2019-2020学年山西省长治市第二中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年山西省长治市第二中学高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年山西省长治市第二中学高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．设集合 ，则的所有子集个数为（ ）‎ A．3 B．4 C．7 D．8‎ ‎【答案】B ‎【解析】先解不等式得集合A,B,再根据交集定义求交集，最后根据求子集个数.‎ ‎【详解】‎ 因为 ‎，所以 因此子集个数为4，选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查交集的定义、集合的子集、解不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎2．如图是2013年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为（ ）‎ A．85，84 B．84，85 C．86，84 D．84，84‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：原来数据为，去掉一个最高分和一个最低分后，，平均为，众数是.‎ ‎【考点】平均数、众数、茎叶图．‎ ‎3．已知，则使函数的值域为，且为奇函数的所有的值为( 　)‎ A．1，3 B．－1，1 C．－1，3 D．－1，1，3‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据幂函数的性质，分别判断幂函数的值域和奇偶性是否满足条件即可．‎ ‎【详解】‎ 当a=﹣1时，y=，为奇函数，但值域为{x|x≠0}，不满足条件．‎ 当a=1时，y=x，为奇函数，值域为R，满足条件．‎ 当a=2时，y=x2为偶函数，值域为{x|x≥0}，不满足条件．‎ 当a=3时，y=x3为奇函数，值域为R，满足条件．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查幂函数的图象和性质，比较基础．‎ ‎4．在区间内任取一个数，则使有意义的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先计算定义域，再根据几何概型得到概率.‎ ‎【详解】‎ 有意义 ‎ ‎ ‎ 故答案选D ‎【点睛】‎ 本题考查了定义域和几何概型，属于基础题型.‎ ‎5．将一个骰子抛掷一次，设事件A表示向上的一面出现的点数不超过2，事件B表示向上的一面出现的点数不小于3，事件C表示向上的一面出现奇数点，则（ ）‎ A．A与B是对立事件 B．A与B是互斥而非对立事件 C．B与C是互斥而非对立事件 D．B与C是对立事件 ‎【答案】A ‎【解析】由互斥事件与对立事件的定义判断即可得出正确答案.‎ ‎【详解】‎ 事件包含的基本事件为向上的点数为；‎ 事件包含的基本事件为向上的点数为；‎ 事件包含的基本事件为向上的点数为；‎ 由于事件，不可能发生，且事件，的和事件为必然事件，与是对立事件 当向上一面的点数为3时，事件，同时发生，则与不互斥也不对立 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了互斥事件与对立事件的判断，对立事件与互斥事件关系的辨析，属于中等题.‎ ‎6．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2,3,…,960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为（ ）‎ A．7 B．9 C．10 D．15‎ ‎【答案】C ‎【解析】求出每个组的人数，由系统抽样的特征得出抽取的人的号码成等差数列，求出其通项公式，解不等式，即可得出做问卷B的人数.‎ ‎【详解】‎ 根据题意将人分为32组，每组人 第一组抽到的号码为9，则由系统抽样的特征可知 每组抽到的号码构成以为首项，公差为30的等差数列，即 令，得 ，则做问卷B的人数为10人 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了系统抽样的性质与计算，属于中档题.‎ ‎7．已知某地、、三个村的人口户数及贫困情况分别如图（1）和图（2）所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层抽样的方法抽取的户数进行调査，则样本容量和抽取村贫困户的户数分别是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】B ‎【解析】将饼图中的、、三个村的人口户数全部相加，再将所得结果乘以得出样本容量，在村人口户数乘以，再乘以可得出村贫困户的抽取的户数.‎ ‎【详解】‎ 由图得样本容量为，‎ 抽取贫困户的户数为户，则抽取村贫困户的户数为户．‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查样本容量的求法，考查分层抽样、扇形统计图和条形统计图计算数据，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎8．已知小张每次射击命中十环的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定2，4，6，8表示命中十环，0，1，3，5，7，9表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：‎ ‎321 421 292 925 274 632 800 478 598 663 531 297 396 ‎ ‎021 506 318 230 113 507 965‎ 据此估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率为（）‎ A．0.25 B．0.30 C．0.35 D．0.40‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知模拟三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次射击恰有两次命中十环的有可以通过列举得到共6组随机数，根据概率公式，得到结果．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意知模拟三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，‎ 在20组随机数中表示三次射击恰有两次命中的有：421、292、274、632、478、663，‎ 共6组随机数，∴所求概率为，故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查模拟方法估计概率，是一个基础题，解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．‎ ‎9．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（ ）‎ A．57.2，3.6 B．57.2，56.4‎ C．62.8，63.6 D．62.8，3.6‎ ‎【答案】D ‎【解析】平均数是2.8+60=62.8,根据方差公式可知方差不变．‎ ‎10．设表示a,b,c三者中的最小者，若函数，则当时，的值域是（ ）‎ A．[1,32] B．[1,14] C．[2,14] D．[1,16]‎ ‎【答案】D ‎【解析】画出函数的图象得出分段函数在区间的解析式，利用函数的单调性求出每一段的值域，即可得出当时，的值域.‎ ‎【详解】‎ 函数的图象如下图所示 所以当时，函数的解析式为：‎ 函数在区间上为增函数，则该区间的值域为 函数在区间上为增函数，则该区间的值域为 函数在区间上为减函数，则该区间的值域为 所以函数在区间的值域为 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了求分段函数在给定区间的值域，求出每一段对应的值域，再取并集得出分段函数的值域，属于中档题.‎ ‎11．已知函数f（x）=loga（x2﹣2ax）在[4，5]上为增函数，则a的取值范围是（　　）‎ A．（1，4） B．（1，4] C．（1，2） D．（1，2]‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得的对称轴为，①当时，由复合函数的单调性可知，在单调递增，且在恒成立，②时，由复合函数的单调性可知，在单调递增，且在恒成立从而可求.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得的对称轴为，‎ ‎①当时，由复合函数的单调性可知，在单调递增，且在恒成立，则，∴‎ ‎②时，由复合函数的单调性可知，在单调递增，且在恒成立，则，此时不存在，综上可得，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了由对数函数及二次函数复合二次的复合函数的单调性的应用，解题中一定要注意对数的真数大于0这一条件的考虑，属于中档题.‎ ‎12．已知函数，若的零点个数为4个时，实数a的取值范围为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】画出函数的图象，设，分析的实数根情况，有两个不相等的实数根，且满足或，再由二次函数根的分布讨论计算得出结果.‎ ‎【详解】‎ 函数的图象如下图所示 设 当有一解；‎ 当有两解；‎ 当有三解；‎ 当，有两解；‎ 所以有两个不相等的实数根，由韦达定理可知：‎ 设，由有4个零点，则或 令 故有或 ，解得： ‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数与方程的综合应用，属于较难题.‎ 二、填空题 ‎13．如图，矩形的长为，宽为，在矩形内随机地撒颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设阴影部分区域的面积为，计算出矩形的面积，利用阴影部分区域的面积与矩形区域的面积之比等于黄豆落在阴影部分区域的频率，由此列等式求出的值.‎ ‎【详解】‎ 矩形的长为，宽为，则矩形的面积为，设阴影部分区域的面积为.‎ 由题意可得，解得，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查实验法求概率以及几何概型面积类型，将两者建立关系，引入方程思想求解，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14．一个样本a,3,5,7的平均数是b,且a,b是方程x2-5x+4=0的两根,则这个样本的方差是_____.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】∵方程x25x+4=0的两根分别为1，4，‎ 又=b，‎ ‎∴a=1，b=4．‎ ‎∴该样本为1，3，5，7，其平均数为4．‎ ‎∴s2=×[(14)2+(34)2+(54)2+(74)2]=5．‎ 答案：5‎ ‎15．一只蚂蚁在边长分别为6，8，10的△ABC区域内随机爬行，则其恰在到顶点A或顶点B或顶点C的距离小于1的地方的概率为___‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先求出三角形的面积，再求出据三角形的三顶点距离小于等于1的区域为三个扇形，三个扇形的和时半圆，求出半圆的面积，利用几何概型概率公式求出恰在离三个顶点距离都小于1的地方的概率.‎ 详解：蚂蚁活动的范围是在三角形的内部，三角形的边长为6，8，10，是直角三角形，‎ 面积为，而“恰在离三个顶点距离都小于1”正好是一个半径为1的半圆，面积为，‎ 根据几何概型的概率公式可知其到三角形顶点的距离小于1的地方的概率为.‎ 故答案为：.‎ 点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的方法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域.‎ ‎16．下列说法： ‎ ‎ ①函数的单调增区间是； ‎ ‎ ②若函数定义域为且满足，则它的图象关于轴对称； ‎ ‎ ③函数的值域为；‎ ‎ ④函数的图象和直线的公共点个数是，则的值可能是； ‎ ‎ ⑤若函数在上有零点，则实数的取值范围是 ‎.‎ 其中正确的序号是_________.‎ ‎【答案】③ ④ ⑤‎ ‎【解析】根据当x=0时，函数的解析式无意义可判断①；根据函数对称性，可得函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，可判断②；画出函数f（x）=（x∈R）的图象，结合函数图象分析出函数的值域，可判断③；画出函数y=|3﹣x2|的图象，可分析出函数y=|3﹣x2|的图象和直线y=a（a∈R）的公共点个数，可判断④；根据二次函数的图象和性质分析出函数f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1）在x∈[1，3]上有零点，实数a的取值范围，可判断⑤．‎ ‎【详解】‎ 当x=0时，x2﹣2x﹣3=﹣3，此时无意义，故①错误；‎ 若函数y=f（x）满足f（1﹣x）=f（x+1），则函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，故②错误；‎ 画出函数f（x）=（x∈R）的图象如图，‎ 由图可得函数的值域为（﹣1，1）；‎ 画出函数y=|3﹣x2|的图象，‎ 由图可知，函数y=|3﹣x2|的图象和直线y=a公共点可能是0，2，3，4个，故④正确 若f（x）在x∈[1，3]上有零点，则f（x）=0在x∈[1，3]上有实数解 ‎∴2a=x+在x∈[1，3]上有实数解 令g（x）=x+则g（x）在[1，]单调递减，在（，3]单调递增且g（1）=6，g（3）=，∴2≤g（x）≤6，即2≤2a≤6，故 ≤a≤3故⑤正确 故答案为：③④⑤‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是复合函数的单调性，函数的对称性，函数的值域，函数图象的交点，函数的零点，是函数内容的综合应用，难度中档．‎ 三、解答题 ‎17．某学校高二年级举办了一次数学史知识竞赛活动，共有名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为分）进行统计，统计结果见下表．请你根据频率分布表解答下列问题：‎ ‎（1）填出频率分布表中的空格；‎ ‎（2）为鼓励更多的学生了解“数学史”知识，成绩不低于分的同学能获奖，请估计在参加的名学生中大概有多少名学生获奖？‎ ‎（3）在上述统计数据的分析中有一项计算见算法流程图，求输出的的值．‎ ‎【答案】（1）①0.12②20③12④12；（2）384；（3）81‎ ‎【解析】(1)根据频率之和等于1得出①，再由频率，频数，样本容量的关系求解②③④‎ ‎(2)由不低于80分的频率成800得到答案；‎ ‎(3)根据程序框图计算即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由频率之和等于1可得①填0.12‎ 由频数等于样本容量乘以频率得②填20；③填12；④填12‎ ‎（2）‎ ‎∴可估算出参赛的800名学生中大概有384名同学获奖;‎ ‎（3）‎ ‎∴输出S的值为81‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了补全频率分布表，涉及频率，频数，样本容量的关系，属于中档题.‎ ‎18．.（本小题满分12分）口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．‎ ‎（Ⅰ）求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率；‎ ‎（Ⅱ）这种游戏规则公平吗?试说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）这种游戏规则不公平 ‎【解析】试题分析：（1）相当于两人掷含有个面的色子,共种情况,然后输入和为偶数,且和为 的情况种数,然后用古典概型求概率；（2）偶数,就是甲胜,其他情况乙胜,分别算出甲胜的概率和乙胜的概率,比较是否相等,相等就公平,不相等就不公平．‎ 试题解析：解：（1）设“甲胜且编号的和为6”为事件．‎ 甲编号为，乙编号为，表示一个基本事件，‎ 则两人摸球结果包括（1,2），（1,3），…，（1,5），（2,1），（2,2），…，（5,4），（5,5）共25个基本事件；‎ 包括的基本事件有（1,5），（2,4），（3,3），（4,2），（5,1）共5个．‎ ‎∴．‎ 答：甲胜且编号的和为6的事件发生的概率为．‎ ‎（2）这种游戏不公平．‎ 设“甲胜”为事件，“乙胜”为事件．甲胜即两个编号的和为偶数所包含基本事件数为以下13个：（1,1），（1,3），（1,5），（2,2），（2,4），（3,1），（3,3），（3,5），（4,2），（4,4），（5,1），（5,3），（5,5）．‎ 所以甲胜的概率为，乙胜的概率为，‎ ‎∵，∴这种游戏规则不公平．‎ ‎【考点】古典概型．‎ ‎19．某工厂为了对研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：‎ 单价元 ‎9‎ ‎9.2‎ ‎9.4‎ ‎9.6‎ ‎9.8‎ ‎10‎ 销量件 ‎100‎ ‎94‎ ‎93‎ ‎90‎ ‎85‎ ‎78‎ ‎（1）若销量与单价服从线性相关关系，求该回归方程；‎ ‎（2）在（1）的前提下，若该产品的成本是5元/件，问：产品该如何确定单价，可使工厂获得最大利润。‎ 附：对于一组数据，，……，‎ 其回归直线的斜率的最小二乘估计值为；‎ 本题参考数值：．‎ ‎【答案】（1）（2）为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为9.5元.‎ ‎【解析】（1）先根据公式求，再根据求即可求解；（2）先求出利润的函数关系式，再求函数的最值.‎ ‎【详解】‎ 解: （1）= ‎ ‎ …‎ 又 所以 ‎ ‎ ‎ 故回归方程为 ‎ ‎（2）设该产品的售价为元，工厂利润为元，当时，利润，定价不合理。‎ 由得，故 ‎ ‎ ‎ ‎， ‎ ‎， ‎ 当且仅当，即时，取得最大值. ‎ 因此，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为9.5元.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性回归方程和二次函数的最值. 线性回归方程 的计算要根据已知选择合适的公式.求二次函数的最值常用方法：1、根据函数单调性；2、配方法；3、基本不等式，注意等式成立的条件.‎ ‎20．某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成，，，，，六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：‎ ‎（1）求分数内的频率，并补全这个频率分布直方图；‎ ‎（2）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；‎ ‎（3）若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率.‎ ‎【答案】(1)见解析(2) (3) ‎ ‎【解析】分析：（1）利用所有小矩形的面积之和为，求得分数在内的频率，再根据小矩形的高，即可补全频率分布直方图；‎ ‎（2）根据中位数的左、右两边的小矩形的面积之和相等，即可求出中位数；‎ ‎（3）计算从第一组和第六组所有人数中任取人的取法总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解. ‎ 详解：（1）设分数在内的频率为，根据频率分布直方图，‎ 则有，可得，‎ 所以频率分布直方图为：‎ ‎（2）以中位数为准做一条垂直于横轴的直线，这条直线把频率分布直方图分成面积相等的两个部分，由频率分布直方图知中位数要把最高的小长方形三等分，‎ 所以中位数是，所以估计本次考试成绩的中位数为 ‎（3）设所抽取2人成绩之差的绝对值大于10为事件，‎ 第1组学生数：人（设为1，2，3，4，5，6）‎ 第6组学生数：人（设为）‎ 所有基本事件有：12，13，14，15，16，，23，24，25，26，，，，34，35，36，，，，45，46，，,，56，，，，，，，，，共有35种，‎ 事件包括的基本事件有：，，，，，，，，,，，，，，，共有18种 所以. ‎ 点睛：本题考查了利用样本估计总体的综合应用问题，以及古典概型及其概率的计算问题，对弈频率分布直方图，应注意：1、用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法.分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观.2、频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.‎ ‎21．在平面直角坐标系中，记满足，的点形成区域A，‎ 若点的横、纵坐标均在集合2，3，4，中随机选择，求点落在区域A内的概率；‎ 若点在区域A中均匀出现，求方程有两个不同实数根的概率；‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）利用列举法确定基本事件，即可求点落在区域内的概率；（2）以面积为测度，求方程有两个实数根的概率．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，点的横、纵坐标在集合中随机选择，共有个基本事件，并且是等可能的 其中落在，的区域内有，，，，，，，，共个基本事件 所以点落在区域内的概率为 ‎（2），表示如图的正方形区域，易得面积为 若方程有两个不同实数根，即，解得 为如图所示直线下方的阴影部分，其面积为 则方程有两个不同实数根的概率 ‎【点睛】‎ 本题考查概率的计算，要明确基本事件可数时为古典概型，基本事件个数不可数时为几何概型，属于中档题．‎ ‎22．已知函数，其中为实数．‎ ‎（1）若函数为定义域上的单调函数，求的取值范围．‎ ‎（2）若，满足不等式成立的正整数解有且仅有一个，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）分析当时的单调性，可得的单调性，由二次函数的单调性，可得的范围；‎ ‎（2）分别讨论当，当时，当时，当，结合函数的单调性和最值，即可得到所求范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，当时，为减函数，‎ 当时，，‎ 若时，也为减函数，且，‎ 此时函数为定义域上的减函数，满足条件；‎ 若时，在上单调递增，则不满足条件．‎ 综上所述，．‎ ‎（2）由函数的解析式，可得，‎ 当时，，不满足条件；‎ 当时，为定义域上的减函数，仅有成立，满足条件；‎ 当时，在上，仅有，‎ 对于上，的最大值为，‎ 不存在满足，满足条件；‎ 当时，在上，不存在整数满足，‎ 对于上，，‎ 不存在满足，不满足条件；‎ 综上所述，．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分段函数的运用，以及函数的单调性的判断和不等式有解问题，其中解答中熟练应用函数的单调性，以及把函数的有解问题转化为函数的最值问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档题．‎