2019-2020学年安徽省太和中学高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2019-2020学年安徽省太和中学高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2019-2020学年安徽省太和中学高二上学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．设命题，则p为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据全称命题的否定的结构形式写出其否定即可.‎ ‎【详解】‎ 命题的否定为：，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性命题的一般形式是，，其否定为.‎ ‎2．已知某企业有职工150人，其中拥有高级职称15人，中级职称45人，一般职员90人，若按职称采用分层抽样方法共抽取30人，则中级职称被抽取的人数为（ ）‎ A．3 B．9 C．18 D．12‎ ‎【答案】B ‎【解析】按照分层抽样的计规则计算可得；‎ ‎【详解】‎ 解：据题设分析知，被抽取的30人中中级职称人数（人），故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分层抽样中各层总数的计算，属于基础题.‎ ‎3．已知，，则是的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】判断命题和的真假。‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴，∴是的必要不充分条件.‎ 故选：B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查充分必要条件的判断。根据定义实质上是判断两个命题的真假：是真命题，则是的充分条件，是的必要条件。‎ ‎4．若点到直线的距离是，则实数a的值为（ ）‎ A．0 B．2 C．0或2 D．或3‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用点到线的距离公式计算可得.‎ ‎【详解】‎ 解：由点到直线的距离公式，可得，解得或2，故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题.‎ ‎5．2017年至2018年某省城镇居民百户家庭人口数据的茎叶图如下图所示，则这组数据的众数是（ ）‎ A．303.5 B．317 C．315 D．291‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据茎叶图直接可读出这组数据的众数.‎ ‎【详解】‎ 解：据茎叶图，可知这组数据分别是:291,291,295,298,302,305,310,312,315,317,则此组数据的众数是.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查茎叶图的应用，属于基础题.‎ ‎6．若执行如图所示的程序框图，则输出k的值是（ ）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【答案】B ‎【解析】模拟执行程序框图，依次计算出每次循环得到的，即可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 解：，，成立；‎ ‎，，成立；‎ ‎，，成立；‎ ‎，，不成立，循环结束，输出的值为.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了循环结构的作用，注意判断框的条件以及循环后的结果，考查计算能力，属基础题.‎ ‎7．若直线与圆有两个不同的交点，则点圆的位置关系是（ ）‎ A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不能确定 ‎【答案】C ‎【解析】由直线与圆相交，转化为圆心到直线的距离小于半径，可得出，从而可判断出点与圆的位置关系.‎ ‎【详解】‎ 直线与圆相交，所以，圆心到直线的距离，所以，所以点在圆外，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查点与圆的位置关系的判断，同时也考查了直线与圆的位置关系的判断，解题时要熟悉这两类问题的转化，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎8．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它10个小长方形面积和的，且样本容量为160，则中间一组数据的频数（ ）‎ A．32 B．‎20 ‎ C．40 D．25‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：设中间一个小长方形的面积为x，其他10个小长方形的面积之和为y，‎ 则有： x=1/4 y 且x+y=1 解得：x=0.2，∴中间一组的频数=160×0.2=32．故填：32．‎ ‎9．已知圆P：与直线（）相交于A，B两点，且，则m的值为（ ）‎ A．0 B．4‎ C．0或4 D．0或 ‎【答案】C ‎【解析】首先将圆的方程化成标准式，求出圆心坐标，半径，再根据点到直线的距离公式计算可得.‎ ‎【详解】‎ 解：∵P为圆的圆心，，‎ ‎，.‎ 又，∴圆心到直线的距离，解得或4，故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题.‎ ‎10．已知一个不透明的袋子中装有3个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，若从袋子中一次取出两个球，则“取到的两个球颜色不相同”的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】3个白球和2个黑球分别编号，列出所有从袋中一次取出两个球的所有情况，统计出满足条件的基本事件的个数，按求古典概型的概率方法，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎3个白球记为；2个黑球记为，‎ 从袋子中一次取出两个球所有情况有：‎ ‎，‎ 共有10种取法，‎ 取到的两个球颜色不相同有6种，概率为.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查古典概型概率的求法，属于基础题.‎ ‎11．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直分别为直角三角形的斜边，直角边，.若，，在整个图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】首先计算出图形的总面积以及阴影部分的面积，再根据几何概型的概率计算公式计算可得.‎ ‎【详解】‎ 解：因为直角三角形的斜边为，，，‎ 所以，‎ 以为直径的圆面积为，以为直径的圆面积为，以为直径的圆面积为.‎ 所以图形总面积，，所以.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查面积型几何概型的概率计算问题，属于基础题.‎ ‎12．已知点，，若圆C：上存在点P，使得，则实数m的最大值是（ ）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【答案】C ‎【解析】首先将圆配成标准式，求出圆心坐标和半径，则点的轨迹为以为直径的圆，再根据点在圆上，则两圆有公共点，由两圆的圆心之间的距离的范围求出参数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，圆C：，即，‎ 其圆心为，半径.‎ 的中点为原点O，点的轨迹为以为直径的圆，‎ 若圆C上存在点，使得，则两圆有公共点，‎ 又，即有且，解得，‎ 即或，即实数的最大值是，故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由圆与圆的位置关系求出参数的取值范围，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．将某年级的360名学生编号为001，002，…，360，采用系统抽样方法抽取一个容量为4的样本，且在某组随机抽得的一个编号为120，则剩下的三个编号依次是______（按编号从小到大排列）.‎ ‎【答案】030，210，300‎ ‎【解析】由系统抽样知每个样本编号间隔90，因此易得其他三个的编号。‎ ‎【详解】‎ 由于从360名学生中抽取4名学生，故分组的间距为90，又第二组的编号为120，所以其他三个编号依次是030，210，300.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查系统抽样，掌握系统抽样定义即可求解，属于基础题。‎ ‎14．某单位招聘员工，有２００名应聘者参加笔试，随机抽查了其中２０名应聘者笔试试卷，统计他们的成绩如下表：‎ 分数段 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 人数 ‎ ‎１ ‎ ‎３ ‎ ‎６ ‎ ‎６ ‎ ‎２ ‎ ‎１ ‎ ‎１ ‎ 若按笔试成绩择优录取４０名参加面试，由此可预测参加面试的分数线为 分 ‎【答案】80‎ ‎【解析】解：∵×20=4，‎ ‎∴随机抽查了20名笔试者中的前4名进入面试，‎ 观察成绩统计表，预测参加面试所画的分数线是80分，‎ 故答案为80‎ ‎15．若命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由原命题为假命题，则命题的否定为真命题，再根据一元二次不等式恒成立求出参数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解：由题意，命题“，”为假命题，‎ 则，为真命题，令，则对，恒成立，‎ 因为的对称轴为，则在上单调递增，‎ 则只需即可，即，解得，即.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题.‎ ‎16．若圆：与圆：关于直线对称，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】两圆关于直线对称即圆心关于直线对称，则两圆的圆心的连线与直线垂直且中点在直线上，圆的半径也为，即可求出参数的值.‎ ‎【详解】‎ 解：因为圆：，即，‎ 圆心，半径，‎ 由题意，得与关于直线对称，‎ 则解得，，圆的半径，‎ 解得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆关于直线对称求参数的值，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知，命题关于的方程有两个不同的实数根且均小于零；命题[1，），.‎ ‎（1）当时，判断命题的真假，并简要说明理由；‎ ‎（2）若命题是假命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）为真命题,详见解析（2）‎ ‎【解析】（1）存在性命题，只需举一例说明其正确性即可；‎ ‎（2）命题是假命题，则均为假命题，可先分别求出是真命题时的范围，再得题设结论。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时为真命题.当时，，有，∴成立，∴为真命题.‎ ‎（2）若为真命题，则解得，∵为假命题时.‎ 若为真命题，则，即，解得或，‎ ‎∴为假命题时.‎ ‎∵命题是假命题，则，都是假命题，∴实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查含有量词的命题及复合命题的真假，掌握复合命题的真值表是解题基础。‎ 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 ‎18．大城市往往人口密集，城市绿化在健康人民群众肺方面发挥着非常重要的作用，历史留给我们城市里的大山拥有品种繁多的绿色植物更是无价之宝.改革开放以来，有的地方领导片面追求政绩，对森林资源野蛮开发受到严肃查处事件时有发生.2019年的春节后，广西某市林业管理部门在“绿水青山就是金山银山”理论的不断指引下，积极从外地引进甲、乙两种树苗，并对甲、乙两种树苗各抽测了10株树苗的高度(单位：厘米)，数据如下面的茎叶图：‎ ‎(1)据茎叶图求甲、乙两种树苗的平均高度；‎ ‎(2)据茎叶图，运用统计学知识分析比较甲、乙两种树苗高度整齐情况.‎ ‎【答案】（1）27（厘米），30（厘米）；（2）甲种树苗长的比较整齐，乙种树苗长的参差不齐 ‎【解析】（1）直接利用公式计算即可.‎ ‎（2）根据茎叶图的数据分布可得两者的方差的大小，从而得到甲种树苗较为齐整.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）甲种树苗的平均高度为（厘米）.‎ 乙种树苗的平均高度为（厘米）.‎ ‎（2）甲种树苗的方差为：，‎ 乙种树苗的方差为：，‎ 故甲种树苗长的比较整齐，乙种树苗长的参差不齐.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查茎叶图、频率分布直方图的应用，注意直方图中，各矩形的高是 ‎，而茎叶图中数据的分布形式往往体现了均值的大致范围以及数据离散的程度，注意均值和方差均为估算，必要时需精确计算.‎ ‎19．据史载知，新华网：北京2008年11月9日电，国务院总理温家宝主持召开国务院常务会议.研究部署进一步扩大内需促进经济平稳较快增长的措施，以应对日趋严峻的全球性世界经济金融危机，在提高城乡居民特别是低收入人群的收入水平政策措施的刺激下，某零售店当时近5个月的销售额和利润额数据统计如下表：‎ 月份 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 销售额x/千万元 ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ 利润额y/百万元 ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎（1）若x与y之间是线性相关关系，求利润额y关于销售额x的线性回归方程；‎ ‎（2）若9月份的销售额为8千万元，试利用（1）的结论估计该零售店9月份的利润额.‎ 参考公式：，.‎ ‎【答案】（1）（2）4.4百万元.‎ ‎【解析】（1）计算出，，再根据公式计算，，即可求出回归直线方程；‎ ‎（2）将代入（1）中方程计算可得；‎ ‎【详解】‎ 解：（1），‎ ‎.‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴利润额关于销售额的线性回归直线方程为.‎ ‎（2）由（1）求解知，当千万元时，（百万元），即当9月份销售额为8千万元时，估计该零售店9月份的利润额为4.4百万元.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查最小二乘法求回归直线方程，以及回归直线方程的应用，属于基础题.‎ ‎20．地球海洋面积远远大于陆地面积，随着社会的发展，科技的进步，人类发现海洋不仅拥有巨大的经济利益，还拥有着深远的政治利益.联合国于第63届联合国大会上将每年的6月8日确定为“世界海洋日”.2019年6月8日，某大学的行政主管部门从该大学随机抽取100名大学生进行一次海洋知识测试，并按测试成绩（单位：分）分组如下：第一组[65，70），第二组[70，75），第二组[75，80），第四组[80，85），第五组[85，90]，得到频率分布直方图如下图：‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若从第四组、第五组的学生中按组用分层抽样的方法抽取6名学生组成中国海洋实地考察小队，出发前，用简单随机抽样方法从6人中抽取2人作为正、副队长，列举出所有的基本事件并求“抽取的2人为不同组”的概率.‎ ‎【答案】（1）（2）基本事件见解析, 所求的概率为 ‎【解析】（1）由所有小矩形面积和为1计算出；‎ ‎（2）先计算出第4、5两组人数，再按比例计算出抽取的人数，然后把第四组的4人表示为，，，，第五组的2人表示为，，用列举法写出所有基本事件，并计数求出概率。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）据题意，得，‎ ‎∴.‎ ‎（2）据题意知，随机抽取100名大学生中第四组有20人，‎ 第五组有10人，‎ ‎∴抽取6名学生中有第四组人，即4人，‎ 抽取6名学生中有第五组人，即2人.‎ 设6人中来自第四组的4人为，，，，来自第五组的2人为，，从中抽取2人的所有基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共15种，‎ 其中2人来自不同组的事件有，，，，，，，共8种，‎ ‎∴所求的概率.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查随机变量的频率分布直方图，考查分层抽样，属于基础题。‎ ‎21．已知直线l：与圆C：交于A，B两点.‎ ‎（1）求的面积；‎ ‎（2）若动点P为圆C上一点，点为定点，则线段中点的轨迹是什么，并求出该轨迹方程.‎ ‎【答案】（1）（2）轨迹为以为圆心，半径为1的圆，轨迹方程为.‎ ‎【解析】（1）将圆的方程配成标准式，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由垂径定理、勾股定理求出弦长，最后由面积公式计算可得；‎ ‎（2）设P点坐标，线段中点M坐标为，利用相关点法求出动点的轨迹方程；‎ ‎【详解】‎ 解：（1）圆C的方程可化为，圆心，半径.‎ 圆心C到直线l的距离.‎ ‎，.‎ 的面积 ‎（2）设P点坐标，线段中点M坐标为，‎ 则，.‎ ‎，.①‎ ‎∵P为圆C上一点，，将①代入，整理得，‎ ‎∴该轨迹为以为圆心，半径为的圆，轨迹方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆相交计算弦长及三角形的面积，相关点法求动点的轨迹方程，属于中档题.‎ ‎22．在平面直角坐标系中，‎ 已知圆和圆.‎ ‎（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，‎ 求直线的方程；（2）设P为平面上的点，满足：‎ 存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，‎ 它们分别与圆和圆相交，且直线被圆 截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．‎ ‎【答案】(1)或，(2)P在以C1C2的中垂线上，且与C1、C2等腰直角三角形，利用几何关系计算可得点P坐标为或．‎ ‎【解析】(1)设直线l的方程为y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0.由垂径定理，得圆心C1到直线l的距离d＝＝1，结合点到直线距离公式，得 ‎＝1，化简得24k2＋7k＝0，解得k＝0或k＝－.‎ 所求直线l的方程为y＝0或y＝－(x－4)，即y＝0或7x＋24y－28＝0.‎ ‎(2)设点P坐标为(m，n)，直线l1、l2的方程分别为y－n＝k(x－m)，y－n＝－(x－m)，即kx－y＋n－km＝0，－x－y＋n＋m＝0.‎ 因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等．由垂径定理，得圆心C1到直线l1与圆心C2到直线l2的距离相等．故有，‎ 化简得(2－m－n)k＝m－n－3或(m－n＋8)k＝m＋n－5.‎ 因为关于k的方程有无穷多解，所以有 解得点P坐标为或.‎