＋4p＝12，可得p＝2，‎ 则抛物线的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)由(1)知y2＝4x，p＝2，可知y1＋y2＝4m，y1y2＝8.‎ 设AB的中点为M，‎ 则AB＝2xM＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4.①‎ 又AB＝|y1－y2|＝.②‎ 由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2，‎ 解得m2＝3，m＝±，‎ 所以直线l的方程为x＋y＋2＝0或x－y＋2＝0.‎ ‎3．(2017·徐州模拟)在平面直角坐标系xOy中，设点F，直线l：x＝－，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.‎ ‎(1)求动点Q的轨迹方程C；‎ ‎(2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长TS是否为定值？请说明理由. 【导学号：62172352】‎ ‎[解]　(1)依题意知，点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP，‎ 所以RQ是线段FP的垂直平分线．‎ 因为|PQ|是点Q到直线l的距离．点Q在线段FP的垂直平分线上，所以PQ＝QF.‎ 故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y2＝2x(x>0)．‎ ‎(2)弦长TS为定值．理由如下：取曲线C上一点M(x0，y0)，M到y 轴的距离为d＝|x0|＝x0，‎ 圆的半径r＝MA＝，‎ 则TS＝2 ‎＝2，‎ 因为点M在曲线C上，所以x0＝，‎ 所以TS＝2＝2，是定值．‎ ‎4．(2017·苏北四市摸底)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)过点(2,1)，直线l过点P(0，－1)与抛物线C交于A，B两点．点A关于y轴的对称点为A′，连结A′B.‎ 图663‎ ‎(1)求抛物线C的标准方程；‎ ‎(2)问直线A′B是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．‎ ‎[解]　(1)将点(2,1)代入抛物线C：x2＝2py的方程得，p＝2.‎ 所以，抛物线C的标准方程为x2＝4y.‎ ‎(2)设直线l的方程为y＝kx－1，又设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A′(－x1，y1)．‎ 由得x2－4kx＋4＝0.‎ 则Δ＝16k2－16＞0，x1·x2＝4，x1＋x2＝4k.‎ 所以kA′B＝＝＝.‎ 于是直线A′B的方程为y－＝(x－x2)．‎ 所以y＝(x－x2)＋＝x＋1.‎ 当x＝0时，y＝1，‎ 所以直线A′B过定点(0,1)．‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2017·泰州模拟)如图664，抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(2,1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．‎ 图664‎ ‎(1)求抛物线的方程；‎ ‎(2)若∠APB的平分线垂直于y轴，求证：直线AB的斜率为定值. ‎ ‎【导学号：62172353】‎ ‎[解]　(1)由已知条件可设抛物线的方程为x2＝2py(p>0)．‎ 因为点P(2,1)在抛物线上，‎ 所以22＝2p·1，解得p＝2，‎ 故所求抛物线的方程是x2＝4y.‎ ‎(2)由题知kAP＋kBP＝0，‎ 所以＋＝0，‎ 所以＋＝0，‎ 所以＋＝0，‎ 所以x1＋x2＝－4，‎ 所以kAB＝＝＝＝－1，所以直线AB的斜率为定值．‎ ‎2．抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．‎ ‎(1)若＝2 ，求直线AB的斜率；‎ ‎(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．‎ ‎[解]　(1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为x＝my＋1.‎ 将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得 y2－4my－4＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.‎ 因为＝2 ，所以y1＝－2y2.‎ 联立上述三式，消去y1，y2得m＝±.‎ 所以直线AB的斜率是±2.‎ ‎(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，‎ 从而点O与点C到直线AB的距离相等，‎ 所以四边形OACB的面积等于2S△AOB.‎ 因为2S△AOB＝2×·OF·|y1－y2|‎ ‎ ＝＝4，‎ 所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.‎ ‎3．(2017·扬州模拟)如图665，在平面直角坐标系xOy中，点A(8，－4)，P(2，t)(t<0)在抛物线y2＝2px(p>0)上．‎ 图665‎ ‎(1)求p，t的值；‎ ‎(2)过点P作PM⊥x轴，垂足为M，直线AM与抛物线的另一个交点为B ‎，点C在直线AM上．若PA，PB，PC的斜率分别为k1，k2，k3，且k1＋k2＝2k3，求点C的坐标．‎ ‎[解]　(1)将点A(8，－4)代入y2＝2px中得p＝1，所以抛物线的方程为y2＝2x.‎ 将点P(2，t)代入y2＝2x中得t＝±2.‎ 因为t<0，所以t＝－2.‎ ‎(2)依题意知点M的坐标为(2,0)，‎ 直线AM的方程为y＝－x＋.‎ 联立解得B，‎ 所以k1＝－，k2＝－2.‎ 由k1＋k2＝2k3，得k3＝－，‎ 从而直线PC的方程为y＝－x＋，‎ 联立解得C.‎ ‎4．(2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．‎ ‎(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；‎ ‎(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．‎ ‎[解]　由题意知F，‎ 设直线l1的方程为y＝a，直线l2的方程为y＝b，‎ 则ab≠0，且A，B，P，Q，R.‎ 记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.‎ ‎(1)证明：由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.‎ 记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则 k1＝＝＝＝＝－b＝＝k2.‎ 所以AR∥FQ.‎ ‎(2)设l与x轴的交点为D(x1,0)，‎ 则S△ABF＝|b－a|FD＝|b－a|，S△PQF＝.‎ 由题意可得|b－a|＝，‎ 所以x1＝0(舍去)或x1＝1.‎ 设满足条件的AB的中点为E(x，y)．‎ 当AB与x轴不垂直时，‎ 由kAB＝kDE可得＝(x≠1)．‎ 而＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．‎ 当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0)，满足方程y2＝x－1.‎ 所以，所求的轨迹方程为y2＝x－1.‎