专题2-10+函数的综合问题与实际应用（讲）-2018年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）

专题2-10+函数的综合问题与实际应用（讲）-2018年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）

第10节 函数的综合问题与实际应用 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 ‎5年统计 分析预测 函数的简单应用 能将一些简单的实际问题转化为相应的函数问题，并给予解决.‎ ‎2014•浙江理10；‎ ‎2015•浙江文20；理18；‎ ‎2016•浙江文12，20；理18；‎ ‎2017•浙江17.‎ ‎1.会从实际问题中抽象出函数模型，进而利用函数知识求解；‎ ‎2.函数的综合应用.‎ ‎3.备考重点 ‎（1）一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数以及其他函数模型.‎ ‎（2）函数的综合应用.‎ ‎【知识清单】‎ ‎1. 常见的几种函数模型 ‎(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0).‎ ‎(2)反比例函数模型：y＝(k≠0).‎ ‎(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0).‎ ‎(4)指数函数模型：y＝a·bx＋c(b>0，b≠1，a≠0).‎ ‎(5)对数函数模型：y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0).‎ 对点练习 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　　)‎ A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年 ‎【答案】B 元 ‎ ‎2.指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质 函数 性质 y＝ax ‎(a>1)‎ y＝logax ‎ (a>1)‎ y＝xn ‎(n>0)‎ 在(0，＋∞)‎ 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax0)‎在区间‎[2,3]‎上有最大值4和最小值1，‎ 设f(x)=‎g(x)‎x．‎ ‎（Ⅰ）求a、b的值；‎ ‎（Ⅱ）若不等式f(‎2‎x)-k·‎2‎x≥0‎在x∈[-1,1]‎上恒成立，求实数k的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）‎{‎a=1‎b=0‎;（Ⅱ）‎(-∞ ,0]‎． ‎ ‎（Ⅱ）由已知可得f(x)=x+‎1‎x-2‎，所以f(‎2‎x)-kx≥0‎可化为‎2‎x‎+‎1‎‎2‎x-2≥k⋅‎‎2‎x， ‎ 化为‎1+（‎1‎‎2‎x‎）‎‎2‎-2⋅‎1‎‎2‎x≥k，令t=‎‎1‎‎2‎x，则k≤t‎2‎-2t+1‎，因x∈[-1,1]‎，故t∈[‎1‎‎2‎,2]‎，‎ 记h(t)=t‎2‎-2t+1‎，因为t∈[‎1‎‎2‎,2]‎，故h‎(t)‎min=0‎， ‎ 所以k的取值范围是‎(-∞ ,0]‎． ‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1.函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.‎ ‎2.求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法.在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【2017浙江台州上期末】已知函数f(x)=|x+‎1‎x-ax-b|(a,b∈R)‎,当x∈[‎1‎‎2‎,2]‎时，设f(x)‎的最大值为M(a,b)‎，则M(a,b)‎的最小值为__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎ ‎【变式二】【2017天津，文8】已知函数设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ）‎ ‎（A）（B）（C）（D） ‎【答案】 ‎【解析】‎ ‎【易错试题常警惕】‎ 易错典例：如图所示，在矩形中，已知，（，在、、、上分别截取、、、都等于，当为何值时，四边形的面积最大？求出这个最大面积.‎ 易错分析：忽略了实际问题中自变量的取值范围，，由于，所以当时，‎ 自变量不能取到，面积不能取得最大值.‎ 若，即时，函数在上是增函数，因此，当时面积取得最大值.‎ 综上所述，若，当时面积取得最大值；‎ ‎ 若，当时面积取得最大值. ‎ 温馨提醒：解决此类问题，关键是利用已知条件，建立函数模型，然后化简整理函数解析式.‎ ‎【学科素养提升之思想方法篇】‎ 数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想 我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.‎ 向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.‎ 利用函数处理方程解的问题，方法如下：‎ ‎(1)方程f(x)＝a在区间I上有解⇔a∈{y|y＝f(x)，x∈I}⇔y＝f(x)与y＝a的图象在区间I上有交点．‎ ‎(2)方程f(x)＝a在区间I上有几个解⇔y＝f(x)与y＝a的图象在区间I上有几个交点．‎ 一般地，在探究方程解的个数或已知解的个数求参数的范围时，常采用转化与化归的思想将问题转化为两函数图象的交点个数问题，从而可利用数形结合的方法给予直观解答．‎ ‎【典例】【2017陕西师范附属二模】直线与函数的图象恰有三个公共点，则实数的取值范围是_______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎ 点睛：本题主要考查分段函数的图像与性质，其中分段函数的分段点是含有参数的，考查两个函数图像的交点，这是数形结合的数学思想，还考查了动态函数的观点.由于分段函数的分段点是含有参数的，所以需要将两个部分函数图像先行画出，并且画出的图像，然后平移，查看交点的个数，由此判断的取值范围.‎ ‎ ‎