专题12 导数与函数的单调性问题-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

专题12 导数与函数的单调性问题-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

‎【高考地位】‎ 在近几年的高考中，导数在研究函数的单调性中的应用是必考内容，它以不但避开了初等函数变形的难点，定义法证明的繁杂，而且使解法程序化，优化解题策略、简化运算，具有较强的工具性的作用. 导数在研究函数的单调性中的应用主要有两方面的应用：一是分析函数的单调性；二是已知函数在某区间上的单调性求参数的取值范围.在高考中的各种题型中均有出现，其试题难度考查相对较大.‎ ‎【方法点评】‎ 类型一 求已知函数的单调区间 使用情景：已知函数的解析式判断函数的单调性 解题模板：第一步 计算函数的定义域；‎ 第二步 求出函数的导函数；‎ 第三步 若，则为增函数；若，则为减函数.‎ 例1 函数的单调递增区间为___________．‎ ‎【答案】 ‎【变式演练1】若，，则有（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，，时，；在上是增函数，又，.故选C．‎ 考点：利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【变式演练2】函数，的单调减区间为 ．‎ ‎【答案】（0，）（可写为）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，，所以令且，则 考点：1.函数的求导法则；2.利用导数求单调区间；‎ ‎【变式演练3】设，则，，的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D． ‎【答案】A 考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用.‎ ‎【变式演练4】若，则的解集为（ ）‎ A． B． C． ‎ D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：函数的定义域为，,所以的解集为,故选C．‎ 考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用.‎ 类型二 判定含参数的函数的单调性 使用情景：函数的解析式中含有参数 解题模板：第一步 计算函数的定义域并求出函数的导函数；‎ 第二步 讨论参数的取值范围，何时使得导函数按照给定的区间大于0或小于0；‎ 第三步 根据导函数的符号变换判断其单调区间.‎ 例2 已知函数，函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若，求证不等式.‎ ‎【答案】(1) g(x)的增区间，减区间;(2) ;(3)见解析.‎ ‎ 设，考虑到 ，在上为增函数， ，‎ ‎ 当时， ， 在上为增函数， 恒成立 ‎ 当时， ， 在上为增函数 ，在上， ， 递减，‎ ，这时不合题意， 综上所述， ‎ ‎（Ⅲ）要证明在上， ‎ 只需证明 ，由（Ⅱ）当a =0时，在上， 恒成立， 再令， 在上， ， 递增，所以 即，相加，得，所以原不等式成立. ‎ ‎【点评】这是一道比较综合的导数题目，首先研究函数的单调区间，一般是通过求导，研究导函数的正负，来判断。恒成立求参的问题，可以转化为函数最值问题，或者含参讨论，证明不等式恒成立，也可以转化为函数最值问题，或者转化为一边函数的最小值，大于另一边函数的最大值，这种方法仅限于证明。‎ ‎【变式演练5】若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题．‎ ‎【变式演练6】已知.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当时, 证明对于任意的成立.‎ ‎【答案】（1）当时,在内单调递增,在内单调递减, 当时,在内单调递增,在内单调递减,在内单调递增,当时,在内单调递增, 当时,在内单调递增,在内单调递减, 在单调递增；（2）证明见解析.‎ ‎①时,, 当或时, 单调递增, 当时, 单调递减.‎ ‎②时,, 在内, 单调递增. ‎ ‎③当时,, 当或时, 单调递增, 当时, 单调递减. ‎ 综上所述, 当时, 在内单调递增, 在内单调递减, 当时, 在内单调递增, 在内单调递减, 在内单调递增, 当时, 在内单调递增, 当时, 在内单调递增, 在内单调递减, 在单调递增.‎ ‎（2）证明: 由（1）知时,‎ ,‎ 设,则,‎ 由,可得,当且仅当时取得等号, 又,‎ 设,则在单调递减, 因为,‎ 使得时, 时, 在内单调递增, 在内单调递减, 由,可得,当且仅当时取得等号, 所以,即对于任意的成立. ‎ 考点：（1）利用导函数求闭区间上的最值；（2）利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【变式演练7】已知函数.‎ ‎（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值； ‎ ‎（2）若在定义域上是增函数，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若，求证.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.‎ ‎（2）由，得，‎ ‎∵在定义域上是增函数，‎ ‎∴在上恒成立，即在上恒成立，‎ ‎∴在上恒成立，‎ ‎∵（当且仅当时取等号），‎ ‎∴，即实数的取值范围是.‎ ‎（3）∵，∴，要证，即证 令， 由（2）知，在上是增函数，∴.‎ 故，即.‎ 考点：1.两直线平行的条件；2.基本不等式；3.导数的应用.‎ ‎【变式演练8】函数．讨论的单调性．‎ ‎【答案】当时，在上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．‎ 递减，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．‎ 考点：（1）利用导数研究函数的单调性；（2）根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【变式演练9】已知函数，，其中a∈R.‎ ‎（Ⅰ）当a＝1时，判断f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围 ‎【答案】（Ⅰ）在（0，＋∞）上单调递增．（Ⅱ）a≥ 考点：利用导数研究函数单调性 ‎【思路点睛】导数与函数的单调性 ‎（1）函数单调性的判定方法：设函数y＝f（x）在某个区间内可导，如果f′（x）＞0，则 y＝f（x）在该区间为增函数；如果f′（x）＜0，则y＝f（x）在该区间为减函数.‎ ‎（2）函数单调性问题包括：①求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法. ‎ ‎【高考再现】‎ ‎1.【2017浙江，7】函数y=f(x)的导函数的图像如图所示，则函数y=f(x)的图像可能是 ‎【答案】D ‎ ‎ 2.【2017山东理，15】若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有性质.下列函数中所有具有性质的函数的序号为 .‎ ‎ ① ② ③ ④‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】试题分析：①在上单调递增，故具有性质；‎ ‎ 3.【2017山东文，10】若函数(e=2.71828,是自然对数的底数)在的定义域上单调递增,则称函数具有M性质,下列函数中具有M性质的是 A . B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由A,令,,则在R上单调递增,具有M性质,故选A. ‎ ‎【考点】导数的应用 ‎【名师点睛】(1)确定函数单调区间的步骤：① 确定函数f(x)的定义域；②求f′(x)；③解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间．‎ ‎(2)根据函数单调性确定参数范围的方法：①利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集．②转化为不等式的恒成立问题,即“若函数单调递增,则f′(x)≥0；若函数单调递减,则f′(x)≤0”来求解．‎ ‎4.【2015高考湖南，文8】设函数，则是( )‎ A、奇函数，且在（0,1）上是增函数 B、奇函数，且在（0,1）上是减函数 C、偶函数，且在（0,1）上是增函数 D、偶函数，且在（0,1）上是减函数 ‎【答案】A ‎ 5. 【2015课标2理12】设函数是奇函数的导函数，，当时，‎ ，则使得成立的的取值范围是（ ）‎ A． 　　　B． C． 　　　D． ‎【答案】A ‎【考点定位】导数的应用、函数的图象与性质．‎ ‎【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题．‎ ‎6.【2015高考福建，理10】若定义在上的函数 满足 ，其导函数 满足 ，则下列结论中一定错误的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎【答案】C ‎【考点定位】函数与导数．‎ ‎【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题．‎ ‎7.【2017江苏，11】已知函数, 其中e是自然对数的底数. 若,则实数的取值范围是 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【考点】利用函数性质解不等式 ‎【名师点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内 ‎ ‎8.【2017年全国文II，21】设函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）在 和单调递减，在单调递增（Ⅱ） ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号确定单调区间（2）对分类讨论，当a≥1时，，满足条件；当时，取，当0＜a＜1时，取，‎ ‎ (2) 当a≥1时，设函数h(x)=（1-x）ex，h’(x)= -xex＜0（x＞0），因此h(x)在[0，+∞)单调递减，而h(0)=1，‎ 故h(x)≤1，所以 f(x)=（x+1）h(x)≤x+1≤ax+1‎ 当0＜a＜1时，设函数g（x）=ex-x-1，g’（x）=ex-1＞0（x＞0），所以g（x）在在[0，+∞)单调递增，而g(0)=0，故ex≥x+1‎ 当0＜x＜1，，，取 则 当时，取 ‎ 综上，a的取值范围[1，+∞） ‎ ‎【考点】利用导数求函数单调区间，利用导数研究不等式恒成立 ‎【名师点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.‎ ‎9.【2017年高考全国Ⅲ文，21】已知函数=lnx+ax2+(2a+1)x．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当a﹤0时，证明．‎ ‎【答案】（1）当时，在单调递增；当时，则在单调递增，在单调递减；（2）详见解析 当时，则在单调递增，在单调递减.‎ ‎（2）由（1）知，当时，，‎ ，令 （），‎ 则，解得，‎ ‎∴在单调递增，在单调递减，‎ ‎∴，∴，即，∴.‎ ‎【考点】利用导数求单调性，利用导数证不等式 ‎【名师点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略 (1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. ‎ ‎10.【2016高考天津理数】设函数,，其中，(I)求的单调区间；‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析 ‎【解析】‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.‎ ‎【名师点睛】求可导函数单调区间的一般步骤：‎ ‎(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先)；‎ ‎(2)求导函数f′(x)；‎ ‎(3)在函数f(x)的定义域内求不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0的解集．‎ ‎(4)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．‎ ‎11.【2015高考安徽，文21】已知函数 ‎（Ⅰ）求的定义域，并讨论的单调性；‎ ‎【答案】（Ⅰ）递增区间是（-r,r）;递减区间为（-∞，-r）和（r，+∞）；（Ⅱ）极大值为100；无极小值.‎ ‎【考点定位】本题主要考查了函数的定义域、利用导数求函数的单调性，以及求函数的极值等基础知识.‎ ‎【名师点睛】本题在利用导数求函数的单调性时要注意，求导后的分子是一个二次项系数为负数的一元二次式，在求和时要注意，本题主要考查考生对基本概念的掌握情况和基本运算能力.‎ ‎12.【2015高考福建，文22】已知函数．(Ⅰ)求函数的单调递增区间；‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；‎ ‎【解析】（I），．‎ 由得解得．‎ 故的单调递增区间是．‎ ‎【考点定位】导数的综合应用．‎ ‎【名师点睛】利用导数判断或求函数的单调区间，通过不等式或 求解，但是要兼顾定义域；利用导数研究函数的单调性，再用单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而证得不等式，注意与不等价，只是的特例，但是也可以利用它来证明，在2014年全国Ⅰ卷理科高考21题中，就是使用该种方法证明不等式；导数的强大功能就是通过研究函数极值、最值、单调区间来判断函数大致图象，这是利用研究基本初等函数方法所不具备的，而是其延续．‎ ‎13.【2015高考江苏，19】已知函数.（1）试讨论的单调性；‎ ‎【答案】（1）当时， 在上单调递增；‎ 当时， 在，上单调递增，在上单调递减；‎ 当时， 在，上单调递增，在上单调递减．‎ ‎【考点定位】利用导数求函数单调性.‎ ‎【名师点晴】求函数的单调区间的步骤：①确定函数y＝f(x)的定义域；②求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；③‎ 把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；④确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．‎ ‎14.【2015高考天津，理20】已知函数，其中.‎ ‎(I)讨论的单调性；‎ ‎【答案】(I) 当为奇数时，在，上单调递减，在内单调递增；当为偶数时，在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎ ‎ ‎15.【2015高考四川，理21】已知函数，其中.‎ ‎（1）设是的导函数，评论的单调性； ‎ ‎【答案】（1）当时，在区间上单调递增， 在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增.‎ ‎【考点定位】本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想.‎ ‎【名师点睛】本题作为压轴题，难度系数应在0.3以下.导数与微积分作为大学重要内容，在中学要求学生掌握其基础知识，在高考题中也必有体现.一般地，只要掌握了课本知识，是完全可以解决第（1）题的，所以对难度最大的最后一个题，任何人都不能完全放弃，这里还有不少的分是志在必得的.解决函数题需要的一个重要数学思想是数形结合，联系图形大胆猜想. 在本题中，结合待证结论，可以想象出的大致图象，要使得在区间内恒成立，且在内有唯一解，则这个解应为极小值点，且极小值为0，当时，的图象递减；当时，的图象单调递增，顺着这个思想，便可找到解决方法.‎ ‎【反馈练习】‎ ‎1．【2018届江西省高三年级阶段性检测考试（二）文科数学试题】函数的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 当时，，‎ 所以当时，，且只有一个极值点，所以舍去B,C,D,选A.‎ ‎2．【2017-2018学年山东省德州市高三年级上学期期中预测数学（文科）试题】函数f（x）在实数集R上连续可导，且2f（x）-f′（x）＞0在R上恒成立，则以下不等式一定成立的是（　　）‎ A. B. C. f（-2）＞e3f（1） D. f（-2）＜e3f（1）‎ ‎【答案】A ‎ 3．【2018届山西省山大附中等晋豫名校高三年级第四次调研诊断考试数学理试题】已知是函数的导函数，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数 的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】当时，即解，构造函数，可令： ，所以 ，由，得： ，由，得： 得出解为，其中恰有两个整数 ，所以时成立，排除A、D.‎ 当，则， ，‎ 得：函数在上递减， 上递增，此时的解集至少包括，所以不合题意，故不能取，排除B，本题选C.‎ ‎4.【2018届山西省45校高三第一次联考理数试卷】定义在上的函数与其导函数满足，则下列不等式一定成立的是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ 5．【2018届河北省衡水中学高三9月大联考数学（理）试题】已知函数为内的奇函数，且当时， ，记， ， ，则， ， 间的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】函数是奇函数，则，‎ 即当时， ，‎ 构造函数，满足，则函数是偶函数，‎ 则，‎ 当时， ，据此可得： ，‎ 即偶函数在区间上单调递减，‎ 且： ，‎ 结合函数的单调性可得： ，即： .‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：对于比较大小、求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．‎ ‎6．【江苏省常州市武进区2018届高三上学期期中考试数学（文）试题】已知函数，函数的导函数为．‎ ‎⑴ 若直线与曲线恒相切于同一定点，求的方程；‎ ‎⑵ 若，求证：当时， 恒成立；‎ ‎⑶ 若当时， 恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ;(2)详见解析; (3) .‎ ‎ ‎ ‎⑶令，‎ 则.‎ ， ，‎ ‎①当时，因为，‎ 所以在上单调递增，故，‎ 因为当时， ，‎ 所以在上单调递增，故.‎ 此时存在，使得，不符合题设要求. ‎ 综上①②③所述，得的取值范围是. ‎ 说明：③也可以按以下方式解答：‎ 当时， 在上单调递增，‎ 所以当时， 在内取得最小值，‎ 当时， ，所以，‎ 故存在，使得，且当时， ，‎ 下同前述③的解答.‎ 点睛：本题主要考查了导数的运用：利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数恒成立问题，转化为求函数的最值问题，注意运用导数求单调区间和最值，同时考查了转化的思想和计算的能力，属于难题，因此正确的运用导数的性质是解题的关键.‎ ‎7．【湖南省株洲市2018届高三上学期期中联考数学（理）试题】设函数．‎ ‎（1）若函数在上为减函数，求实数的最小值；‎ ‎（2）若存在，使成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）最小值为；（II） ‎（2）命题“若存在, ，使成立”等价于 ‎“当时，” ”， ‎ 由（1），当时， ， .‎ 问题等价于：“当时，有”. ‎ 当，由（1），在为减函数，‎ 则，故. ‎ ‎ 8．【河南省林州市第一中学2018届高三10月调研数学（理）试题】已知函数在点处的切线为.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若，且存在，使得成立，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）5．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由已知可得， ；（2）原不等式化为，令， ，使得，则， ．令，利用导数工具判断有一零点，进而求出是极小值点，从而求出最小值为，又． 的最小值为．‎ 试题解析：解：（1）的定义域为，‎ ，‎ ．‎ 故存在唯一的使得，即．‎ 当时， ，‎ ， 在上为减函数；‎ 当时， ，‎ ， 在上为增函数．‎ ，‎ ．‎ ．‎ 的最小值为5．‎ 考点：1、导数的几何意义；2、利用导数判定函数的单调性；3、利用导数求函数的极值和最值；4、函数的零点.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查导数的几何意义、利用导数判定函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值；和函数的零点，综合性强，属于难题.研究第二小题时首先应将原不等式转化为，再求最小值，而在求最小值时，求导得，将其分子记为，再求得零点，进而求得该零点就是的最小值点，从而得到最小值为，进而求出的最小值.‎ ‎9．【山东省德州市2017-2018学年高三年级上学期期中预测数学（文科）试题】设函数f（x）=（1-x2）ex． ‎ ‎（1）讨论f（x）的单调性； ‎ ‎（2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）f（x）在（-∞，-1-），（-1+，+∞）上单调递减，在（-1-，-1+）上单调递增；（2）[1，+∞）.‎ ‎②当0＜a＜1时，设函数g（x）=ex-x-1，则g′（x）=ex-1＞0（x＞0）， ‎ 所以g（x）在[0，+∞）上单调递增， ‎ 又g（0）=1-0-1=0， ‎ 所以ex≥x+1． ‎ 因为当0＜x＜1时f（x）＞（1-x）（1+x）2， ‎ 所以（1-x）（1+x）2-ax-1=x（1-a-x-x2）， ‎ 取x0=∈（0，1），则（1-x0）（1+x0）2-ax0-1=0， ‎ 所以f（x0）＞ax0+1，矛盾； ‎ ‎③当a≤0时，取x0=∈（0，1），则f（x0）＞（1-x0）（1+x0）2=1≥ax0+1，矛盾； ‎ 综上所述，a的取值范围是[1，+∞）．‎ 点睛：函数的单调区间的求法一般是先求导再研究导函数的正负；关于含参量恒成立问题有两种方法，一是分离含参量，二是带参量计算，先对参数进行分类讨论，构造新函数，判断函数的单调性，即可求解.‎ ‎10．【河北省衡水市武邑中学2018届高三上学期第三次调研考试数学（理）试题】设函数 .‎ ‎(1)关于的方程在区间上有解，求的取值范围；‎ ‎(2)当时， 恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）方程等价于，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象可得的取值范围；（2）恒成立等价于恒成立，两次求导，求得的最小值为零，从而可得实数的取值范围.‎ 试题解析：（1）方程即为，令，则， 当时， 随变化情况如表：‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ， 当时， ， 的取值范围是.‎ ‎ ‎