甘肃省兰州第一中学2019届高三12月月考数学(理)试卷 Word版含解析(1)

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甘肃省兰州第一中学2019届高三12月月考数学(理)试卷 Word版含解析(1)

‎2019届甘肃省兰州第一中学 高三12月月考数学(理)试题此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ 数学 注意事项:‎ ‎1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 一、单选题 ‎1.已知集合A=x ‎‎ ‎2x-1‎x-2‎<1‎,B=‎x ‎‎ y=log‎2‎(x‎2‎-3x+2)‎,则A∩B=‎ ‎ A.‎-∞,-1‎ B.‎(‎1‎‎2‎,1)‎ C.‎2,+∞‎ D.‎‎-1,1‎ ‎2.设p:b0‎个单位,所得图象关于原点对称,则φ最小时,‎tanφ=‎ A.‎3‎ B.‎3‎‎3‎ C.‎-‎‎3‎ D.‎‎-‎‎3‎‎3‎ ‎6.已知数列‎{an}‎满足an‎=‎‎1‎‎4n‎2‎-1‎,Sn‎=a‎1‎+a‎2‎+⋯+‎an,若m>‎Sn恒成立,则m的最小值为 A.‎0‎ B.‎1‎ C.‎2‎ D.‎‎1‎‎2‎ ‎7.在中, 为边上任意一点, 为的中点, ,则的值为 A. B. C. D.‎ ‎8.已知非零向量a,b,满足‎ a ‎‎=2‎‎ b ‎,若函数f(x)=‎1‎‎3‎x‎3‎+‎1‎‎2‎ax‎2‎+a⋅bx+1‎在R上存在极值,则a和b夹角的取值范围为 A.‎0,‎π‎3‎ B.π‎3‎‎,π C.‎0,‎π‎3‎ D.‎π‎3‎‎,π ‎9.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线是一个棱锥的三视图,则此棱锥的表面积为 ‎ A.6+‎6‎‎2‎ B.8+‎4‎‎2‎ C.6+‎4‎‎2‎+‎2‎‎3‎ D.6+‎‎2‎2‎+4‎‎3‎ ‎10.设等差数列an的前n项和为Sn,已知‎(a‎5‎-1)‎‎2017‎‎+2018(a‎5‎-1)+‎(a‎5‎-1)‎‎2019‎=1‎,‎(a‎2014‎-1)‎‎2017‎‎+2018⋅a‎2014‎+‎(a‎2014‎-1)‎‎2019‎=2017‎,则下列结论正确的是 A.S‎2018‎‎=-2018,   a‎2014‎>‎a‎5‎ B.‎S‎2018‎‎=2018,   a‎2014‎>‎a‎5‎ C.S‎2018‎‎=-2018,   a‎2014‎<‎a‎5‎ D.‎S‎2018‎‎=2018,   a‎2014‎<‎a‎5‎ ‎11.若a>0,b>2,且a+b=3‎,则‎2‎a‎+‎‎1‎b-2‎的最小值是 A.‎3+2‎‎2‎ B.‎2‎‎2‎ C.‎4‎‎2‎ D.‎‎6‎ ‎12.已知函数f(x)=e‎|x|‎+|x|‎,若关于x的方程f(x)=k有两个相异实根,则实数k的取值范围是 A.‎0,1‎ B.‎‎1,+∞‎ C.‎-1,0‎ D.‎‎-∞,-1‎ 二、填空题 ‎13.在ΔABC中,AB=3,AC=4,BC=3,D为BC的中点,则AD=__________.‎ ‎14.若曲线f(x)=4lnx-‎x‎2‎在点(1,-1)处的切线与曲线y=x‎2‎-3x+m相切,则m的值是_________.‎ ‎15.已知球O为正四面体ABCD的内切球,E为棱BD的中点,AB=2‎,则平面ACE截球O所得截面圆的面积为__________.‎ ‎16.已知OA‎=(1,0), OB=(1,1), (x,y)=λOA+μOB.若‎0≤λ≤1≤μ≤2‎,z=xm+yn (m>0, n>0)‎的最大值为2,则m+n的最小值为____________.‎ 三、解答题 ‎17.函数f(x)=Asinωx+φ,‎A>0,ω>0,0<φ<π,的部分图象如图所示,‎ ‎(Ⅰ)求函数f(x)‎的解析式;‎ ‎(Ⅱ)已知数列‎{an}‎满足a‎1‎‎=1‎,且an是an+1‎与‎3f(π‎3‎)‎的等差中项,求‎{an}‎的通项公式.‎ ‎18.某地区某农产品近几年的产量统计如表:‎ 年份 ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ 年份代码t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 年产量y(万吨)‎ ‎6.6‎ ‎6.7‎ ‎7‎ ‎7.1‎ ‎7.2‎ ‎7.4‎ ‎(Ⅰ)根据表中数据,建立关于的线性回归方程y‎=bt+‎a;‎ ‎(Ⅱ)根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量. ‎ 附:对于一组数据t‎1‎‎,‎y‎1‎‎,t‎2‎‎,‎y‎2‎,...,‎tn‎,‎yn,其回归直线y‎=bt+‎a的斜率和截距的最小二乘估计分别为:b‎=‎i=1‎n‎(ti-t)(yi-y)‎i=1‎n‎(ti-t)‎‎2‎,a‎=y-‎bt.(参考数据:i=1‎‎6‎‎(ti-t)(yi-y)‎‎=2.8‎,计算结果保留小数点后两位)‎ ‎19.如图,边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面,BC=,M为BC的中点.‎ ‎(I)证明:AM⊥PM ;‎ ‎(II)求二面角P-AM-D的大小.‎ ‎20.已知定点F(1,0),定直线:x=-1,动圆M过点F,且与直线相切.‎ ‎(Ⅰ)求动圆M的圆心轨迹C的方程;‎ ‎(Ⅱ)过点D(1,2)作两条倾斜角互补的直线分别交抛物线C于异于点D的两点P,Q,试证明直线PQ的斜率为定值,并求出该定值.‎ ‎21.设函数f(x)=ex-(k-2) x-1(k∈R)‎.‎ ‎(Ⅰ)当k=3时,求函数f(x)‎在区间ln2,ln3‎上的最值;‎ ‎(Ⅱ)若函数f(x)‎在区间‎0,1‎上无零点,求实数k的取值范围.‎ ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ 在直角坐标系xOy中,曲线C‎1‎的参数方程为x=2+2cosφy=2sinφ(φ为参数).以原点O为极点,x轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线C‎2‎的极坐标方程为ρ=4sinθ.‎ I求曲线C‎1‎的普通方程和C‎2‎的直角坐标方程;‎ Ⅱ已知曲线C‎3‎的极坐标方程为θ=α(0<α<π)‎,点A是曲线C‎3‎与C‎1‎的交点,点B是曲线C‎3‎与C‎2‎的交点,且A,B均异于原点O,AB=4‎‎2‎,求α的值.‎ ‎23.[选修4-5:不等式选讲]‎ 已知函数 f(x)=‎2x-1‎-‎x+2‎ ‎ ‎(Ⅰ)求不等式f(x)>0的解集;‎ ‎(Ⅱ)若关于x的不等式‎2m+1‎‎≥f(x+3)+3‎x+5‎有解,求实数m的取值范围.‎ ‎2019届甘肃省兰州第一中学 高三12月月考数学(理)试题 数学 答 案 参考答案 ‎1.D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出A与B中不等式的解集确定出A与B,找出两个集合的交集即可.‎ ‎【详解】‎ 解:由A中不等式变形得:‎2x-1‎x-2‎‎-1<0‎,即为‎2x-1-‎x-2‎x-2‎‎<0‎变形可得:x-2‎x+1‎‎<0‎,解得‎-10‎ ‎∴φ的最小值为π‎3‎,tanφ=tanπ‎3‎=‎3‎,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,属于基础题.‎ ‎6.D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由an‎=‎1‎‎4n‎2‎-1‎=‎1‎‎2n-1‎‎2n+1‎=‎‎1‎‎2‎‎1‎‎2n-1‎‎-‎‎1‎‎2n+1‎进行列项相消求和得Sn‎=‎n‎2n+1‎再求出Sn的最大值即可得到的范围.‎ ‎【详解】‎ 解:‎∵an=‎1‎‎4n‎2‎-1‎=‎1‎‎2n-1‎‎2n+1‎=‎‎1‎‎2‎‎1‎‎2n-1‎‎-‎‎1‎‎2n+1‎ ‎ ‎∴Sn=‎1‎‎2‎‎1-‎1‎‎3‎+‎1‎‎3‎-‎1‎‎5‎+⋯+‎1‎‎2n-1‎-‎‎1‎‎2n+1‎=‎‎1‎‎2‎‎1-‎1‎‎3‎+‎1‎‎3‎-‎1‎‎5‎+⋯+‎1‎‎2n-1‎-‎‎1‎‎2n+1‎‎ ‎ ‎=‎1‎‎2‎‎1-‎‎1‎‎2n+1‎=‎n‎2n+1‎‎,又‎∵Sn=n‎2n+1‎=‎1‎‎2‎‎2n+1‎‎-‎‎1‎‎2‎‎2n+1‎=‎1‎‎2‎-‎‎1‎‎2‎‎2n+1‎在n∈‎N‎*‎上单调递增,故当n→+∞‎时Sn‎→‎‎1‎‎2‎,若m>‎Sn恒成立,则m≥‎‎1‎‎2‎则m的最小值为‎1‎‎2‎ .‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数列的通项公式进行变形再利裂项相消对数列求和,解题的关键是正确求出Sn 的最大值.‎ ‎7.A ‎【解析】试题分析: .‎ 考点:平面向量.‎ ‎8.B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求导数f‎'‎x‎=x‎2‎+a‎→‎x+a‎→‎⋅‎b‎→‎,而根据f(x)在R上存在极值便有f′(x)=0有两个不同实数根,从而‎△=a‎→‎‎2‎-4a‎→‎⋅b‎→‎>0‎ 这样即可得到cos<‎‎1‎‎2‎ 这样由余弦函数的图象便可得出‎‎的范围,即得出结果.‎ ‎【详解】‎ 解:f‎'‎x‎=x‎2‎+a‎→‎x+a‎→‎⋅‎b‎→‎,‎ ‎∵f(x)在R上存在极值;‎ ‎∴f′(x)=0有两个不同实数根;‎ ‎△=a‎→‎‎2‎-4a‎→‎⋅b‎→‎>0‎‎;即a‎→‎‎2‎‎-4a‎→‎⋅b‎→‎cos>0‎,因为‎ a ‎‎=2‎‎ b ‎,‎ ‎∴cos∈‎π‎3‎‎,π;‎ ‎∴‎a‎→‎与b‎→‎夹角的取值范围为π‎3‎‎,π . ‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 考查函数极值的概念,以及在极值点两边的导数符号的关系,一元二次方程的实数根的个数和判别式△取值的关系,数量积的计算公式,并要熟悉余弦函数的图象.‎ ‎9.C ‎【解析】‎ 所以棱锥P-ABCD的表面积为‎2‎2‎×2+‎3‎‎4‎×‎(2‎2‎)‎‎2‎+3×‎1‎‎2‎×2×2=6+4‎2‎+2‎‎3‎ ‎ 选C.‎ 点睛:空间几何体表面积的求法 ‎ (1)以三视图为载体的几何体的表面积问题,关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.‎ ‎(2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理.‎ ‎(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.‎ ‎10.D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令fx=x‎2017‎+2018x+‎x‎2019‎,借助函数fx为奇函数且在R上位增函数得到结果.‎ ‎【详解】‎ 令fx=x‎2017‎+2018x+‎x‎2019‎ 不难发现函数fx为奇函数且在R上为增函数,‎ 又‎(a‎5‎-1)‎‎2017‎‎+2018(a‎5‎-1)+‎(a‎5‎-1)‎‎2019‎=1‎,即fa‎5‎‎-1‎=1‎ ‎(a‎2014‎-1)‎‎2017‎‎+2018⋅a‎2014‎+‎(a‎2014‎-1)‎‎2019‎=2017‎‎,‎ 变形为:‎(a‎2014‎-1)‎‎2017‎‎+2018⋅(a‎2014‎-1)+a‎2014‎‎-1‎‎2019‎=-1‎,‎ 即fa‎2014‎‎-1‎=-1‎,‎f‎1-‎a‎2014‎=1‎ ‎∴‎fa‎5‎‎-1‎=f‎1-‎a‎2014‎ ‎∴a‎5‎‎-1=1-‎a‎2014‎,即a‎5‎‎+a‎2014‎=2‎ ‎∴S‎2018‎‎=‎‎2018‎a‎1‎‎+‎a‎2018‎‎2‎=‎‎2018‎a‎5‎‎+‎a‎2014‎‎2‎‎=2018‎ ‎∵fa‎5‎‎-1‎=1‎,fa‎2014‎‎-1‎=-1‎,又fx在R上为增函数,‎ ‎∴a‎5‎‎-1>a‎2014‎-1‎,即a‎5‎‎>‎a‎2014‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用函数的奇偶性及单调性,等差数列性质(若m+n=p+q,则am+an=ap+aq)的应用及求和公式Sn‎=‎n(a‎1‎+an)‎‎2‎应用,本题是一道综合性非常好的试题.‎ ‎11.A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎2‎a‎+‎‎1‎b-2‎‎=(‎2‎a‎+‎‎1‎b-2‎)(a+b﹣2)=2+1+‎2(b-2)‎a+ab-2‎,根据基本不等式即可求出 ‎【详解】‎ ‎∵a>0,b>2,且a+b=3,‎ ‎∴a+b-2=1,‎ ‎∴‎2‎a‎+‎‎1‎b-2‎=(‎2‎a‎+‎‎1‎b-2‎)(a+b-2)=2+1+‎2(b-2)‎a+ab-2‎≥3+2‎2‎,当且仅当a=‎2‎(b﹣2)时取等号,即b=1+‎2‎,a=2﹣‎2‎时取等号,‎ 则‎2‎a‎+‎‎1‎b-2‎的最小值是3+2‎2‎,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 在用基本不等式求最值时,应具备三个条件:一正二定三相等.①一正:关系式中,各项均为正数;②二定:关系式中,含变量的各项的和或积必须有一个为定值;③三相等:含变量的各项均相等,取得最值.‎ ‎12.B ‎【解析】‎ 分析:将方程fx=k恰有两个不同的实根,转化为方程ex‎=k-‎x恰有两个不同的实根,在转化为一个函数y=‎ex的图象与一条折线y=k-‎x的位置关系,即可得到答案.‎ 详解:方程fx=k恰有两个不同的实根,转化为方程ex‎=k-‎x恰有两个不同的实根,‎ 令y=‎ex,y=k-‎x,‎ 其中y=k-‎x表示过斜率为1或‎-1‎的平行折线,‎ 结合图象,可知其中折线与曲线y=‎ex恰有一个公共点时,k=1‎,‎ 若关于x的方程fx=k恰有两个不同的实根,则实数k的取值范围是‎(1,+∞)‎,故选B.‎ 点睛:本题主要考查了方程根的存在性及根的个数的判断问题,其中把方程的实根的个数转化为两个函数的图象的交点的个数,作出函数的图象是解答的关键,着重考查了转化思想方法,以及分析问题和解答问题的能力.‎ ‎13.‎41‎‎2‎.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先应用余弦定理,利用三角形的边长,求得cosB的值,之后在ΔABD中,根据余弦定理,从而求得AD的长.‎ ‎【详解】‎ 在ΔABC中,根据余弦定理,可得cosB=‎3‎‎2‎‎+‎3‎‎2‎-‎‎4‎‎2‎‎2×3×3‎=‎‎1‎‎9‎,‎ 在ΔABD中,根据余弦定理,可得AD‎2‎=‎3‎‎2‎+‎(‎3‎‎2‎)‎‎2‎-2×3×‎3‎‎2‎×‎1‎‎9‎=‎‎41‎‎4‎,‎ 所以AD=‎‎41‎‎2‎,故答案是‎41‎‎2‎.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是三角形中有关边长的求解问题,涉及到的知识点有余弦定理,一步是应用余弦定理求内角的余弦值,第二步是借助于所求的余弦值求边长,正确应用公式是解题的关键.‎ ‎14.‎‎13‎‎4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数的几何意义得到切线方程,联立方程,由判别式法得到m的值.‎ ‎【详解】‎ 因为f(x)=4lnx-‎x‎2‎,所以f‎'‎‎(x)=‎4‎x-2x,所以f‎'‎‎(1)=2‎,‎ 所以曲线f(x)‎在点‎(1,-1)‎处的切线方程为y+1=2(x-1)‎,即y=2x-3‎,‎ 联立y=2x-3‎y=x‎2‎-5x+m+3‎ 得x‎2‎‎-5x+m+3=0‎,‎ 为直线与曲线相切,‎ 所以Δ=25-4(m+3)=0‎,解得m=‎‎13‎‎4‎.‎ 故答案为:‎‎13‎‎4‎ ‎【点睛】‎ 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一,用导数求切线方程的关键在于求出切点P(x‎0‎,y‎0‎)‎及斜率,其求法为:设P(x‎0‎,y‎0‎)‎是曲线y=f(x)‎上的一点,则以P的切点的切线方程为:y-y‎0‎=f'(x‎0‎)(x-x‎0‎)‎.若曲线y=f(x)‎在点P(x‎0‎,f(x‎0‎))‎的切线平行于y轴(即导数不存在)时,由切线定义知,切线方程为x=‎x‎0‎.‎ ‎15.‎π‎6‎ ‎【解析】‎ 分析: 根据正四面体的性质,可得内切球半径,根据平面ACE截球O所得截面经过球心,可得答案.‎ 详解: ∵球O为正四面体ABCD的内切球,AB=2,‎ 所以正四面体的体积为‎1‎‎3‎‎×(‎3‎‎4‎×‎2‎‎2‎)×‎‎2‎‎3‎‎6‎.‎ 设正四面体的内切球半径为r,‎ 则‎4×‎1‎‎3‎×(‎3‎‎4‎×‎2‎‎2‎)×r=‎1‎‎3‎×(‎3‎‎4‎×‎2‎‎2‎)×‎‎2‎‎3‎‎6‎ 故内切球半径r=‎6‎‎6‎,‎ 平面ACE截球O所得截面经过球心,‎ 故平面ACE截球O所得截面圆半径与球半径相等,‎ 故S=πr2=π‎6‎,‎ 点睛:本题主要考查几何体的内切球外接球问题,考查正四面体的性质.它的关键在于找到内切球的半径,关键在于找到关于r的方程.球心和正四面体的每一个顶点连接起来,得到四个小的三棱锥,它们的体积的和等于正四面体的体积,本题就是根据体积相等列出关于r的方程的.‎ ‎16.‎‎5‎‎2‎‎+‎‎6‎ ‎【解析】‎ 试题分析:OA‎=(1,0),OB=(1,1),(x,y)=λOA+μOB ‎⇒‎λ=x-yμ=y,由‎0≤λ≤1≤μ≤2‎ ‎⇒‎‎0≤x-y≤1‎‎1≤y≤2‎,作出此可行域如图所示,当直线z=xm+‎yn经过点A(3,2)‎时,有最大值‎2‎,所以‎3‎m‎+‎2‎n=2‎,则m+n ‎=(m+n)⋅(‎3‎‎2m+‎1‎n)=‎5‎‎2‎+‎3n‎2m+mn≥‎5‎‎2‎+‎‎6‎,当且仅当‎3m‎2n‎=‎mn,即m=‎3+‎‎6‎‎2‎,n=1+‎‎6‎‎2‎时取等号,故答案填‎5‎‎2‎‎+‎‎6‎.‎ 考点:1、平面向量;2、线性规划;3、基本不等式.‎ ‎【思路点晴】本题是一个关于平面向量、线性规划以及基本不等式方面的综合性问题,属于难题.解决本题的基本思路及切入点是:首先根据题目条件将λ,μ的限制范围转化为x,y限制范围,也就是关于x,y的可行域,然后再根据线性规划的知识得出m,n的关系,最后再结合基本不等式,即可求出m+n的最小值.不过在此过程中要特别注意不等式取等号的条件,即“一正、二定、三相等”,否则容易出错.‎ ‎17.(1)f(x)=2sin‎2x+‎π‎6‎; (2)an‎=-‎2‎n+3‎.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)通过函数的图象求出A,利用周期求出ω,利用函数的图象经过的特殊点求出φ,即可求出f(x)的解析式;(Ⅱ)由题意可得an+1‎‎=2an-3‎,利用待定系数法可得an+1‎‎-3=2(an-3)‎,从而得到‎{an}‎的通项公式.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)由图象可知A=2,‎3‎‎4‎T=‎11π‎12‎-π‎6‎=‎3π‎4‎⇒T=π,‎ 从而ω=2. 又当x=‎π‎6‎时,函数f(x)取得最大值,‎ 故‎2×π‎6‎+φ=π‎2‎+2kπk∈Z⇒φ=π‎6‎+2kπ(k∈Z),‎ ‎∵0<φ <π,∴φ=π‎6‎,∴f(x)=2sin‎2x+‎π‎6‎.‎ ‎(Ⅱ)由已知数列an中有:‎a‎1‎‎=1,an+1‎+3=2an,‎ 设递推公式an+1‎‎=2an-3‎可以转化为an+1‎‎-t=2(an-t)‎ 即an+1‎‎=2an-t⇒t=3‎.故递推公式为an+1‎‎-3=2(an-3)‎,‎ 令bn‎=an-3‎,‎ 则b‎1‎‎=a‎1‎-3=-2‎,且bn+1‎bn‎=an+1‎‎-3‎an‎-3‎=2‎.‎ ‎ 故bn是以b‎1‎‎=-2‎为首项,2为公比的等比数列,‎ 则bn‎=-2×‎2‎n-1‎=-‎‎2‎n,‎ 所以an‎=-‎2‎n+3‎ .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的解析式的求法,考查了利用递推关系求数列通项公式,属于中档题.‎ ‎18.(1)y‎=0.16t+6.44‎. ‎ ‎(2)预测2019年该地区该农产品的年产量约为‎7.72‎万吨.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先求得t‎,‎y,然后利用线性回归方程的计算公式计算得到b‎,‎a的值,从而求得线性回归方程.(2)将t=8‎代入(1)求得的回归直线方程,来求‎2019‎年产量的预测值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意可知:t‎=‎1+2+3+4+5+6‎‎6‎=3.5‎,‎ y‎=‎6.6+6.7+7+7.1+7.2+7.4‎‎6‎=7‎‎, ‎ i=1‎‎6‎ti‎-‎t‎2‎‎=‎-2.5‎‎2‎+‎-1.5‎‎2‎+‎-0.5‎‎2‎+‎0.5‎‎2‎+‎1.5‎‎2‎+‎2.5‎‎2‎=17.5‎‎,‎ ‎∴b‎=i=1‎nti‎-‎tyi‎-‎yi=1‎nt‎1‎‎-‎t‎2‎=‎2.8‎‎17.5‎=0.16‎,‎ 又a‎=y-bt=7-0.16×3.5=6.44‎, ‎ ‎∴y关于t的线性回归方程为y‎=0.16t+6.44‎. ‎ ‎(2)由(1)可得,当年份为2019年时,年份代码t=8‎,此时y‎=0.16×8+6.44=7.72‎,‎ 所以,可预测2019年该地区该农产品的年产量约为‎7.72‎万吨.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查回归直线方程的求法,并考查了利用回归直线方程来预测的知识.求解回归直线方程,只需要将题目所给的数据,代入回归直线方程的计算公式,即可求解出来.属于基础题.主要是运算不要出错,并且,回归直线方程值y=bx+a,不是y=ax+b,这一点要特别注意.‎ ‎19.(1)见解析; (2)45°.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)以D点为原点,分别以直线DA、DC为x轴、y轴,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,求出AM与PM的坐标,利用数量积为零,即可证得结果;(Ⅱ)求出平面PAM与平面ABCD的法向量,代入公式即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(I)证明:以D点为原点,分别以直线DA、DC为x轴、y轴,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,依题意,可得 ‎ ‎∴‎PM‎=(‎2‎,2,0)-(0,1,‎3‎)=(‎2‎,1,-‎3‎)‎ AM‎=(‎2‎,2,0)-(2‎2‎,0,0)=(-‎2‎,2,0)‎‎ ‎ ‎∴PM‎⋅AM=(‎2‎,1,-‎3‎)⋅(-‎2‎,2,0)=0‎ ‎ 即PM‎⊥‎AM,∴AM⊥PM . ‎ ‎ (II)设n‎=(x,y,z)‎,且n‎⊥‎平面PAM,则 n‎⋅PM=0‎n‎⋅AM=0‎‎,即 ∴ ,‎ 取,得n‎=(‎2‎,1,‎3‎)‎;取p‎=(0,0,1)‎,显然p‎⊥‎平面ABCD,‎ ‎ ∴cosn‎,‎p=n‎⋅‎p‎|n‎|⋅|p|‎=‎3‎‎6‎=‎‎2‎‎2‎,结合图形可知,二面角P-AM-D为45°.‎ ‎【点睛】‎ 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.‎ ‎20.(Ⅰ)y‎2‎‎=4x(Ⅱ)‎‎-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)设Mx,y,由x-1‎‎2‎‎+‎y‎2‎‎=‎x+1‎化简即可得结论;‎ ‎(Ⅱ)设直线DP的斜率为k(k≠0)‎,则直线DQ的斜率为‎-k,联立直线方程与抛物线方程求出P、Q两点坐标,继而求出斜率 ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)设点M到直线l的距离为d,依题意MF‎=d 设Mx,y,则有x-1‎‎2‎‎+‎y‎2‎‎=‎x+1‎ 化简得y‎2‎‎=4x 所以点M的轨迹C的方程为y‎2‎‎=4x ‎(Ⅱ)设直线DP的斜率为k(k≠0)‎,则直线DQ的斜率为‎-k.令t=‎‎1‎k,‎ 联立方程组:x-1=t(y-2)‎y‎2‎‎=4x,消去x并整理得:y‎2‎‎-4ty+8t-4=0‎ ‎ 设P(xp,yp)‎,因为点D的坐标为‎1,2‎,所以‎2yp=8t-4‎,故yp‎=4t-2‎,‎ 从而点P的坐标为‎(4t‎2‎-4t+1,4t-2)‎,用‎-t去换点P坐标中的t可得点Q的坐标为‎(4t‎2‎+4t+1,-4t-2)‎,所以直线PQ的斜率为‎-4t-2‎‎-(4t-2)‎‎4t‎2‎+4t+1‎‎-(4t‎2‎-4t+1)‎‎=-1‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离,求轨迹方程的常见方法很多,本题采用了直接法,设出动点的坐标x,y,根据题意列出关于x,y的等式即可。在求直线的斜率为定值时需要求出两点坐标,结合斜率公式求出结果。‎ ‎21.(1)f‎(x)‎min=1-ln2;f‎(x)‎max=2-ln3‎; (2)‎-∞,3‎‎∪‎e+1,+∞‎.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)求出导函数f‎'‎‎(x)=ex-1‎,研究单调性即可得到函数f(x)‎在区间ln2,ln3‎上的最值;(Ⅱ)考查g(x)=ex与y=(k-2) x-1‎图象的位置关系,即可得到实数k的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(I)当k=3时,f(x)=ex-x-1,f‎'‎(x)=ex-1‎,当x∈‎ln2,ln3‎时,f‎'‎‎(x)>0‎,‎ 因此,函数f(x)‎在ln2,ln3‎上单调递增,‎ f‎(x)‎min=f(ln2)=1-ln2;f‎(x)‎max=f(ln3)=2-ln3‎‎.‎ ‎(II)令可得ex‎=k-2‎ x+1‎,引入函数gx=ex,y=k-2‎ x+1‎ 结合函数图象讨论:‎ ‎①当k=2‎时,直线y=1‎,满足题设;‎ ‎②当k>2‎时,曲线g(x)=‎ex在x=0处与直线y=(k-2) x-1‎相切时,k=3‎,‎ 从而‎20‎时,得x>3‎;当‎-3x-1>0‎时,得‎-20‎时,得x≤-2‎,‎ 综上可得不等式f(x)>0‎的解集为‎(-∞,-‎1‎‎3‎)∪(3,+∞)‎.‎ ‎(2)依题意‎2m+1‎‎≥‎‎(f(x+3)+3x+5‎)‎min,‎ 令g(x)=f(x+3)+3x+5‎=‎2x+5‎+‎‎2x+10‎ ‎≥‎-2x-5+2x+10‎=5‎.‎ ‎∴‎2m+1‎‎≥5‎,解得m≥2‎或m≤-3‎,即实数m的取值范围是‎(-∞,-3]∪[2,+∞)‎.‎ 点睛:本题考查不等式“能成立”问题,要注意与“恒成立”问题的区别:‎ ‎(1)“能成立”:存在x使不等式t≥f(x)‎成立‎⇔t≥f‎(x)‎min,存在x使不等式t≤f(x)‎成立‎⇔t≤f‎(x)‎max;‎ ‎(2)“恒成立”:对任意的x不等式t≥f(x)‎恒成立‎⇔t≥f‎(x)‎max,对任意的x不等式t≤f(x)‎恒成立‎⇔t≤f‎(x)‎min. ‎
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