专题32+直线、平面垂直的判定与性质（题型专练）-2019年高考数学（文）热点题型和提分秘籍

专题32+直线、平面垂直的判定与性质（题型专练）-2019年高考数学（文）热点题型和提分秘籍

‎1．在空间中，l，m，n，a，b表示直线，α表示平面，则下列命题正确的是(　　)‎ A．若l∥α，m⊥l，则m⊥α B．若l⊥m，m⊥n，则m∥n C．若a⊥α，a⊥b，则b∥α D．若l⊥α，l∥a，则a⊥α ‎【答案】D ‎2．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则(　　)‎ A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直 B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直 C．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直 D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直 ‎【解析】如图，在平面β内的直线若与α，β的交线a平行，则有m与之垂直．但却不一定在β内有与m平行的直线，只有当α⊥β时才存在。 ‎ ‎9．设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β(　　)‎ A．不存在 B．有且只有一对 C．有且只有两对 D．有无数对 ‎【答案】D　‎ ‎10．如图7510，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有(　　) ‎ 图7510‎ A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFH C．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF ‎【答案】B　‎ ‎【解析】根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，‎ ‎∴AH⊥平面EFH，B正确；‎ ‎∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确；‎ ‎∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，∴EF⊥平面HAG，又EF⊂平面AEF，‎ ‎∴平面HAG⊥AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确；‎ 由条件证不出HG⊥平面AEF，∴D不正确．故选B.‎ ‎11．如图7511，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线是________；与AP垂直的直线是________．‎ 图7511‎ ‎【答案】AB，BC，AC；AB　‎ ‎12．如图7512所示，在四棱锥PABCD中， PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)‎ 图7512‎ ‎【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC)　‎ ‎【解析】连接AC，BD，则AC⊥BD，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD.‎ 又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC．‎ ‎∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.‎ 而PC⊂平面PCD，‎ ‎∴平面MBD⊥平面PCD.‎ ‎13．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：‎ ‎①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.‎ ‎②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.‎ ‎③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.‎ ‎④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．‎ 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号) ‎ ‎【答案】②③④　‎ ‎14.如图7516，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.‎ 图7516‎ ‎【答案】a或2a　‎ ‎【解析】∵B1D⊥平面A1ACC1，∴CF⊥B1D.‎ 为了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F)．设AF＝x，则CD2＝DF2＋FC2，‎ ‎∴x2－3ax＋2a2＝0，∴x＝a或x＝2a. ‎ ‎【答案】2‎ ‎16．在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上一个动点，则PM的最小值为__________。‎ ‎【答案】2 ‎17．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF。‎ ‎【解析】由题意易知B1D⊥平面ACC1A1，所以B1D⊥CF。‎ 要使CF⊥平面B1DF，‎ 只需CF⊥DF即可。令CF⊥DF，设AF＝x，‎ 则A1F＝3a－x。‎ 由Rt△CAF∽Rt△FA1D，得＝，‎ 即＝，‎ 整理得x2－3ax＋2a2＝0，解得x＝a或x＝2a。‎ ‎【答案】a或2a ‎18.如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知BC＝1，∠BCC1＝，AB＝CC1＝2。‎ ‎(1)求证C1B⊥平面ABC。‎ ‎(2)设E是CC1的中点，求AE和平面ABC1所成角的正弦值的大小。‎ ‎19.如图所示，已知E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，PA，NC都垂直于平面ABCD，且PA＝AB＝4，NC＝2，M是线段PA上一动点。‎ ‎(1)求证：平面PAC⊥平面NEF。‎ ‎(2)若PC∥平面MEF，试求PM∶MA的值。‎ ‎(3)若M是PA中点时，求二面角M－EF－N的余弦值。‎ ‎【解析】(1)连接BD，‎ 因为PA⊥平面ABCD，‎ ‎(2)连接OM，因为PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF＝OM，所以PC∥OM，‎ 所以＝＝，故PM∶MA＝1∶3。 ‎ ‎(3)因为EF⊥平面PAC，OM⊂平面PAC，所以EF⊥OM，在等腰三角形NEF中，点O为EF的中点，所以NO⊥EF，‎ 所以∠MON为所求二面角M－EF－N的平面角，‎ 因为点M是PA的中点，所以AM＝NC＝2，‎ 所以在矩形MNCA中，可求得MN＝AC＝4，NO＝，MO＝，在△MON中，由余弦定理可求得cos∠MON＝＝－，‎ 所以二面角M－EF－N的余弦值为－。‎ ‎20．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD和圆O所在的平面互相垂直。已知AB＝2，EF＝1。‎ ‎(1)求证：平面DAF⊥平面CBF。‎ ‎(2)求直线AB与平面CBF所成角的大小。‎ ‎(3)当AD的长为何值时，二面角D－FE－B的大小为60°。‎ ‎【解析】(1)因为平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，‎ 平面ABCD∩平面ABEF＝AB，‎ 所以CB⊥平面ABEF。‎ 因为AF⊂平面ABEF，所以AF⊥CB，‎ 又因为AB为圆O的直径，所以AF⊥BF，‎ 所以AF⊥平面CBF。‎ 因为AF⊂平面ADF，所以平面DAF⊥平面CBF。‎ ‎(3)过A作AG⊥EF于G，连接DG，则∠AGD是二面角D－FE－B的平面角。所以∠AGD＝60°。‎ 由AG⊥EF和AB∥EF知，AG⊥AB。所以∠FAG＝∠ABF＝30°。‎ 在Rt△AFG中，AF＝1，则AG＝AFcos30°＝。‎ 在Rt△AGD中，AG＝，则AD＝AGtan60°＝·＝。‎ 因此，当AD的长为时，二面角D－FE－B的大小为60°。 ‎