数学理卷·2018届四川省成都七中高二上学期期末考试（2017-01）word版

数学理卷·2018届四川省成都七中高二上学期期末考试（2017-01）word版

‎ ‎ 理科数学试卷 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.命题：“”是命题：“直线与直线垂直”成立的（ ）‎ A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 ‎2.成都七中为了全面落实素质教育，切实有效减轻学生课业负担，拟从林荫、高新两个校区的初高中学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到初中三个年级、高中三个年级学生的课业负担情况有较大差异，而男女生课业负担差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）‎ A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C． 按年级分层抽样 D．系统抽样 ‎3.圆与圆的位置关系为（ ）‎ A．内切 B．相交 C．外切 D． 相离 ‎4.已知双曲线的离心率为，那么双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.已知函数，在定义域内任取一点，使的概率是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.已知实数满足不等式组，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.有名高中优秀毕业生回母校成都中参加高级励志成才活动，到个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.柜子里有双不同的鞋，随机地取只，下列叙述错误的是（ ）‎ A．取出的鞋不成对的概率是 ‎ B．取出的鞋都是左脚的概率是 ‎ C. 取出的鞋都是同一只脚的概率是 ‎ D．取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率是 ‎ 9. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则判断框内应填入的条件是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.成都中随机抽查了本校个同学，调查它们平均每天在课外从事体育锻炼的时间（单位：分钟），根据所得数据的茎叶图，以为组距将数据分为组，分别是，作出频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是（ ）‎ A． B． C. ‎ ‎ D．‎ ‎11.如图，等腰梯形中，且，设，，以、为焦点，且过点的双曲线的离心率为；以、为焦点，且过点的椭圆的离心率为，则（ ）‎ A．当增大时， 增大，为定值 B．当增大时， 减小，为定值 ‎ C.当增大时， 增大，增大 D．当增大时， 减小，减小 ‎12.以椭圆的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线，其左右焦点分别为，已知点的坐标为，双曲线上点满足，则等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.命题的否定是 ．‎ ‎14.已知双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则实数的值是 ．‎ ‎15.在平面直角坐标系中，曲线围成的图形的面积为 ．‎ ‎16.已知圆与直线，且直线上有唯一的一个点，使得过点作圆的两条切线互相垂直.设是直线上的一条线段，若对于圆上的任意一点，，则的最小值是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分10分）‎ 某市统计局就某地居民的月收入调查了人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在.‎ （1） 求居民收入在的频率；‎ （2） 根据频率分布直方图算出样本数据的中位数、平均数及其众数；‎ （3） 为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，按收入从这人中用分层抽样方法抽出人作进一步分析，则应在月收入为的人中抽取多少人？‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 口袋中装有个形状大小完全相同的小球，小球的编号分别为，甲、乙、丙依次有放回地随机抽取个小球，取到小球的编号分别为.‎ （1） 在一次抽取中，若有两人抽取的编号相同，则称这两人为“好朋友”，求甲、乙两人成为“好朋友”的概率；‎ ‎（2）求抽取的编号能使方程成立的概率.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 某科研所对新研发的一种产品进行合理定价，该产品按事先拟定的价格试销得统计数据.‎ 单价（万元）‎ 销量（件）‎ （1） ‎①求线性回归方程；②谈谈商品定价对市场的影响；‎ （2） 估计在以后的销售中，销量与单价服从回归直线，若该产品的成本为元/件，为使科研所获利最大，该产品定价应为多少？‎ ‎（附：）‎ 20. ‎（本小题满分12分）‎ 已知⊙，直线.‎ （1） 求证：直线与⊙恒有两个焦点；‎ ‎（2）若直线与⊙的两个不同交点分别为.求线段中点的轨迹方程，并求弦的最小值.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知一条曲线在轴右边，上每一点到点的距离减去它到轴距离的差都是.‎ （1） 求曲线的方程；‎ ‎（2）是否存在整数，对于过点且与曲线有两个交点的任一直线，都有？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆的上顶点与左、右焦点构成三角形面积为，又椭圆的离心率为，左右顶点分别为.‎ （1） 求椭圆的方程；‎ （2） 过点作两条射线分别交椭圆于两点（在长轴同侧），直线交长轴于点，且有.求证：为定值；‎ ‎（3）椭圆的下顶点为，过点的直线分别与椭圆交于两点.若的面积是的面积的倍，求的最大值.‎ 成都7中2016-2017学年度上期高2018届期末考试 理科数学参考答案 一、选择题 ‎1-5:ACBDC 6-10:DCDAB 11、12：BA 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ ‎16.【解析】根据圆的对称性知直线上的唯一点与圆心所在直线必与直线垂直，则所在直线的方程为，与直线联立求得，再根据对称性知过点的两条切线必与坐标轴垂直，；由题意，知取得最小值时，一定关于直线对称，如图所示，因此可设以点为圆心，以为半径的圆，即与圆内切时，的最小值即为，由相切条件易知.‎ 三、 解答题 17. ‎【解析】（1）居民收入在的频率为.‎ （2） 中位数为，‎ 平均数为，‎ 其众数.‎ （2） 在月收入为的人中抽取人.‎ 18. ‎【解析】（1）将甲、乙依次取到小球的编号记为，则基本事件有，共个.‎ 记“甲、乙两人成为好朋友”为事件，则包含的情况有，共个人，‎ 故甲、乙两人成为“好朋友”的概率.‎ （2） 将甲、乙、丙依次取到小球的编号记为，则基本事件有个.‎ 记“丙抽取的编号能使方程成立”为事件，当丙抽取的编号时，，∴分别为，当丙抽取的编号时，，∴为，当丙抽取的编号或时，方程不成立.综上，事件包含的基本事件有个，‎ ‎∴.‎ 19. ‎【解析】（1）①依题意：‎ ‎，‎ ‎∴回归直线的方程为.‎ ‎②由于，则负相关，故随定价的增加，销量不断降低.‎ （2） 设科研所所得利润为，设定价为，∴，‎ ‎∴当时，.故当定价为元时，取得最大值.‎ （1） 由题意知，设点为弦的中点，‎ 由（1）可知，点的轨迹方程是以为直径的圆为，由圆的几何性质可知，当是弦的中点时，最小.‎ 弦心距，⊙的半径为，∴.‎ 21. ‎【解析】（1）设是曲线上任意一点，那么点满足：，化简得.‎ （2） 设过点的直线与曲线的交点为.‎ 设的方程为，由得，‎ 于是①，又，‎ ‎②，‎ 又，于是不等式②等价于③，‎ 由①式，不等式③等价于④对任意实数，的最小值为，‎ 所以不等式④对于一切成立等价于，即.‎ 由此可知，存在正数，对于过点且与曲线有两个交点单调任一直线，都有，且的取值范围为.‎ 22. ‎【解析】（1）椭圆离心率，又，解得，‎ ‎∴椭圆.‎ （2） 由已知必有斜率，设.‎ 联立.‎ ‎.‎ （3） 设，因为，‎ 直线方程为:，直线，‎ 联立，‎ 联立，‎ 所以到直线的距离，‎ ‎，‎ ‎（取等条件 ‎），的最大值为.‎