专题42 直线、平面垂直的判定与性质-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

专题42 直线、平面垂直的判定与性质-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

专题42直线、平面垂直的判定与性质 最新考纲 ‎1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.‎ ‎2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.‎ 基础知识融会贯通 ‎1．直线与平面垂直 ‎(1)定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．‎ ‎(2)判定定理与性质定理 ‎2.直线和平面所成的角 ‎(1)定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．‎ ‎(2)范围：.‎ ‎3．平面与平面垂直 ‎(1)二面角的有关概念 ‎①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；‎ ‎②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．‎ ‎(2)平面和平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．‎ ‎(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 ‎【知识拓展】‎ 重要结论 ‎(1)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．‎ ‎(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．‎ ‎(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．‎ ‎(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．‎ 重点难点突破 ‎【题型一】直线与平面垂直的判定与性质 ‎【典型例题】‎ 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F分别是AD，CD的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：BD⊥平面PEF；‎ ‎（Ⅱ）若M是棱PB上一点，三棱锥M﹣PAD与三棱锥﹣DEF的体积相等，求的值．‎ ‎【解答】（本题满分为12分）‎ 解：（Ⅰ）证明：连接AC，∵PA＝PD，且E是AD的中点，‎ ‎∴PE⊥AD，…1分 又∵面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，‎ ‎∴PE⊥平面ABCD，…2分 ‎∵BD⊂平面ABCD，‎ ‎∴BD⊥PE，…3分 又四边形ABCD为菱形，且E，F为棱的中点，‎ ‎∴EF∥AC，BD⊥AC，‎ ‎∴BD⊥EF，…4分 又BD⊥PE，PE∩EF＝E，‎ ‎∴BD⊥平面PEF；…6分 ‎（Ⅱ）如图，连接MA，MD，设λ，则，‎ ‎∴VM﹣PADVB﹣PADVP﹣ABD，…8分 又VP﹣DEFVP﹣ACDVP﹣ABD，…10分 ‎∵VM﹣PAD＝VP﹣DEF，‎ ‎∴，解得：λ，即．…12分 ‎ 【再练一题】‎ 如图1，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为DC的中点．以AE为折痕把△ADE折起，使点D到达点P的位置，且平面PAE⊥平面ABCE（如图2）．‎ ‎（Ⅰ）求证：EC∥平面PAB；‎ ‎（Ⅱ）求证：BE⊥PA；‎ ‎（Ⅲ）对于线段PB上任意一点M，是否都有PA⊥EM成立？请证明你的结论．‎ ‎【解答】（本小题14分）‎ 证明：（Ⅰ）在矩形ABCD中，E是CD中点，‎ 所以CE∥AB……………………………AB⊂平面PAB，CE⊄平面PAB 所以EC∥平面PAB……………………………‎ ‎（Ⅱ）在矩形ABCD中，AB＝2CD，E是CD中点，‎ 可得AB2＝AE2+BE2‎ 所以BE⊥AE……………………………..‎ 又 平面PAE⊥平面ABCE，平面PAE∩平面ABCE＝AE，BE⊂平面ABCE 所以BE⊥平面PAE………………………..PA⊂平面PAE 所以BE⊥PA……………………………‎ 解：（Ⅲ）对于线段PB上任意一点M，都有PA⊥EM成立．证明如下………………..‎ 因为矩形ABCD，所以DA⊥DE，即PA⊥PE………………………..‎ 由（Ⅱ）得BE⊥PA 而 BE⊂平面PEB，PE⊂平面PEB，PE∩BE＝E 所以 PA⊥平面PEB………………………………‎ 对于线段PB上任意一点M，EM⊂平面PEB 所以PA⊥EM…………………………………‎ ‎ 思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键 ‎(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．‎ ‎(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．‎ ‎【题型二】平面与平面垂直的判定与性质 ‎【典型例题】‎ 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，∠DAB＝60°，AD＝2，AM＝1，，E为AB的中点．‎ ‎（1）平面ADNM⊥平面ABCD ‎（2）求点E到平面BCM的距离 ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，AD＝2，E是AB的中点，‎ ‎∴AEABAD＝1，又AM＝1，ME，‎ ‎∴AM2+AE2＝ME2，故AM⊥AE，‎ ‎∵四边形ADNM是矩形，∴AM⊥AD，‎ 又AB∩AD＝A，‎ ‎∴AM⊥平面ABCD，又AM⊂平面ADNM，‎ ‎∴平面ADNM⊥平面ABCD．‎ ‎（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AD＝2，∠DAB＝60°，‎ ‎∴DE⊥AB，DE，AC＝2，BC＝2，‎ ‎∴MB，MC，cos∠MBC，‎ 故sin∠MBC，∴S△MBC2，‎ 设点E到平面BCM的距离为h，则VE﹣MBCS△MBC•h．‎ 又VE﹣MBC＝VM﹣BCE，‎ ‎∴，解得h．‎ ‎∴点E到平面BCM的距离． 【再练一题】‎ 四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AB＝1，AD＝2BC，PD．‎ ‎（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；‎ ‎（2）M为棱PB上异于B的点，且AM⊥MC，求直线AM与平面MCD所成角的正弦值．‎ ‎【解答】证明：（1）在Rt△ABC与Rt△ABD中，‎ ‎∵，，∴，∠ABC＝∠DAB＝90°，‎ ‎∴△ABC∽△DAB，‎ ‎∴∠ABD＝∠BCA，‎ ‎∵∠ABD+∠CBD＝90°，∴∠BCA+∠CBD＝90°，‎ ‎∴AC⊥BD，‎ ‎∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC，‎ ‎∵BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PBD，‎ 又AC⊂平面PAC，∴平面PBD⊥平面PAC．‎ 解：（2）过A作AE∥DP，‎ ‎∵PD⊥平面ABCD，∴AE⊥平面ABCD，即AE，AB，AD两两垂直，‎ 以A为原点，AB，AD，AE所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，‎ ‎∵AB＝1，AD＝2BC，PD，‎ ‎∴A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，，0），D（0，），P（0，），‎ ‎（1，0，0），（﹣1，），（0，，0），‎ 设，λ∈（0，1]，‎ 则（1﹣λ，，），‎ ‎，‎ ‎∵AM⊥MC，∴（1﹣λ）（﹣λ）0，‎ 由λ∈（0，1]，解得，‎ ‎∴（，，），∴M（，，），‎ 设（x0，y0，z0）为平面MCD的一个法向量，‎ 则，取z，得（，），‎ 设直线AM与平面MCD所成角为θ，‎ ‎∴sinθ，‎ ‎∴直线AM与平面MCD所成角的正弦值为．‎ ‎ 思维升华 (1)判定面面垂直的方法 ‎①面面垂直的定义；‎ ‎②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．‎ ‎(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．‎ ‎【题型三】垂直关系中的探索性问题 ‎【典型例题】‎ 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，，AB∥CD，AB⊥AD，AD＝DC＝1，AB＝2，E为侧棱PA上一点．‎ ‎（Ⅰ）若，求证：PC∥平面EBD；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面EBC⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅲ）在侧棱PD上是否存在点F，使得AF⊥平面PCD？若存在，求出线段PF的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设AC∩BD＝G，连结EG．‎ 由已知AB∥CD，DC＝1，AB＝2，得．‎ 由，得．‎ 在△PAC中，由，得EG∥PC．‎ 因为EG⊂平面EBD，PC⊄平面EBD，‎ 所以PC∥平面EBD．‎ ‎（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，‎ 所以BC⊥PA．‎ 由已知得，，AB＝2，‎ 所以AC2+BC2＝AB2．‎ 所以BC⊥AC．‎ 又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC．‎ 因为BC⊂平面EBC，‎ 所以平面EBC⊥平面PAC．‎ ‎（Ⅲ）在平面PAD内作AF⊥PD于点F，‎ 由DC⊥PA，DC⊥AD，PA∩AD＝A，‎ 得DC⊥平面PAD．‎ 因为AF⊂平面PAD，所以CD⊥AF．‎ 又PD∩CD＝D，所以AF⊥平面PCD．‎ 由，AD＝1，PA⊥AD，得 cos∠APD，即，‎ ‎∴．‎ ‎ 【再练一题】‎ 如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，侧面ADEF为梯形，AF∥DE，DE⊥AD，DC＝DE．‎ ‎（Ⅰ）求证：AD⊥CE；‎ ‎（Ⅱ）求证：BF∥平面CDE；‎ ‎（Ⅲ）判断线段BE上是否存在点Q，使得平面ADQ⊥平面BCE？并说明理由．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由底面ABCD为矩形，知AD⊥CD．………………‎ 又因为DE⊥AD，DE∩CD＝D，………………‎ 所以AD⊥平面CDE．………………‎ 又因为CE⊂平面CDE，‎ 所以AD⊥CE．………………‎ ‎（Ⅱ）由底面ABCD为矩形，知AB∥CD，‎ 又因为AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，‎ 所以AB∥平面CDE．………………‎ 同理AF∥平面CDE，‎ 又因为AB∩AF＝A，‎ 所以平面ABF∥平面CDE．………………‎ 又因为BF⊂平面ABF，所以BF∥平面CDE．………………‎ ‎（Ⅲ）结论：线段BE上存在点Q（即BE的中点），使得平面ADQ⊥平面BCE．…‎ 证明如下：‎ 取CE的中点P，BE的中点Q，连接AQ，DP，PQ，则PQ∥BC．‎ 由AD∥BC，得PQ∥AD．‎ 所以A，D，P，Q四点共面．………………‎ 由（Ⅰ），知AD⊥平面CDE，‎ 所以AD⊥DP，故BC⊥DP．‎ 在△CDE中，由DC＝DE，可得DP⊥CE．‎ 又因为BC∩CE＝C，‎ 所以DP⊥平面BCE．………………‎ 又因为DP⊂平面ADPQ 所以平面ADPQ⊥平面BCE（即平面ADQ⊥平面BCE）．‎ 即线段BE上存在点Q（即BE中点），使得平面ADQ⊥平面BCE．………‎ ‎ 思维升华 (1)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设．‎ ‎(2)对于探索性问题用向量法比较容易入手．一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在．‎ 基础知识训练 ‎1．【河北省邢台市第二中学2019届高三质量检测】已知平面平面，且，要得到直线平面，还需要补充以下的条件是（ ）‎ A． B． C． D．且 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 选项A、B、C的条件都不能得到直线平面.而补充选项D后，可以得到直线平面.理由是：若两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.‎ 故选D ‎2．【山东省2019届高三第一次大联考】如图，一个正四棱锥和一个正三棱锥，所有棱长都相等，为棱的中点，将、、分别对应重合为，得到组合体.关于该组合体有如下三个结论：①；②；③，其中错误的个数是（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由于正四棱锥和一个正三棱锥，所有的棱长都相等，可看作有两个相同的正四棱柱拼凑而成，如图所示：点对应正四棱锥的上底面中心，‎ 点对应另一正四棱锥的上底面中心，由图形可知拼成一个三棱柱，设为的中点，由此可知，又因为平面，所以，因为，，所以.故选A.‎ ‎3．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第二次模拟】四棱锥中，平面，底面是正方形，且，则直线与平面所成角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 连接交于点，‎ 因为平面，底面是正方形，‎ 所以，，因此平面；故平面；‎ 连接，则即是直线与平面所成角，‎ 又因，所以，.‎ 所以，所以.‎ 故选A ‎4．【广东省珠海市2018-2019学年高三上学期期末考试】在正方体中，直线与面所成角的正弦为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 连接AC交BD于点O，连接，‎ 因为，得到，所以为直线与面所成角，设，则，所以 ‎，故选B。‎ ‎5．【湖北省黄冈市八模2019届高三数学模拟测试题】如图，为圆的直径，，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点、重合的点，于，于，则下列不正确的是（ ）‎ A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 平面平面 ‎，‎ ‎∴A正确，C、D显然正确.‎ 故选B.‎ ‎6．【北京市门头沟区2019年3月高三年级综合练习】如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是　　‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 解：对于A，AB为体对角线，MN，MQ，NQ分别为棱的中点，由中位线定理可得它们平行于所对应的面对角线，连接另一条面对角线，由线面垂直的判定可得AB垂直于MN，MQ，NQ，可得AB垂直于平面MNQ；‎ 对于B，AB为上底面的对角线，显然AB垂直于MN，与AB相对的下底面的面对角线平行，且与直线NQ垂直，可得AB垂直于平面MNQ；‎ 对于C，AB为前面的面对角线，显然AB垂直于MN，QN在下底面且与棱平行，此棱垂直于AB所在的面，即有AB垂直于QN，可得AB垂直于平面MNQ；‎ 对于D，AB为上底面的对角线，MN平行于前面的一条对角线，此对角线与AB所成角为，‎ 则AB不垂直于平面MNQ．‎ 故选：D．‎ ‎7．【福建省2019届高三毕业班3月质量检测考试】如图,是圆锥的底面的直径,是圆上异于的任意一点,以为直径的圆与的另一个交点为为的中点.现给出以下结论：‎ ‎①为直角三角形 ‎②平面平面 ‎③平面必与圆锥的某条母线平行 其中正确结论的个数是 A．0 B．‎1 ‎C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎①∵SO⊥底面圆O，‎ ‎∴SO⊥AC，‎ C在以AO为直径的圆上，‎ ‎∴AC⊥OC，‎ ‎∵OC∩SO＝O，‎ ‎∴AC⊥平面SOC，AC⊥SC，‎ 即①△SAC为直角三角形正确，故①正确，‎ ‎②假设平面SAD⊥平面SBD，在平面SAD中过A作AH⊥SD交SD于H,则AH⊥平面SBD，∴AH⊥BD，‎ 又∵BD⊥AD，∴BD⊥面SAD，又CO∥BD，∴CO⊥面SAD，∴CO⊥SC,又在△SOC中，SO⊥OC，在一个三角形内不可能有两个直角，故平面SAD⊥平面SBD不成立，故②错误，‎ ‎③连接DO并延长交圆于E，连接PO，SE，‎ ‎∵P为SD的中点，O为ED的中点，‎ ‎∴OP是△SDE的中位线，‎ ‎∴PO∥SE，‎ 即SE∥平面APB，‎ 即平面PAB必与圆锥SO的母线SE平行．故③正确，‎ 故正确是①③，‎ 故选：C．‎ ‎8．【湖南省2019届高三六校(长沙一中、常德一中等)联考】如图，平面四边形中，，是，中点，，，，将沿对角线折起至，使平面，则四面体中，下列结论不正确的是（ ）‎ A．平面 B．异面直线与所成的角为 C．异面直线与所成的角为 D．直线与平面所成的角为 ‎【答案】C ‎【解析】‎ A选项：因为，分别为和两边中点，所以，即平面，A正确；‎ B选项：因为平面平面，交线为，且，所以平面，即，故B正确；‎ C选项：取边中点，连接，，则，所以为异面直线与所成角，又，，，即，故C错误，‎ D选项：因为平面平面，连接，则所以平面，连接FC，所以为异面直线与所成角，又，∴,‎ 又， sin=，∴,D正确，‎ 故选C.‎ ‎9．【辽宁省抚顺市2019届高三第一次模拟考试】在三棱锥中，已知，，点，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是(　　)‎ A．直线直线 B．直线直线 C．直线直线 D．直线直线 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意，如图所示，因为，，‎ ‎∴，得，取中点，连接，，‎ 则，，‎ 又∵，∴平面，则，‎ ‎∵，分别为棱，的中点，‎ ‎∴，则．‎ 故选：D．‎ ‎10．【四川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测】如图，在正方体中，分别是棱的中点，则异面直线与所成的角的大小是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 连结 正方体，面 面，所以 正方形中，‎ 面，‎ 所以面，而面 所以 又为中点，为中点，可得 所以，即异面直线与所成的角的大小是.‎ 故选D项.‎ ‎11．【四川省雅安市2019届高三第三次诊断考试】如图，圆锥的高，底面圆的直径，是圆上一点，且，为的中点，则直线和平面所成角的正弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 过点作于点，连接，如下图：‎ 在圆中，为直径.，又为中点，‎ 且 又 平面，又平面 平面平面 又平面平面，，平面 平面.‎ 就是直线和平面所成角.‎ 由题可得.‎ 在中，可求得：‎ 又,所以.‎ 由得：‎ 所以 故选：C ‎12．【广东省梅州市2019届高三总复习质检】在等腰直角中，，，为中点，为中点，为边上一个动点，沿翻折使，点在平面上的投影为点，当点在上运动时，以下说法错误的是　　‎ A．线段为定长 B．‎ C．线段的长 D．点的轨迹是圆弧 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 如图所示，‎ 对于A中，在为直角三角形，ON为斜边AC上的中线，‎ 为定长，即A正确；‎ 对于C中，点D在M时，此时点O与M点重合，此时，，此时，即正确；‎ 对于D，由A可知，根据圆的定义可知，点O的轨迹是圆弧，即D正确；‎ 故选：B．‎ ‎13．【吉林省长春实验高中2019届高三第五次月考】在四面体ABCD中，DA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝4，AC＝3，AD＝1，E为棱BC上一点，且平面ADE⊥平面BCD，则DE＝________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 作，因为平面平面，‎ 所以平面，‎ 因为平面，所以，‎ 又因为平面，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以，‎ 因为平面，所以，‎ ‎，故答案为.‎ ‎14．【黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三上学期期末考试】如图，直三棱柱中,， ，外接球的球心为，点是侧棱上的一个动点.有下列判断：‎ ‎① 直线与直线是异面直线；②一定不垂直；‎ ‎③ 三棱锥的体积为定值； ④的最小值为.‎ 其中正确的序号序号是______.‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】‎ 如图，‎ ‎∵直线AC经过平面BCC1B1内的点C，而直线C1E在平面BCC1B1内不过C，‎ ‎∴直线AC与直线C1E是异面直线，故①正确；‎ 当E与B重合时，AB1⊥A1B，而C1B1⊥A1B，‎ ‎∴A1B⊥平面AB‎1C1，则A1E垂直AC1，故②错误；‎ 由题意知，直三棱柱ABC﹣A1B‎1C1的外接球的球心为O是AC1 与A‎1C 的交点，则△AA1O的面积为定值，由BB1∥平面AA‎1C1C，‎ ‎∴E到平面AA1O的距离为定值，∴三棱锥E﹣AA1O的体积为定值，故③正确；‎ 设BE＝x，则B1E＝2﹣x，∴AE+EC1．‎ 由其几何意义，即平面内动点（x，1）与两定点（0，0），（2，0）距离和的最小值知，‎ 其最小值为2，故④正确．‎ 故答案为：①③④‎ ‎15．【四川省眉山一中办学共同体2018-2019学年高二上学期半期考试】如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周)．若AM⊥MP，则点P形成的轨迹长度为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因为总垂直，故的轨迹为过且与垂直的平面与底面的交线（在底面的圆内），它与圆的截线为，连接，设弦，连接，‎ 在中，，故 ，，故填．‎ ‎16．【湖北省武汉市2019届高中毕业生二月调研测试】在棱长为1的正方体中，点关于平面的对称点为，则到平面的距离为______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 将正方体再叠加一个正方体，‎ 构成如图所示的正四棱柱，‎ 则平面即为平面，‎ 连接与平面，平面交于两点，‎ 则平面平面，且平面平面，‎ 且两点是线段的两个三等分点，‎ 所以点即为点关于平面的对称点为，‎ 由正方体的性质可知是正三角形的中心，也是重心，‎ 所以到平面的距离等于到平面的距离的三分之一为，‎ 点到平面的距离为，‎ 即到平面的距离为，故答案为．‎ ‎17．【辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第八次模拟】在三棱锥中，是边长为的等边三角形，，.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若点，分别为棱，的中点，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)见证明；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）取中点，连结，.‎ ‎∵，，‎ ‎∴，.‎ ‎∵等边的边长为 ‎∴，又 ‎∴‎ ‎∴，‎ 即 又∵，平面，平面 ‎∴平面，又平面 ‎∴平面平面 ‎ ‎（2）∵点，分别为棱，的中点 ‎∴点到平面的距离为 且 ‎∴三棱锥的体积 ‎18．【湖北省武汉市2019届高三2月调研测试】如图，已知四边形ABCD为梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，BDD1B1为矩形，平面BDD1B1⊥平面ABCD，又AB=AD=BB1=1，CD=2．‎ ‎（1）证明：CB1⊥AD1；‎ ‎（2）求B1到平面ACD1的距离．‎ ‎【答案】(1)见证明；(2)1‎ ‎【解析】‎ 证明：（1）∵BDD1B1是矩形，且平面BDD1B1⊥平面ABCD，‎ ‎∴BB1⊥平面ABCD，DD1⊥平面ABCD，‎ 在Rt△D1DC中，D‎1C=，AD1=，AB1=，‎ 连结AC，在梯形ABCD中，∠DAB=90°，AD=AB=1，DC=2，‎ ‎∴AC=，BC=，∴B‎1C=，‎ 在△B1D‎1C中，D‎1C=，，‎ B‎1C=，∴B‎1C⊥B1D1，‎ 在△B1CA中，B‎1C=，AB1=，AC=，‎ ‎∴B‎1C⊥AB1，‎ ‎∵B1D1∩AB1=B1，∴B‎1C⊥面B1D‎1A，‎ ‎∵AD1⊂平面B1D‎1A，∴CB1⊥AD1．‎ 解：（2）在△B1D‎1A中，AB1=B1D1=，AD1=，‎ 则△BD‎1A的面积S==，‎ ‎∴四面体B1-AD‎1C的体积V=，‎ 在△ACD1中，AC=CD1=，而AD1=，‎ ‎∴等腰△ACD1的边AD1上的高d==，‎ ‎∴△ACD1的面积S==，‎ 设B1到平面ACD1的距离为h，由等体积法得•h=，‎ ‎∴，解得h=1，‎ ‎∴B1到平面ACD1的距离为1．‎ ‎19．【山东省德州市2019届高三第二次练习】如图，四棱锥中，平面平面ABCD，E为线段AD的中点，且．．．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若，求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】(1)见证明；(2)4‎ ‎【解析】‎ ‎（1）证明：∵，E是AD的中点，∴，‎ 又∵平面平面ABCD，平面平面，‎ ‎∴平面ABCD，又平面ABCD，‎ ‎∴，又，，‎ ‎∴平面PBE，又平面PAC，‎ ‎∴平面平面PAC．‎ ‎（2）解：由（1）知平面PBE，故，‎ ‎∵，‎ ‎∴四边形BCDE是平行四边形，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，，∴，‎ ‎∴，即，∴．‎ ‎∴．‎ ‎20．【广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月)】如图，四边形是直角梯形，其中，，．点是的中点，将沿折起如图，使得平面．点、分别是线段、的中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求三棱锥的体积 ‎【答案】(1)见证明；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）证明：,且点是的中点 ‎∴，‎ ‎∵四边形是直角梯形，‎ ‎∴，‎ ‎∴四边形为平行四边形，‎ ‎∵，‎ ‎∴四边形为正方形，‎ ‎ ∵是的中点，‎ ‎∴是的中点，‎ 又是的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∵平面 ‎∴，‎ 又∵，且，‎ ‎∴平面，‎ ‎∴，‎ 则；‎ ‎（2）解：∵平面，且是线段的中点，‎ ‎∴到底面的距离为，‎ 又是边长为1的正方形，∴.‎ ‎∴三棱锥的体积.‎ ‎21．【山东省潍坊市2019届高三高考模拟（5月三模)考试】如图所示，在多面体中，四边形是边长为2的菱形，且，平面平面，‎ ‎，，为的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若为等边三角形，为线段上的一点，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）1‎ ‎【解析】‎ ‎（1）因为，为的中点，所以，‎ 因为平面平面，平面平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）因为为等边三角形，，所以，‎ 因为，平面，平面，所以平面.‎ 因为点在线段上，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，‎ 因为四边形为菱形，，，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎22．【北京市朝阳区2019届高三第二次（5月)综合练习（二模)】如图，在直角梯形中，,, ，，,点在上，且，将沿折起，使得平面平面（如图），为中点.‎ ‎（Ⅰ）求证:平面；‎ ‎（Ⅱ）求四棱锥的体积；‎ ‎（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）见解析 ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）证明：因为为中点，，‎ 所以.‎ 因为平面平面，‎ 平面平面，平面， ‎ 所以平面． ‎ ‎（Ⅱ）在直角三角形中，易求,则．‎ 所以四棱锥的体积为 ‎． ‎ ‎（Ⅲ） 过点C作交于点，则． ‎ 过点作交于点，连接,则．‎ 又因为，平面平面,‎ 所以平面．‎ 同理平面．‎ 又因为，‎ 所以平面平面．‎ 因为平面 ， ‎ 所以平面．‎ 所以在上存在点，使得平面，且 能力提升训练 ‎1．【福建省三明市2019届高三质量检查测试】在直三棱柱中，.以下能使的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 解：因为直三棱柱 所以，‎ 又因为，‎ 所以 因为，‎ 平面，‎ 所以平面，‎ 所以，‎ 那么，要证，‎ 故只需要证明平面，‎ 即证，‎ 因为直三棱柱的侧面都是长方形，‎ 当增加条件时，‎ 则可以得到，‎ 因为，‎ ‎，‎ 平面，‎ 所以平面，‎ 所以.‎ 故选B.‎ ‎2．【福建省泉州市2019届高三第二次（5月)质检】已知等边△的边长为2，现把△绕着边旋转到△的位置．给出以下三个命题：①对于任意点，； ②存在点，使得平面； ③三棱锥的体积的最大值为1.以上命题正确的是 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意，取中点，由于，，根据线面垂直的判定定理，得平面，平面，所以，故①正确；‎ 假设平面，则，又，这不可能，故②错误；‎ 由，当平面平面时，达到最大，此时，故③正确. 故选B．‎ ‎3．【晋冀鲁豫中原名校2019届高三第三次联考】如图，在正方体中，点是线段上的动点，点为正方体对角线上的动点，若三棱锥 的体积为正方体体积的，则直线与底面所成角的正切值为（）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设正方体的边长为1，连，在上取一点，‎ 使得.由底面，得底面，‎ 直线与底面所成的角为，记为，‎ 则.‎ 又由，则，得，可得，‎ 则.故选A.‎ ‎4．【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试】如图所示，体积为8的正方体 中，分别过点，，作，，垂直于平面，垂足分别为，，，则六边形的面积为（ ）‎ A． B． C．12 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 依题意，.因为 ，故在平面的投影，同理，作出六边形，六边形为正六边形，如图所示，由三角形的边长，知 ，故所求六边形的面积.‎ 故选：A ‎5．【陕西省西安市2019届高三第三次质量检测】将正方形沿对角线折起，并使得平面垂直于平面，直线所成的角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 如图，取的中点，分别为，‎ 则，所以或其补角即为所求的角.‎ 因为平面垂直于平面，所以平面，所以.‎ 设正方形边长为，所以，则.‎ 所以.所以是等边三角形，.‎ 所以直线所成的角为．故应选B．‎ ‎6．【2019年浙江省高考】设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 方法1：如图为中点，在底面的投影为，则在底面投影在线段上，过作垂直，易得，过作交于，过作，交于，则，则，即，，即 ‎，综上所述，答案为B.‎ 方法2：由最小角定理，记的平面角为（显然）‎ 由最大角定理，故选B.‎ 方法3：（特殊位置）取为正四面体，为中点，易得 ‎，故选B.‎ ‎7．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三压轴】如图，四棱锥中，平面，底面是平行四边形，若，.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）计算四棱锥的表面积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）由题意，因为平面，所以，‎ 因为，，，所以，所以，‎ 又由,所以平面，‎ 又由平面，所以平面平面.‎ ‎（Ⅱ）在直角中，，所以，‎ 在直角中，，所以，‎ 因为，，所以，‎ 因为面，所以，所以，‎ 因为，所以，‎ 故四棱锥的表面积为.‎ ‎8．【青海省西宁市湟川中学2019届高三上学期第三次月考】如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，且，点是棱的中点，点为的中点．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）证明：．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎（1）点分别为的中点 ‎ 平面，平面 平面 ‎（2）平面，平面 ‎ 又是矩形 ‎ ‎ 平面 平面 ‎ ‎，点是的中点 ‎ 又 平面 平面 ‎ ‎9．【天津市和平区2019届高三一模】如图，在四棱柱中，，，，且.‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（II）求证：；‎ ‎（III）若，判断直线与平面是否垂直？并说明理由.‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)答案见解析.‎ ‎【解析】‎ 证明：(Ⅰ)∵AD∥BC,BC⊄平面ADD‎1A1,AD⊂平面ADD‎1A1，‎ ‎∴BC∥平面ADD‎1A1,‎ ‎∵CC1∥DD1,CC1⊄平面ADD‎1A1,DD1⊂平面ADD‎1A1,‎ ‎∴CC1∥平面ADD‎1A1，‎ 又∵BC∩CC1=C，‎ ‎∴平面BCC1B1∥平面ADD‎1A1,‎ 又∵B‎1C⊂平面BCC1B1，‎ ‎∴B‎1C∥平面ADD‎1A1.‎ ‎(Ⅱ)∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂底面ABCD，∴BB1⊥AC,又∵AC⊥BD,BB1∩BD=B，‎ ‎∴AC⊥平面BB1D,‎ 又∵B1D⊂底面BB1D，‎ ‎∴AC⊥B1D;‎ ‎(Ⅲ)结论：直线B1D与平面ACD1不垂直,‎ 证明：假设B1D⊥平面ACD1，‎ 由AD1⊂平面ACD1,可得B1D⊥AD1,‎ 由棱柱中,BB1⊥底面ABCD,∠BAD=90°，‎ 可得：A1B1⊥AA1,A1B1⊥A1D1，‎ 又∵AA1∩A1D1=A1，‎ ‎∴A1B1⊥平面AA1D1D，‎ ‎∴A1B1⊥AD1,‎ 又∵A1B1∩B1D=B1，‎ ‎∴AD1⊥平面A1B1D，‎ ‎∴AD1⊥A1D,‎ 这与四边形AA1D1D为矩形,且AD=2AA1矛盾,故直线B1D与平面ACD1不垂直.‎ ‎10．【河北省唐山市2019届高三下学期第一次模拟考试】如图， 中，，，分别为，边的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1） 因为分别为，边的中点，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以，，‎ 又因为，‎ 所以平面，‎ 所以平面．‎ ‎（2）取的中点，连接，‎ 由（1）知平面，平面，‎ 所以平面平面，‎ 因为，‎ 所以，‎ 又因为平面，平面平面，‎ 所以平面， ‎ 在中：，‎ 在中：，‎ 在中，，，‎ 所以，‎ 又，设点到平面的距离为，‎ 由得，‎ ‎，所以.‎ 即点到平面的距离为.‎ ‎ ‎